(安徽版)中考数学一轮复习专题训练专题17 三角形（含答案）

这是一份(安徽版)中考数学一轮复习专题训练专题17 三角形（含答案），共47页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·安徽）两个矩形的位置如图所示，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
4．（2022·义安模拟）如图，在中，，，A是斜边的中点，E是上一点满足，连接，交于点P，过C作交于Q点，交于F点．下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·义安模拟）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为（ ）
A．12B．9C．6D．4
6．（2022·义安模拟）如图所示，正六边形，任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·宣州模拟）如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·安徽模拟）如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
9．（2022·安徽模拟）如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
10．（2022·安徽模拟）如图，E是菱形ABCD边AD上一点，连接BE，若，，点P是BE的中点，点Q在BC上，则下列结论错误的是（ ）
A．菱形ABCD的面积是156B．若Q是BC的中点，则
C．D．若，则
二、填空题
11．（2022·安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1） °；
（2）若，，则 ．
12．（2022·涡阳模拟）在等边三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF=BD=EC=k，连接FE
（1）当k=2时，S△DEF：S△ABC= ；
（2）取EF的中点G ，连接GA、GC，则GA+GC的最小值为
13．（2022·义安模拟）在中，D，E是直线上两点，且，，若，则= ．
14．（2022·安徽模拟）四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG，，，试探究：
（1）如图1，当点E落在BC上时，CE的长度为 ；
（2）如图2，O是对角线BD的中点，连接EO，FO，设的面积为s，在矩形DEFG的旋转过程中，s的取值范围为 ．
15．（2022·安徽模拟）如图，点A，B在反比例函数的图象上，且A的坐标为，B的坐标为．过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接CD．若四边形ABDC的面积为6，则k的值为 ．
16．（2022·来安模拟）直线l与⊙O相切于点P，点A在直线l上，线段AO与⊙O相交于点B，若AB=2，∠OAP=30°，则劣弧PB的长为 ．
17．（2022·来安模拟）如图，在正方形中，点，分别是，的中点，点是边上一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形．
（1）若，，三点在同一条直线上，则的大小为 °；
（2）若，则，两点的连线段的最小值为 ．
18．（2022·肥东模拟）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，点P在边AB上，将△AOP沿OP折叠到△A′OP，连接A'A，若∠A'PA=90°，请完成下列探究：
（1）∠A′OA等于 ；（2）若OA=2，则BP的长度为
19．（2022·蜀山模拟）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E为边BC的中点，以点A为圆心的弧经过点C，分别与AD、AE的延长线交于点F、G，则弧FG的长是 ．（结果保留π）
20．（2022·霍邱模拟）如图，点A、B、C都在圆O上，O为圆心，，连接BO并延长，交圆O于点D，连接AC，DC，若∠A＝27°，则∠D＝ °．
三、综合题
21．（2022·安徽）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
（1）如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
22．（2022·无为模拟）在△ABC中．∠C=90°，点D，E分别在BC边和AC边上，AD，BE相交于点F．

（1）图1，若∠AEF=∠BDF，求证：；
（2）如图2．若D为BC的中点，AE=EF．求证：AC=BF；
（3）如图3．若AE=CD，BD=AC．求∠AFE的度数．
23．（2022·涡阳模拟）已知直线与x轴交于A点、与y轴交于B点，点P是线段AB上任意一点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设P点的坐标为（m，n），且以P为顶点的抛物线W经过C（﹣2，0）和D（d，0），求m与n的函数关系式及△PCD面积的最大值．
24．（2022·涡阳模拟）已知，线段BC与⊙A相切于点B，BC=6，CD=3．
（1）求⊙A的半径；
（2）用尺规作BE∥AC交⊙A于点E，求BE的长．
25．（2022·涡阳模拟）如图所示，在四边形ABCD中，点E是BC上的一点，且满足BA=AE=ED=DC，∠AED=90°．将△AED绕着A点旋转，使得AE与AB重合，得到△ABF，连接FD，交BC于M点．
（1）求证：BM=MC；
（2）若BE=BA=2，求三角形ADF的面积；
（3）若AB=5，BE=6，求sin∠EDM的值．
26．（2022·安徽模拟）如图，在四边形ABCD中，，，以BC为直径的半与边AD相切于点E．
（1）求证：；
（2）若，求DE的长．
27．（2022·安徽模拟）如图1，在中，，，点D是AC的中点，点E在BC上，连接AE交BD于F，作交AC于G，连接BG，BG交AE于P．
（1）求的大小；
（2）连接CP并延长交AB于点K，如图2，若K恰好是AB的中点．
①求证：；
②直接写出的值．
28．（2022·来安模拟）如图，是的直径，弦于点．点是的中点，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
29．（2022·肥东模拟）如图，点H是正方形ABCD的边AD上点，连接CH，在CD的延长线上取一点E，连接 AE，使得AE=CH，延长CH交AE于点F，连接DF、AC．
（1）求证：；
（2）求∠DFC的度数；
（3）请用一个等式表示线段CF、AF、DF三者之间的数量关系，并证明其符合题意性．
30．（2022·蜀山模拟）如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6）、B（3，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k、b、m的值；
