(杭州专用)中考数学二轮复习模拟题分类汇编专题13 几何基础题（2份，原卷版+解析版）

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（1）若，求线段的长．
（2）若的面积为1，求平行四边形的面积．
【答案】见解析
【详解】（1）四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
的面积为1，
的面积是16，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的面积，
平行四边形的面积．
2．（2021•杭州）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，，点在边上（不与点，点重合），点在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点．若 ，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：选择条件①的证明为：
，
，
在和中，
，
，
；
选择条件②的证明为：
，
，
在和中，
，
，
；
选择条件③的证明为：
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
．
故答案为①②或③
3．（2020•杭州）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．
（1）求证：．
（2）设，
①若，求线段的长；
②若的面积是20，求的面积．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：①，
，
，
，
解得：；
②，
，
，
，
，
．
4．（2019•杭州）如图，在中，．
（1）已知线段的垂直平分线与边交于点，连接，求证：．
（2）以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接．若，求的度数．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：线段的垂直平分线与边交于点，
，
，
，
；
（2）根据题意可知，
，
，，
，
，
，
．
5．（2018•杭州）如图，在中，，为边上的中线，于点．
（1）求证：．
（2）若，，求线段的长．
【答案】见解析
【详解】（1），，
，，
，
，
．
（2），，
，
在中，，
，
．
6．（2022•上城区一模）如图，平分，且，点为上一点．
（1）求证：．
（2）若，，，，求的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：平分，
，
又，
．
（2），
，
，
．
是等腰三角形，
，
，
．
故．
．
7．（2022•拱墅区一模）问题：如图，在中，点，点在对角线上（不与点，点重合），连接，．若____，求证：．
在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在上面问题中，并完成问题的解答．
【答案】见解析
【详解】选①，如图，连接，，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
．
8．（2022•西湖区一模）如图，已知中，，点是上一点，．
（1）求证：．
（2）若点为中点，且，求的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：点为中点，且，
，
，
，
，，，
，
，
或（不符合题意，舍去），
的长为．
9．（2022•西湖区一模）如图，已知中，，．
（1）请判断的形状，并说明理由．
（2）点为边上一点，且，
①求的度数．
②当时，求的长．
【答案】见解析
【详解】（1）是等腰直角三角形，理由如下：
过点作于点，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）由（1）知．
①，
；
②，，，
，
，
，，
，
在中，，，，
，
．
10．（2022•钱塘区一模）问题：如图，，若 ， ，求证： ．
在①，②，③这三个条件中选择其中两个，补充在上面问题的条件中，剩余的一个条件补充在结论中，并完成问题的解答．
（注只需选择一种情况进行作答）．
【答案】见解析
【详解】若，，求证：．
证明：在和中，
，
，
，
．
故答案为：，；．
11．（2022•钱塘区一模）如图，在平行四边形中，点为边上的点（不与点，点重合），连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，且的面积为1，求平行四边形的面积．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
由（1）知，，
，
，
平行四边形的面积为．
12．（2022•淳安县一模）如图，正方形中，是对角线上一点，连接，，延长交边于点．
（1）求证：．
（2）设，，试求与之间的数量关系．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
又，
，
，
．
．
13．（2022•淳安县一模）如图，在中，、分别是边、的中点，是延长线上一点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求证：．
【答案】见解析
【详解】（1）、分别是、的中点，
，，
，
，而，
，
；
（2），
，
，，
，
，
，
，
．
14．（2022•富阳区一模）如图，点，分别在，上，
（1）已知：，，求证：
（2）分别将“”记为①，””记为②，“”记为③，以①、③为条件，以②为结论构成命题1，以②、③为条件，以①为结论构成命题2，命题1是 命题，命题2是 命题（真、假）
【答案】见解析
【详解】证明：（1）连接，
在和中，
，
（2）以①、③为条件，以②为结论构成命题1，
，，
，
在和中，
，
，
，
故命题是真命题；
以②、③为条件，以①为结论构成命题2．
已知②、③，不一定成立，故是假命题．
故答案是：真，假．
15．（2022•富阳区一模）如图，已知正方形，，点为边上的动点，射线交于交射线于，过点作，交于点．
（1）当点是中点时，求长；
（2）求证：；
（3）若，求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【详解】（1）解：正方形，，
，，
