(安徽版)中考数学一轮复习专题训练专题18 四边形（含答案）

这是一份(安徽版)中考数学一轮复习专题训练专题18 四边形（含答案），共60页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·无为模拟）如图，已知正方形的边长为4，动点P从点A出发在边上运动，同时动点Q从点B出发以同样的速度在边上运动．分别连接与相交于点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·涡阳模拟）已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形PMNQ的最大面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．（2022·安徽模拟）如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
4．（2022·安徽模拟）如图，E是菱形ABCD边AD上一点，连接BE，若，，点P是BE的中点，点Q在BC上，则下列结论错误的是（ ）
A．菱形ABCD的面积是156B．若Q是BC的中点，则
C．D．若，则
5．（2022·全椒模拟）如图，在平行四边形中，E是的中点，则下列四个结论：①；②若，，则；③若，则；④若，则与全等．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2022·肥东模拟）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
7．（2022·蜀山模拟）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·蜀山模拟）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=120°，点E、F分别在边AD、BC上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是矩形，且FG∥AB，则EG的长是（ ）
A．B．1.5C．2D．2
9．（2022·来安模拟）如图，在矩形中，，点是边的中点，连接交于点，过点作交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·庐江模拟）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：
⑴图形中全等的三角形只有两对；⑵正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；⑶BE+BF＝OA；⑷AE2+CF2＝2OP•OB．
正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．（2022·安徽）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则k= ．
12．（2022·宣州模拟）如图，菱形AOBC的顶点A在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点C，若∠AOB＝60°，则k＝ ．
13．（2022·来安模拟）如图，在正方形中，点，分别是，的中点，点是边上一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形．
（1）若，，三点在同一条直线上，则的大小为 °；
（2）若，则，两点的连线段的最小值为 ．
14．（2022·瑶海模拟）已知，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E是对角线BD上一点，连接AE并延长交矩形的一边于点F，将△ABF沿直线AF翻折，使得点B落在处．（1）若∠BAE=30°，则= ；（2）若AE=2EF，则的长为 ．
15．（2022·瑶海模拟）如图，过反比例函数（x＞0）的图像上一点A作AB⊥x轴于点B，点C在y轴上，OB=OC=，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，若S△ACD=S四边形OBDC，则k的值为 ．
16．（2022·蚌埠模拟）如图，正方形的顶点，分别在，轴的正半轴上，对角线，的交点在第一象限，反比例函数的图象经过点，已知轴．
（1）若正方形面积为4，则的值为 ；
（2）若反比例函数的图象与交于点，则 ．
17．（2022·安庆模拟）如图，在△中，°，°，，点是上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处.
（1）当四边形为菱形时， .
（2）当°时， .
18．（2022·肥西模拟）如图，在△ABC中，AB＝4，点P为AC边上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，将∠A、∠C分别沿PE、PF折叠，使点A、C分别落在边AB、BC上的点G、H处．
（1）当∠B＝50°时，则∠GPH＝ ．
（2）当四边形BHPG为平行四边形时，则PE＋PF的值为 ．
19．（2022·庐阳模拟）已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，且 ，连接AC、BD交于点O．
①若AB＝BC，则 ；
②若AB＝AC，则 ．
20．（2022·定远模拟）如图，的面积为，的平分线与垂直，垂足为点，，那么的面积为 ．
三、综合题
21．（2022·安徽）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
（1）如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