（2）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围；
（3）点P在x轴上，且△APC的面积为12，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
，，
∴
=
=
=
==，
∴，
设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，
则，
，
∴，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
，
∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的直线上，
∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，
过O作OE⊥BC于E，
∴，
∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE=
∴OC=2OE
∵，
∴，
解得OE=，
∴OC=，
∴OP=CP-OC=．
故答案为：B．
【分析】设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，先求出，当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，过O作OE⊥BC于E，利用勾股定理列出方程，求出OE的长，再利用线段的和差求出OP=CP-OC=即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∠3=∠1-90°=α-90°，
∠2=90°-∠3=180°-α．
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的外角的性质求出∠3=∠1-90°=α-90°，再利用余角的性质可得∠2=90°-∠3=180°-α。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点C，如图所示，
则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故答案为：D
【分析】先利用垂径定理和线段的和差求出，再利用勾股定理求出OP的长即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵，，点A是斜边的中点，
∴AC=AD，CA⊥AD，
∴∠DAP=∠CAQ=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DFQ=90°，
∴∠ADP+∠AQC=∠ACQ+∠AQC=90°，
∴∠ADP=∠ACQ，
∴△ADP≌△ACQ（ASA），
∴AP=AQ，
故此选项不符合题意；
B、∵∠BCD=90°，
∴∠PDC+∠FEC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DFQ=90°，
∴∠FEC+∠FCE=90°，
∴∠PDC=∠FCE，
故此选项不符合题意；
C、∵点A是斜边的中点，
∴S△ACD=S△BCD=×BC×CD=××10×10=25，
故此选项符合题意；
D、在Rt△DCE中，由勾股定理，得
DE=，
∵S△CDE=，
∴，
∴CF=，
在Rt△DCF中，由勾股定理，得
DF=
在Rt△DCB中，由勾股定理，得
BD=，
∵点A是斜边的中点，
∴AD=AC=BD=，
设AP=AQ=x，则CP=AC-AP=-x，DQ=AD+AQ=+x，
∵∠PCF=∠QDF，
∴△PDF∽△QDF，
∴，即，
∴9x=，
∴9AQ=AC，
故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】证明△ADP≌△ACQ（ASA），由全等三角形的性质可得出AP=AQ，由三角形内角和定理可判断∠FCE=∠PDC，由三角形面积可求出S△ACD=25；证明△PDF∽△QDF，设AP=AQ=x，则CP=AC-AP=-x，DQ=AD+AQ=+x，可得，求出9AQ=AC，从而可得答案。
5．【答案】B
【解析】【解答】∵点，是中点
∴点坐标
∵在双曲线上，代入可得
∴
∵点在直角边上，而直线边与轴垂直
∴点的横坐标为-6
又∵点在双曲线
∴点坐标为
∴
从而，
故答案为：B
【分析】根据A点坐标可直接得到点D的坐标，代入双曲线求出k的值，再求出点C的坐标，利用两点之间的距离公式求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出△AOC的面积即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所得到的三角形分别是：△ABC、△ABD、△ABE、△ABF、△ACD、△ACE、△ACF、△ADE、△ADF、△AEF、△BCD、BCE、△BCF、△BDE、△BDF、△BEF、△CDE、△CDF、△CEF、△DEF，共计20个三角形，其中能构成等腰三角形的是：△ABC、△ABF、△ACE、△AEF、△BCD、△BDF、△CDE、△DEF，共计8个，
∴所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是：，
故答案为：D
【分析】先求出所有三角形的个数和等腰三角形的个数，再利用概率公式求解即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：
根据勾股定理得AB=，AC=，BC=，
∵AC2+BC2=5+20=25=52=AB2，，
∴△ABC为直角三角形，
∴，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AB、AC和BC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，最后利用正弦的定义可得答案。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=180°-100°=80°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=80°，
∴∠AOD=180°-∠ADO-∠A=20°，
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A=80°，根据等腰三角形的性质得出∠ADO=∠A=80°，利用三角形内角和定理得出∠AOD=180°-∠ADO-∠A，即可得出答案.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，设△PBC外接圆的圆心为O，
∵PE⊥AC，D为AP的中点，
∴DE=AP，
∴当AP⊥BC时，AP的长最小，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BF=CF=×6=3，
∴AF=3，
∵∠1=∠2，
∴∠PBC+∠2=60°，
∴∠BPC=120°，
∴∠CPF=60°，
∴PF=，
∴AP=2，
∴DE=AP=，
∴DE长的最小值为.