22．（2022·无为模拟）如图．P是菱形的对角线上一点，E是边上一点，交于点F．
（1）求证：；
（2）过点P作于点H，若，求的值．
23．（2022·义安模拟）如图在矩形中，P是边上一动点（不与C，D重合），连接，，过P作交于点E，分别过E作，，垂足分别为M，N，连接．
（1）若，，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值并指出此时的长度．
（2）①若，，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值并指出此时DP的长度．
②若，，当满足什么条件时，的面积存在最大值．求出的面积存在最大值时，的取值范围．
24．（2022·宣州模拟）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，求证：CF＝DE．
（2）如图2，在矩形ABCD中，过点C作CE⊥BD交AD于点E，若，求的值．
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，且AB＝5，AD＝3，CF＝7．求DE的长．
25．（2022·安徽模拟）如图1，在中，，，点D是AC的中点，点E在BC上，连接AE交BD于F，作交AC于G，连接BG，BG交AE于P．
（1）求的大小；
（2）连接CP并延长交AB于点K，如图2，若K恰好是AB的中点．
①求证：；
②直接写出的值．
26．（2022·肥东模拟）如图，点H是正方形ABCD的边AD上点，连接CH，在CD的延长线上取一点E，连接 AE，使得AE=CH，延长CH交AE于点F，连接DF、AC．
（1）求证：；
（2）求∠DFC的度数；
（3）请用一个等式表示线段CF、AF、DF三者之间的数量关系，并证明其符合题意性．
27．（2022·瑶海模拟）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是AB边上的中线，点E为CD上一点，连接BE，作FB⊥BE，且FB=EB，连接FE和FC，FE交BC于点G．
（1）如图1，若点E与点D重合，求证：点G是BC的中点；
（2）如图2，求证：CF//AB；
（3）如图3，若BE平分∠DBC，AB=2，求CG：BC的值．
28．（2022·霍邱模拟）如图1，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，CO⊥BE交AB于F．EF交CB延长线于G．
（1）当E为AD中点时，求证：BC＝2BG；
（2）如图2，当BG＝BC时，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接OD，求tan∠EOD的值．
29．（2022·肥西模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，连接BO并延长交边AD或边CD于点E．
（1）如图1，当点E在AD上时，连接CE，求证：四边形ABCE是矩形．
（2）如图2，当点E在CD上时，当AC＝4，BC＝3时，求与的比值．
（3）若DE＝2，OE＝3，直接写出CD的长．
30．（2022·蚌埠模拟）如图，AB是圆的直径，C，D是圆上的点（在AB同侧），过点D的圆的切线交直线AB于点．
（1）若，，求AC的长；
（2）若四边形ACDE是平行四边形，证明：BD平分．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点P与点Q的速度相同，
∴AP=BQ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAP=∠ABQ，AB=AD，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠ABP=∠DAQ，
∵∠ADP+∠BAQ=90°，
∵∠DAE+∠BAQ=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴点E在以AD为直径的圆上，圆心为点O，
如图，连接OB，与圆O的交点即为所求，
∵AD=4，
∴AB=4，AO=2，
∴，
∴BE的最小值为OB-2=，
故答案为：D．
【分析】证明△DAP≌△ABQ（SAS），得出∠DAE+∠ADE=90°，从而得出点E在以AD为直径的圆上，圆心为点O，连接OB，与圆O的交点即为所求，利用勾股定理得出OB的值即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：如图：
连接AC，BD交于点O，AC分别交PQ，MN于点E，F．
∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠ABD＝30°，
∴AC＝AB＝6．
∵矩形MNQP，
∴PQ∥BD，PM＝EF，PQ⊥AC．
∴∠APE＝∠ABD＝30°，
设AP＝a，AE＝CFa，
∴EF＝PM＝6﹣a．
由勾股定理得：PE．
∴PQ＝2PEa．
∴S矩形PMNQ＝PM•PQa×（6﹣a）（﹣a2+6a）
（a﹣3）2+9．
∵0，
∴当a＝3时，矩形面积有最大值9．
故答案为：D．
【分析】先求出∠APE＝∠ABD＝30°，再利用勾股定理和矩形的面积公式计算求解即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，设△PBC外接圆的圆心为O，
∵PE⊥AC，D为AP的中点，
∴DE=AP，
∴当AP⊥BC时，AP的长最小，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BF=CF=×6=3，
∴AF=3，
∵∠1=∠2，
∴∠PBC+∠2=60°，
∴∠BPC=120°，
∴∠CPF=60°，
∴PF=，
∴AP=2，
∴DE=AP=，
∴DE长的最小值为.
故答案为：D.
【分析】设△PBC外接圆的圆心为O，根据直角三角形斜边中线定理得出DE=AP，当AP⊥BC时，AP的长最小，求出AP的长，从而求出DE的长，即可得出答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A.如图，过点B作BF⊥AD于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=13，AD∥BC，
∴∠EBC=∠FEB，
∵DE=3，
∴AE=10，
∵AB=BE，
∴AF=EF=5，
∴BF=12，
∴菱形ABCD的面积=12×13=156，sin∠EBC=sin∠FEB=，
故A不符合题意，C符合题意；
B.如图，连接CE，过点C作CF⊥AD于点F，
∵CF=12，CD=13，
∴DF=5，
∴EF=8，
∴CE=，
∵点P是BE的中点，Q是BC的中点，
∴PQ=CE=，故B不符合题意；
D.如图，
∵PQ⊥BE，
∴∠BPQ=90°，
∵sin∠FEB=，
∴，
∴BQ=PQ，
∵点P是BE的中点，
∴BP=BE=，
∵BQ2-PQ2=BP2，
∴（PQ）2-PQ2=（）2，
∴PQ=，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A.过点B作BF⊥AD于点F，根据菱形的性质得出AB=AD=CD=13，∠EBC=∠FEB，再根据勾股定理求出BF的长，得出菱形的面积和sin∠FEB的值，即可判断A正确，C错误；
B.连接CE，过点C作CF⊥AD于点F，根据勾股定理求出CE的长，再根据三角形中位线定理即可得出PQ的长，即可判断B正确；
D.根据锐角三角函数的定义得出BQ=PQ，利用勾股定理得出（PQ）2-PQ2=（）2，求出PQ的长，即可判断D正确.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，E是的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故①符合题意；
若，
则平行四边形是矩形，
由矩形的对角线相等，而点E是矩形的对角线的交点可知，
E点到B、C两点的距离相等，
∴E点在BC的垂直平分线上，
由，可得BN=CN，
所以N点是BC的中点，
∴MN垂直平分BC，
∴，
故②符合题意；
若，则BN=2CN，
如图1，分别过D、E两点向BC作垂线，垂足分别为Q点和P点，
∵E点是BD中点，
∴DQ=2EP，
∵，
∴，
故③符合题意；
若，
因为，
所以，
分别过N、C两点向AD作垂线，垂足分别为H、K，
由平行线间的距离处处相等可知：NH=CK，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质逐项判断即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
在和中
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴四边形的周长，
故答案为：A．
【分析】证明，，可得，，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，求出此时四边形的周长即可.
7．【答案】D
【解析】【解答】一共有①②，①③，①④，②③，②④；③④6种组合数，
其中能判定四边形是正方形有①②，①③，②④，③④4种组合数，
所以能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是，
故答案为：D．
【分析】根据正方形的判定方法和概率公式求解即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：连结BD，交AC于O，
则由菱形的性质可知∠AOB=90°，
∵∠ABC=120°，∴∠BAO=30°，
∴OB=，
又由已知可得：∠GFH=90°，∠FGH=∠BAC=30°，
∴GH=2FH=2GE，即OG=GE，
∵∠GFC=∠ABC=120°，∠GFH=90°，
∴∠HFC=∠HCF=30°，
∴FH=HC，
同理GE=AG，
∴OA=AG+OG=2GE=
∴GE=，
故答案为：A．
【分析】连结BD，交AC于O，先求出∠BAO=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得OB=，，再求出FH=HC，GE=AG，最后利用线段的和差可得OA=AG+OG=2GE=，从而可得GE=。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：在矩形中，，点是边的中点，
，，
，
，即，故B不符合题意；
，
，
在中，，，
，，则，
，
为等腰直角三角形，即，
，故A不符合题意；
在中，，，，
，
，故C不符合题意；
，，
，即，
，
，即，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】证明，可得，即，据此判断B；由可得，由于△ADE是等腰直角三角形可得，，即得，易求△EFG为等腰直角三角形，可得，可求出，据此判断A；可求，在中，由勾股定理求出DG=EF，据此判断C错误；易得，即，结合，可求出，据此判断D即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：（1）不符合题意；图形中全等的三角形有四对：，，，；
理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，，，