故答案为：D.
【分析】设△PBC外接圆的圆心为O，根据直角三角形斜边中线定理得出DE=AP，当AP⊥BC时，AP的长最小，求出AP的长，从而求出DE的长，即可得出答案.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：A.如图，过点B作BF⊥AD于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=13，AD∥BC，
∴∠EBC=∠FEB，
∵DE=3，
∴AE=10，
∵AB=BE，
∴AF=EF=5，
∴BF=12，
∴菱形ABCD的面积=12×13=156，sin∠EBC=sin∠FEB=，
故A不符合题意，C符合题意；
B.如图，连接CE，过点C作CF⊥AD于点F，
∵CF=12，CD=13，
∴DF=5，
∴EF=8，
∴CE=，
∵点P是BE的中点，Q是BC的中点，
∴PQ=CE=，故B不符合题意；
D.如图，
∵PQ⊥BE，
∴∠BPQ=90°，
∵sin∠FEB=，
∴，
∴BQ=PQ，
∵点P是BE的中点，
∴BP=BE=，
∵BQ2-PQ2=BP2，
∴（PQ）2-PQ2=（）2，
∴PQ=，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A.过点B作BF⊥AD于点F，根据菱形的性质得出AB=AD=CD=13，∠EBC=∠FEB，再根据勾股定理求出BF的长，得出菱形的面积和sin∠FEB的值，即可判断A正确，C错误；
B.连接CE，过点C作CF⊥AD于点F，根据勾股定理求出CE的长，再根据三角形中位线定理即可得出PQ的长，即可判断B正确；
D.根据锐角三角函数的定义得出BQ=PQ，利用勾股定理得出（PQ）2-PQ2=（）2，求出PQ的长，即可判断D正确.
11．【答案】（1）45
（2）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵FG⊥AG，
∴∠G=∠A=90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=FE，∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠EBA，
在△ABE和△GEF中，
，
∴△ABE≌△GEF（AAS），
∴AE=FG，AB=GE，
在正方形ABCD中，AB=AD
∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，
∴AE=DG=FG，
∴∠FDG=∠DFG=45°．
故填：45°．
（2）如图，作FH⊥CD于H，
∴∠FHD=90°
∴四边形DGFH是正方形，
∴DH=FH=DG=2，
∴AGFH，
∴，
∴DM=，MH=，
作MP⊥DF于P，
∵∠MDP=∠DMP=45°，
∴DP=MP，
∵DP2+MP2=DM2，
∴DP=MP=，
∴PF=
∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，
∴∠MFP=∠NFH，
∵∠MPF=∠NHF=90°，
∴△MPF∽△NHF，
∴，即，
∴NH=，
∴MN=MH+NH=+=．
故填： ．
【分析】（1）先利用“AAS”证明△ABE≌△GEF可得AE=FG，AB=GE，再利用线段的和差及等量代换可得AE=DG=FG，即可得到∠FDG=∠DFG=45°；
（2）作FH⊥CD于H，先证明△MPF∽△NHF，可得，即，求出NH=，再利用线段的和差可得MN=MH+NH=+=。
12．【答案】（1）1：9
（2）
【解析】【解答】（1），
S△BFD：S△ABC
S△DEF：S△ABC=1：9
（2）如图， 作关于的对称点，连接，
则
当三点共线时，取得最小值， 此时为的中位线，
为中点，
.
，
即的最小值为
故答案为：1：9，
【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质求解即可；
（2）先求出，再利用勾股定理计算求解即可。
13．【答案】30°或60°或120°
【解析】【解答】解：当点D、E在线段BC上时，
如图1(i)，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠BAD，
∵AE=CE，
∴∠C=∠CAE，
∴∠AED=∠C+∠CAE=2∠CAE，
∴∠ADE+∠AED=2（∠BAD+∠CAE），
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE=120°；
如图1(ii)，同理可得∠BAC=120°；
当点D与点C重合，点E与点B重合时，如图2，
∴∠BAC=∠DAE=60°；
当D、E在CB或BC延长线上时，
如图3(i)，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD，
∵AE=CE，
∴∠C=∠CAE，
∵∠ABD=∠C+∠BAC，
∴∠BAD=∠C+∠BAC，
∴∠DAE+∠EAB=∠C+∠BAC，
∴∠DAE+∠EAC-∠BAC =∠C+∠BAC，
∴60°=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
如图3(ii)，同理可得∠BAC=30°，
综上，∠BAC=30°或60°或120°．
故答案为：30°或60°或120°．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，利用三角形的内角和定理可求出∠BAD+∠CAE=60°，进而可求解∠BAC的度数。
14．【答案】（1）
（2）9≤s≤39
【解析】【解答】（1），当点E落在BC上时，
CE的长度为；
（2）当点E落在BD上时，s最小，此时，，
∴；
当点D落在BD的反向延长线上时，s最大，，
∴，∴．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长，从而得出CD的长，再根据勾股定理即可得出CE的长；
（2）根据三角形的面积公式得出当点E落在BD上时，OE最短，得出s最小，当点D落在BD的反向延长线上时，OE最长，得出s最大，分别求出s的值，即可得出答案.
15．【答案】5
【解析】【解答】连接AD，延长AC，BD交于点E，点B的坐标为，
则点A的坐标为，∵轴，轴，
∴，，
，
∵四边形ABDC的面积为6，∴，
∴，∴．
【分析】连接AD，延长AC，BD交于点E，根据题意得出点点A的坐标为（1，-2n），从而得出S△ACD=-n，S△ABD=1-n，再利用四边形ABDC的面积为6，得出-n+1-n=6，得出n的值，再把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得出k的值.
16．【答案】或
【解析】【解答】解：连接OP、PB，
∵AP是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，即∠OPA=90°，
∵∠OAP=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OB=OP，
∴△OPB是等边三角形，
∴∠OBP=60°，
∴∠BPA=60°-30°=30°，
∴∠BPA=∠OAP=30°，
∴PB=AB=2，
∴OB=OP=2，
∴劣弧PB的长为．
故答案为：．
【分析】连接OP、PB，先证△OPB是等边三角形，可推出∠BPA=∠OAP=30°，从而得出PB=AB=2，即得OB=2，再根据弧长公式计算即可.
17．【答案】（1）67.5
（2）
【解析】【解答】（1）如图1，易得，
∴，
故答案为：67.5；
（2）如图2，连接，，，
易证，
∴，，
当，，在同一条直线上时，最小，最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）易得△APQ为等腰直角三角形，可得，根据折叠的性质及平角的定义可求出；
（2）如图2，连接，，，证明，可得，，
当，，在同一条直线上时，最小，根据FQ=PF-PQ即可求解.