在和中，
，
；
点为对角线的中点，
，
在和中，
，
；
，，，
，，
又，
，
在和中，
，
；
同理：；
（2）符合题意．理由如下：
，
四边形的面积的面积正方形的面积；
（3）符合题意．理由如下：
，
，
；
（4）符合题意．
AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2＝（OF）2＝2OF2，
在△OPF与△OFB中，
∠OBF＝∠OFP＝45°，
∠POF＝∠FOB，
∴△OPF∽△OFB，
OP：OF＝OF：OB，
OF2＝OP•OB，
AE2+CF2＝2OP•OB．
正确结论的个数有3个；
故答案为：C．
【分析】正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其绕对角线的交点旋转90°后形状与大小不变是解决问题的关键。
11．【答案】3
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案为3．
【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先利用“HL”证明Rt△COD≌Rt△BAE可得S△OCD=S△ABE，再求出S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，可得S△OBA=，利用割补法可得S△OBE=S△OBA+S△ABE=，即可得到，从而得解。
12．【答案】9
【解析】【解答】解：连接AB，过A作AD⊥OB于D，
∵四边形OACB为菱形，
∴OA=OB=AC=BC，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=OB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∵AD⊥OB，
∴OD=DB=，
设OD=m，OB=OA=AC=2m，
在Rt△ODA中，
AD=，
∴点A（m，），
点C的横坐标为OD+AC=m+2m=3m，
∴点C（3m， ），
∵点A在的图像上，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴．
故答案为：9．
【分析】设OD=m，OB=OA=AC=2m，在Rt△ODA中，利用勾股定理得出AD的值，再得出点C的坐标，代入解析式即可得出k的值。
13．【答案】（1）67.5
（2）
【解析】【解答】（1）如图1，易得，
∴，
故答案为：67.5；
（2）如图2，连接，，，
易证，
∴，，
当，，在同一条直线上时，最小，最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）易得△APQ为等腰直角三角形，可得，根据折叠的性质及平角的定义可求出；
（2）如图2，连接，，，证明，可得，，
当，，在同一条直线上时，最小，根据FQ=PF-PQ即可求解.
14．【答案】30；或
【解析】【解答】解：（1）如下图所示．
∵∠BAE=30°，△ABF沿直线AF翻折，点B落在处，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°．
∴．
故答案为：30°．
（2）当点F在边BC上时，如下图所示．
∵AE=2EF，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，BC=4，
∴，AD=BC=4，∠ABF=90°．
∴∠EBF=∠EDA，∠EFB=∠EAD．
∴．
∴．
∴．
∵△ABF沿直线AF翻折，点B落在处，AB=2，
∴，．
∴．
∴四边形是菱形．
∴四边形是正方形．
∴．
∴．
当点F在边CD上时，如下图所示，设与AF交于点G．
∵AE=2EF，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，
∴，∠ADF=90°，AD=BC=4，．
∴∠EFD=∠EAB，∠EDF=∠EBA．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵△ABF沿直线AF翻折，点B落在处，
∴AF⊥，．
∴．
∴．
∴．
故答案为：或．
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠B'AE=∠BAE，根据矩形性质可得∠BAD=90°，即可求解；
（2）根据相似的性质可得BF的长，再利用折叠性质可得B'F，再根据勾股定理求解即可。
15．【答案】
【解析】【解答】解：过点A作轴于点H．
，由图像可知：
即
解得：或0（舍去）
故答案为：
【分析】过点A作轴于点H，利用割补法可得，再将数据代入可得，最后求出k的值即可。
16．【答案】（1）2
（2）
【解析】【解答】（1）在正方形中，
，
∵，
∴，，
∵轴。
∴．
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，．
将代入中，
得，
∴．
故答案为2．
（2）设，则，，
设直线的解析式：，
，
∴，
∴．
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴．
由题意：
作于，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）由正方形的性质与面积求得三角形BCM的面积，进而求得的面积，再根据函数的比例系数的几何意义求得k的值；