18．【答案】（1）30；
【解析】【解答】解：（1）如图1所示：
∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，
∴∠B=60°，
由折叠的性质得：∠OA'P=∠OAB=30°，
∵∠A'PA=90°，
∴∠A'PB=90°．
∴∠BCO=∠A'CP=90°-30°=60°，
∴∠BOC=60°，
∴∠A'OA=90°-60°=30°；
故答案为30°；
（2）作OM⊥AB于M，如图2所示：
则∠OMB=∠OMP=90°，
∵∠B=60°，OA=2，
∴OB=2，
∴BM=OB=1，OM=BM=，
由折叠的性质得：∠A'OP=∠AOP=∠A'OA=15°，
∴∠OPB=∠OAB+∠AOP=30°+15°=45°，
∴△OPM是等腰直角三角形，
∴PM=OM=，
∴BP=BM+PM=1+．
故答案为：1+．
【分析】（1）由折叠的性质得∠OA'P=∠OAB=30°，根据三角形内角和及对顶角相等可得∠BCO=∠A'CP=90°-∠OA'P=60°，从而求出∠BOC=60°，根据∠A'OA=90°-∠BOC即可求解；
（2）作OM⊥AB于M，在Rt△BOM中，可求出OB=2，BM=OB=1，OM=BM=，易求△OPM是等腰直角三角形，可得PM=OM=，根据BP=BM+PM即可求解.
19．【答案】或
【解析】【解答】解：如图，连接
由题意知，
∴
由矩形的性质可知
∴
在中，由勾股定理得
∴
故答案为：．
【分析】先求出，再利用勾股定理求出AC的长，最后利用弧长公式可得。
20．【答案】36
【解析】【解答】解：∵AO∥BC，∠A=27°，
∴∠ACB=∠A=27°，
∴∠AOB=2∠ACB=54°，
∴∠CBO=∠AOB=54°，
∵BD是直径，
∴∠DCB=90°，
∴∠D=90°-54°=36°．
故答案为：36°．
【分析】先利用平行线的性质可得∠ACB=∠A=27°，再利用圆周角的性质可得∠CBO=∠AOB=2∠ACB=54°，再利用三角形的内角和求出∠D=90°-54°=36°即可。
21．【答案】（1）证明：
∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形BCDE为菱形．
（2）解：（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）连接EF，
∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵
∵AE=AF，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
【解析】【分析】（1）利用AAS证明，得出 ， 从而得出 四边形BCDE为平行四边形， 再根据 CE⊥BD， 即可得出结论；
（2） （ⅰ）根据线段垂直平分线的性质得出BE=DE， 则 ∠BEO=∠DEO， 再根据平角的定义即可得出答案； （ⅱ）利用AAS证明，即可得出结论。
22．【答案】（1）证明：连接DE，
∵∠AEF=∠BDF，即∠AEB=∠BDA，
∴A、E、D、B四点共圆，
∴∠ABD+∠AED=180°，
∵∠CED+∠AED=180°，
∴∠CED=∠ABD，
又∠C公共，
∴△CED∽△CBA，
∴；
（2）证明：延长AD到G，使DG=AD，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
又∠BDG=∠CDA，
∴△BDG≌△CDA，
∴∠G=∠CAD，BG= CA，
∵AE=EF，
∴∠AFE=∠CAD，
∵∠AFE=∠BFG，
∴∠G=∠BFG，
∴BF=BG=AC，即AC=BF；
（3）解：过点A作AM∥BC，在AM上截取点M，使AM=AC，再过点M作MN⊥BC于点N，连接出BM，ME，如图：
∵AM∥BC，∠C=90°，MN⊥BC，
∴四边形AMNC是矩形，
又AM=AC，
∴四边形AMNC是正方形，
∴AM=MN=AC=CN，
∵BD=AC，则BD= CN，
∴BN= CD，
∵AE=CD，
∴AE= BN=CD，
∵AM=MN=AC，∠MAE=∠MNB=∠ACD=90°，
∴△MAE≌△MNB≌△ACD，
∴EM=MB=AD，∠AME=∠BMN，
∵∠NME+∠AME =90°，
∴∠NME+∠BMN=90°，即∠BME=90°，
∴△MEB是等腰直角三角形，
∴∠MBE=45°，
∵AM∥BD，AM=CN=BD，
∴四边形AMBD是平行四边形，
∴∠AFE=∠MBE=45°，
∴∠AFE的度数为45°．
【解析】【分析】（1）连接DE，证明A、E、D、B四点共圆，推出∠CED=∠ABD，证明△CED∽△CBA，即可得出结论；
（2）延长AD到G，使DG=AD，证明△BDG≌△CDA，再利用等角对等边即可得出结论；