（2）设，则，，设直线的解析式：，根据相似三角形的比例关系证出，即可得出结论。
17．【答案】（1）30°
（2）6-2或2
【解析】【解答】解：（1）由翻折可得，BP=DP，
∵四边形ACPD为菱形，
∴CP=DP，
∴CP=BP，
∵∠B=30°，
∴∠BCP=30°，
故答案为30°；
（2）过P作PH⊥BC交于H，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴BC=2，
在Rt△PBH中，∠B=30°，PB=2PH，HB=PH，
由翻折的性质，∠BPC=∠CPD，
∵∠DPA=30°，
∴∠BPC-30°+∠BPC=180°，
∴∠BPC=105°，
∴∠PCB=180°-105°-30°=45°，
在Rt△CHP中，PH=CH，
∴PH+PH=2，
∴PH=3-，
∴PB=PD=6-2，
故答案为：6-2．
【分析】（1）由翻折得出CP=BP，由菱形的性质得出CP=DP， 即可得解；
（2）在Rt△PBH中，∠B=30°，PB=2PH，HB=PH，由翻折的性质，∠BPC=∠CPD，在Rt△CHP中，PH=CH，得出PH=3-，由此得解。
18．【答案】（1）80°
（2）2
【解析】【解答】（1）当∠B＝50°时，则∠A+∠C=130°，
由折叠可得，∠AGP=∠A，∠PHC=∠C，
∴∠AGP+∠PHC=130°，
∴∠APG+∠CPH=（180°-∠A-∠AGP）+（180°-∠C-∠PHC）=360°-（∠A+∠C）-（∠AGP+∠PHC）=100°，
∴∠GPH=180°-（∠APG+∠CPH）=80°，
故答案为：80°；
（2）当四边形BHPG为平行四边形时，ABPH，GPBC，
∴∠AGP=∠B，∠PHC=∠B，
∵∠AGP=∠A，∠PHC=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形，AC=AB=4，
∴在Rt△AGP和Rt△PCF中，PE＋PF=APcs60°+PCcs60°=（AP+PC）cs60°=ACcs60°=4×=，
故答案为：．
【分析】（1）根据三角形的内角和与折叠的性质即可求解；
（2）根据四边形BHPG为平行四边形时得出△ABC是等边三角形，AC=AB=4，再根据解直角三角形的性质即可求解。
19．【答案】1；
【解析】【解答】解：①若AB＝BC，
∵AB＝AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD=BC，
∴四边形ABCD为菱形，
∵ ，
∴四边形ABCD为正方形，
∴OB=OD，
，
故答案为1；
②过点D作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
若AB＝AC，
∵AB＝AD＝CD，
∴AB=AD=CD=AC，
∴三角形ACD为等边三角形，
∴∠DAO=60°，
∵DE⊥DE，
∴∠ADE=90°-∠DAE=30°
∴AE= ，DE= ，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAC=90°-∠CAD=30°，
∵BF⊥AC
∴BF=
∵∠BFO=∠DEO=90°，∠BOF=∠DOE，
∴△BOF∽△DOE，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】①若AB＝BC，由菱形的性质得出四边形ABCD为菱形，再证出四边形ABCD为正方形，得出OB=OD，即可得解；②过点D作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，先证出三角形ACD为等边三角形，再利用相似得出△BOF∽△DOE，即可得解。
20．【答案】
【解析】【解答】
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
在与中，
，
∴ ，
∴，
∴，，
∴
∵，且的角平分线到与的距离相等，
∴，
则．
∴．
故答案为：．
【分析】如图延长交于，根据垂直的定义得出，根据角平分线的定义得出，根据全等三角形的性质得出，求得，，根据三角形面积公式即可得出结论。
21．【答案】（1）证明：
∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形BCDE为菱形．
（2）解：（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）连接EF，
∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵
∵AE=AF，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
【解析】【分析】（1）利用AAS证明，得出 ， 从而得出 四边形BCDE为平行四边形， 再根据 CE⊥BD， 即可得出结论；
（2） （ⅰ）根据线段垂直平分线的性质得出BE=DE， 则 ∠BEO=∠DEO， 再根据平角的定义即可得出答案； （ⅱ）利用AAS证明，即可得出结论。
22．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形
∴
∵
∴
∵，，
∴
∵，
∴．
（2）解：如图，作
∵四边形是菱形
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴的值为．