（3）过点A作AM∥BC，在AM上截取点M，使AM=AC，再过点M作MN⊥BC于点N，连接出BM，ME，证明四边形AMNC是正方形，推出△MAE≌△MNB≌△ACD，再证明△MEB是等腰直角三角形，四边形AMBD是平行四边形，即可得出∠AFE的度数。
23．【答案】（1）解：当x＝0时，y＝3；
当y＝0时，即，解得x＝6，
∴A（6，0），B（0，3）；
（2）解：∵P在线段AB上，
∴，
∴m与n的关系式为：，
以P为顶点的抛物线W的对称轴为，
∵C（﹣2，0），D（d，0）是抛物线与x轴的两交点，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，最大面积为．
【解析】【分析】（1）当x=0时，y=3，可得B点坐标，当y=0时，x=6，可得A点坐标；
（2）将点P的坐标代入直线AB的解析式，即可得到m和n的函数关系式，由于抛物线是关于对称轴对称的，可得CD=2（m+2），表示出△PCD的面积，再求最值即可。
24．【答案】（1）解：设⊙A的半径为r，则AB=r，AC=r+3，
∵BC与⊙A相切于点B，
∴AB⊥BC，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴r2+62=（r+3）2，
解得：r=；
（2）解：如图所示，BE即为所求，
作法：①以B为圆心，AB长为半径画弧，
②以A为圆心，BD长为半径画弧，两弧交于点P，
③连接BP交⊙A于点E，
线段BE即为所求；
连接AE，过点A作AH⊥BE于点H，
则∠AHB=90°，BE=2BH，
∵BE∥AC，
∴∠ABE=∠BAC，
∵∠AHB=∠ABC=90°，
∴△ABH∽△CAB，
∴，
∵AB=，AC=+3=，
∴BH=，
∴BE=2BH=．
【解析】【分析】（1）设⊙A的半径为r，则AB=r，AC=r+3，利用勾股定理列出方程r2+62=（r+3）2，求出r的值即可；
（2）先作出图形，再证明△ABH∽△CAB，可得，再将AB和AC的值代入计算可得BH的长，最后计算出BE的长即可。
25．【答案】（1）证明：∵将△AED绕着A点旋转，使得AE与AB重合，得到△ABF，
∴∠ABF=∠AED=90°，BF=ED=CD，
∵∠DEC+∠AEB=90°，∠AEB=∠ABE，∠DEC=∠C，
∴∠CBF=∠C，
在△BMF和△CMD中，
，
∴△BMF和△CMD（AAS），
∴BM=CM；
（2）解：∵AB=AE=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=60°，
又∵将△AED绕着A点旋转，使得AE与AB重合，得到△ABF，
∴∠DAF=∠EAB=60°，
又∵AD=AF，
∴△ADF是等边三角形，
在Rt△ADE中，AE=DE=2，
∴AD=2，
∴S△ADF；
（3）解：如图，过点A作AG⊥BC于G，DN⊥BC于N，EH⊥DF于H，
∵∠AED=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
又∵∠AGE=∠DNE=90°，AE=DE，
∴△AGE≌△END（AAS），
∴AG=EN，EG=DN，
在△ABE中，AB=AE=5，BE=6，
∴BG=EG=3，
在Rt△ABG中，AG==4，
∴EN=4，DN=EG=3，
在Rt△CDN中，∵CD=DE=5，
∴CN==4，
∴BC=BE+EN+CN=6+4+4=14，
由（1）得BM=CM，
∴BM=BC=7，
∴EM=BM-BE=7-6=1，MN=EN-EM=4-1=3，
∵DN=3，
∴MN=DN，
∴∠DMN=∠EMH=45°，
在Rt△EMH中，sin45°=，
∴EH=1×=，
在Rt△DEH中，sin∠EDM．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质可证明∠CBF=∠C，BF=CD，再利用AAS证明△BMF和△CMD，可得答案；
（2）首先得出△ADF是等边三角形，在等腰直角三角形ADE中，AD=2，从而求出答案；
（3）过点A作AG⊥BC于G，DN⊥BC于N，EH⊥DF于H，首先可得△AGE≌△END，得到AG=EN，EG=DN，再利用勾股定理求出EH的长度，从而解决问题。
26．【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵半与AD相切于点E，∴．
∵，∴，∴，∴．
∵，∴，∴
（2）解：如图，连接BE，∵，，∴，
∵，∴．
设，则，∵BC为的直径，∴．
∵，
∴，，
∴，∴，∴，即，
解得，即DE的长为．
【解析】【分析】（1）连接OE，根据切线的性质和平行线的判定得出OE∥CD，得出∠DCE=∠OEC，再根据等腰三角形的性质得出∠BCE=∠OEC，即可得出∠BCE=∠DCE；
（2）连接BE，先证出AB∥CD∥OE，得出AE=DE，设AE=DE=x，得出AD=AB=2x，根据相似三角形的判定与性质得出，求出x的值，即可得出答案.