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，即可得出结论；
（2）作，利用，得出，根据，即可得解。
23．【答案】（1）解：当∥时，
易证，
，
如图，分别过M，N作；，垂足分别为H，G，
∵，
∴，
最小，此时，点G与点H重合，即，
如图，作；，
则，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
；
（2）解：①存在最大值，
取中点O，则，
∴当四边形是矩形时，
易证，
设，
∵即，
解得：，
当，最大，最大值为，
②当时，有最大值（即以为直径的圆和线段相切或者有两个交点时，存在最大值）．
【解析】【分析】（1）先证明，可得，分别过M，N作；，垂足分别为H，G，结合，可得，即最小，此时，点G与点H重合，即，再求出即可；
（2）根据矩形的性质，分析出符合题意的情况进行求解即可。
24．【答案】（1）证明：设DE与CF的交点为G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
在△AED与△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE=CF，
（2）解：如图2，设DB与CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，BC=AD，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠DCE+∠CDB=∠CDB+∠CBD=90°，
∴∠DCE=∠CBD，
∵，
∴；
（3）解：如图3，过点C作交AF的延长线于点H，
∵，
∴，
∴四边形ABCH为矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）设DE与CF的交点为G，利用SAS证明△AED≌△DFC，即可得出结论；
（2）利用两个角相等，证明，由相似三角形的性质得出，即可得出答案；
（3）过点C作交AF的延长线于点H，得出四边形ABCH为矩形，再证明，由相似三角形的性质得出，即可得出答案。
25．【答案】（1）解：∵，，∴，∵D是AC的中点，
∴，，．∵，
∴，∴，∴．∵，
∴．在与中，，
∴，
∴．∵，，
∴，故
（2）解：①∵，，∴，，
∴．∵，K恰好是AB的中点，∴，
∴．
又∵，∴．∵，∴，
∴，即，
过点C作交BG的延长线于点H，
∴．
在与中，，
∴，∴．
∵，∴．
∵，∴，
∴；
（也可设，则，，可证，得
，∴，又可证，
∴，
∴，
∴，
∴．）；
②．
【解析】【解答】（2）②（简析：由得，∵，
∴．∵，∴，
∴．
【分析】（1）先证出△ADF≌△BDG，得出∠DAF=∠DBG，从而得出∠DBG+∠BFP=90°，即可得出∠APG=90°；
（2）①证出△CPE∽△CBP，得出，得出CP2=BC·CE， 过点C作CH∥AB交BG的延长线于点H，证出CP=CH=BE，即可得出BE2=BC·CE；
②由BE2=BC·CE得出，再根据AB=AC，CH=BE，得出，再根据相似三角形的性质得出，即可得出.
26．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDH=90°=∠ADE，AD=CD．
又∵AE=CH，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH．
（2）解：∵△ADE≌△CDH，
∴∠FAH=∠DCH．
又∵∠AHF=∠CHD，
∴△FAH∽△DCH，
∴，
∴．
∵∠AHC=∠FHD，
∴△AHC∽△FHD，
∴∠DFH=∠HAC．
∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴∠HAC=45°，
∴∠DFH=45°，即∠DFC=45°．
（3）解：CF=AF+DF．
证明：如图，在FC上截取FM=AF，连接AM．
∵△FAH∽△DCH，
∴∠AFH=∠CDH =90°，
∴∠FAM=45°，AM=AF．
∵∠DAC=45°，
∴∠FAM=∠DAC，
∴∠FAD=∠MAC．
∵△AHC∽△FHD，
∴∠ACM=∠ADF，
∴△AMC∽△AFD，
∴，
∴CM=DF，
∴CF=FM+CM=AF+DF．
【解析】【分析】（1） 根据HL证明Rt△ADE≌Rt△CDH．
（2） 证明△FAH∽△DCH，可得，即得，再证△AHC∽△FHD，结合正方形的性质可得∠DFH=∠HAC=45°；
（3） CF=AF+DF．证明：如图，在FC上截取FM=AF，连接AM．易求△AFM为等腰直角三角形，可得AM=AF ，证明△AMC∽△AFD，可得， 即得CM=DF， 从而求出 CF=FM+CM=AF+DF．
27．【答案】（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
是等腰直角三角形
CD是AB边上的中线，
，
FB⊥BE，
，
，
FB=EB，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
FE交BC于点G．
是正方形对角线交点，
点G是BC的中点；
（2）证明：如图，过点作，交延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
；
（3）解：如图，
是等腰直角三角形，
，，
BE平分∠DBC，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设则，
，
，
.