27．【答案】（1）解：∵，，∴，∵D是AC的中点，
∴，，．∵，
∴，∴，∴．∵，
∴．在与中，，
∴，
∴．∵，，
∴，故
（2）解：①∵，，∴，，
∴．∵，K恰好是AB的中点，∴，
∴．
又∵，∴．∵，∴，
∴，即，
过点C作交BG的延长线于点H，
∴．
在与中，，
∴，∴．
∵，∴．
∵，∴，
∴；
（也可设，则，，可证，得
，∴，又可证，
∴，
∴，
∴，
∴．）；
②．
【解析】【解答】（2）②（简析：由得，∵，
∴．∵，∴，
∴．
【分析】（1）先证出△ADF≌△BDG，得出∠DAF=∠DBG，从而得出∠DBG+∠BFP=90°，即可得出∠APG=90°；
（2）①证出△CPE∽△CBP，得出，得出CP2=BC·CE， 过点C作CH∥AB交BG的延长线于点H，证出CP=CH=BE，即可得出BE2=BC·CE；
②由BE2=BC·CE得出，再根据AB=AC，CH=BE，得出，再根据相似三角形的性质得出，即可得出.
28．【答案】（1）解：∵是的直径，弦，
∴，，
∴，
∵（公共角），
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点是的中点，，
∴，，
∵于点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1） 证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）先求出AG，DF，AD的长，由，可得，据此求出△AED的面积， 利用即可求解.
29．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDH=90°=∠ADE，AD=CD．
又∵AE=CH，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH．
（2）解：∵△ADE≌△CDH，
∴∠FAH=∠DCH．
又∵∠AHF=∠CHD，
∴△FAH∽△DCH，
∴，
∴．
∵∠AHC=∠FHD，
∴△AHC∽△FHD，
∴∠DFH=∠HAC．
∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴∠HAC=45°，
∴∠DFH=45°，即∠DFC=45°．
（3）解：CF=AF+DF．
证明：如图，在FC上截取FM=AF，连接AM．
∵△FAH∽△DCH，
∴∠AFH=∠CDH =90°，
∴∠FAM=45°，AM=AF．
∵∠DAC=45°，
∴∠FAM=∠DAC，
∴∠FAD=∠MAC．
∵△AHC∽△FHD，
∴∠ACM=∠ADF，
∴△AMC∽△AFD，
∴，
∴CM=DF，
∴CF=FM+CM=AF+DF．
【解析】【分析】（1） 根据HL证明Rt△ADE≌Rt△CDH．
（2） 证明△FAH∽△DCH，可得，即得，再证△AHC∽△FHD，结合正方形的性质可得∠DFH=∠HAC=45°；
（3） CF=AF+DF．证明：如图，在FC上截取FM=AF，连接AM．易求△AFM为等腰直角三角形，可得AM=AF ，证明△AMC∽△AFD，可得， 即得CM=DF， 从而求出 CF=FM+CM=AF+DF．
30．【答案】（1）解：把A（1，6）代入得：m=6，
即反比例函数的表达式为y=（x＞0），
把B（3，n）代入y=得：n=2，
即B的坐标为（3，2），
把A、B的坐标代入y=kx+b得：
，解得，
即一次函数的表达式为y=-2x+8；
（2）解：观察函数图象知，y1＞y2时x的取值范围为1＜x＜3．
（3）解：设P（t，0），
∵一次函数y=-2x+8与x轴交于点 C，
将y=0代入得：x=4，
∴C（4，0），
∵A（1，6），点P在x轴上，且△APC的面积为12，
∴，
∴，
解得：t=8或t=0，
∴P（8，0）或（0，0）；
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入求出m的值，再求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）设P（t，0），求出点C的坐标，再利用△APC的面积为12，可得，求出t的值，即可得到点P的坐标