【解析】【分析】（1）先证明四边形CDBF是正方形，再结合G是正方形对角线交点，可得点G是BC的中点；
（2）过点作，交延长线于点，先证明四边形是平行四边形，结合可得四边形是矩形，从而可得FC//DH；
（3）先证明可得，设则，求出，再将数据代入计算即可。
28．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠ABC=90°，AB=BC，
∵CF⊥BE，
∴∠FCB+∠EBC＝∠EBC+∠ABE=90°，
∴∠FCB＝∠ABE，
又AB＝BC，∠A＝∠FBC，
∴（ASA），
∴BF＝AE，
∵E为AD中点，
∴，
∴F为AB中点，
∴AE＝AF，
∴∠AFE＝45°，
∴∠GFB=∠AFE＝45°，
∴∠G＝90°-45°＝45°，
∴，
即BC＝2BG；
（2）证明：∵BG＝BC，BF⊥CG，
∴FG＝FC，
∴∠G＝∠FCG，
∵，
∴∠AEF＝∠G，
∴∠AEF＝∠FCG，
又∠A＝∠ABC=90°，
∴，
∴，
∴AE•BF＝AF•BC，
由（1）可知，，
∴AE＝BF，AB＝BC，
∴；
（3）解：如图，延长OE、CD交于P点，连接CE，
∵∠PDE＝∠POC=90°，
又∠P＝∠P，
∴，
∴，
又∠P＝∠P，
∴，
∴∠EOD＝∠ECD，
设AE＝x，AB＝1，则AF＝1-x，
由（2）可得，
∴，解得，（舍去），
∴，
∴，
即．
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证明可得BF＝AE，再求出∠G＝90°-45°＝45°，即可得到，从而可得BC=2BG；
（2）先证明可得，再结合可得AE＝BF，AB＝BC，从而可得；
（3）延长OE、CD交于P点，连接CE，先证明可得∠EOD＝∠ECD，设AE＝x，AB＝1，则AF＝1-x，根据，可得，求出x的值，再利用正弦的定义可得，所以。
29．【答案】（1）证明：如图， AD∥BC，∠ABC＝90°，
O是对角线AC的中点，
而
四边形是平行四边形，
∠ABC＝90°，
四边形是矩形
（2）解：
而
（3）解：CD为或
【解析】【解答】(3)解：当在上时，如图，延长 交于点F，连接CF，连接DO，
同理可得：
而
四边形ABCF为平行四边形，
四边形ABCF为矩形，
在以DC的中点为圆心，DC为直径的圆上，
设
而
①
则
同理：
②
联立①②解方程组可得：（负根舍去），
当在上时，如图，
由（1）可得：四边形ABCE为矩形，
设
由
解得：（负根舍去），
综上：CD为或
【分析】（1）证出 得出 而 得出四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）由相似证出 而 代入求解即可得出
（3）当在上时，当在上时，两种情况分类讨论即可。
30．【答案】（1）解：∵AB是圆的直径，
∴
∴，∴（舍负值）．
（2）证明：连接BD，连接OD与AC交于点．
∵与圆相切于点，
∴，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴， ，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形OBCD是菱形，
∴平分．
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）连接BD，连接OD与AC交于点，利用切线的性质得出，利用平行四边形的性质得出， ，再根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出平分，即可解答