，
，
又点是中点，
，
；
（2）证明：正方形，
，，
，
，
，
又，，
，
又，
，
；
（3）证明：由（2）可知，，
又，
，
，
由可知，
，
，
，
在中，，
，
，
，
即是斜边上的中线，
，
即是等边三角形．
16．（2022•临安区一模）在①，②这两个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，请完成问题的解答．
问题：如图，中，，点，在边上（不与点，重合）连结，．若 ，求证：．
【答案】见解析
【详解】，
证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
．
17．（2022•临安区一模）如图，正方形的边长为1，点是边上一点，过点作．
（1）设以线段，为邻边的矩形的面积为，以为边的正方形的面积为，且，求的长；
（2）连结，，若是的中点，交于点，连结，求证：．
【答案】见解析
【详解】（1）解：设，则，
，，
，
解得，（舍去），
；
（2）证明：如图，连接，，
四边形是正方形，
垂直平分线，
，
是的中点，，
，
．
18．（2022•钱塘区二模）已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．求证：
①；
②；
③．
【答案】见解析
【详解】证明：①为的角平分线，
，
在与中，
，
；
②，
，
，，
，
，，
和为等腰三角形，
，
，
，
；
③如图，过点作交的延长线于点，
平分，，，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
．
19．（2022•西湖区校级一模）如图，在中，是角平分线，点是边上一点，且满足．
（1）证明：．
（2）若，，求的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：是的角平分线，
．
，
．
（2）解：，
，
，，
，
．
20．（2022•西湖区校级一模）在中，，，为锐角且．
（1）求的面积；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】见解析
【详解】（1）过点作，垂足为．
．
为锐角且，
．
．
，，
．
．
（2），，
．
在中，
．
（3）在中，
．
21．（2022•萧山区校级一模）如图，为锐角，射线射线，作和的平分线分别交和于点和，连接，求证：四边形为菱形．
【答案】见解析
【详解】证明：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
四边形是菱形．
22．（2022•萧山区校级一模）如图，中，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角形，使，连结，则：
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：（1），点是边的中点，
，
，
，
，
；
（2）过点作，垂足为，设与交于点，
，点是边的中点，
，
，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
23．（2022•萧山区一模）如图，中，点，分别是，上的点，，交于点，，．
（1）求证：；
（2）若，试求的度数．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，，
，，
，
，
；
（2）解：设，
，
，
又，
，
，
解得，
．
24．（2022•萧山区一模）如图，正方形中，点是边上的动点（不与点，重合），连结，．
（1）试问是否存在某个点使平分？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
（2）若周长的最小值为4，求此时的长．
【答案】见解析
【详解】（1）不存在，理由如下：
过点作于点，如图．
假设平分，则，
四边形为正方形，
，
，
，
．
依据在正方形中，，
，
在中，，与矛盾，
不存在点使平分．
（2）作点关于的对称点，连接，，与交于点．
，，
周长为，
要使的周长最小，即求最小，
为正方形的边长，为定值，
所求的的周长最小，即求最小，
当点，，三点共线时，最小，
．
设，则，
，
，
解得．
，
，，
，
，
．
25．（2022•滨江区一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．
问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号），求证：．
【答案】见解析
【详解】选择条件②，证明过程如下：
四边形的两条对角线交于点，
，
，
．
26．（2022•滨江区一模）如图，点是正方形对角线上的一点，连接．过点作，，分别交边，于点，，连接．
（1）求证：．
（2）若，，求线段的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：连接，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
四边形是矩形，
，
在与中，
，
，
，
；
（2）解：四边形是正方形，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
27．（2022•余杭区一模）在①，②，③这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
如图，在四边形中，对角线与相交于点，，若 ．（选择①，②，③中的一项）
求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【详解】①添加，
，
，
在与中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
②添加，
同理可证明四边形是平行四边形；
③添加，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
故答案为：①或②或③．
28．（2022•富阳区二模）在①，②，③，这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
如图，在中，，若 （选择①，②，③中的一项）
求证：．
（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答给分）
【答案】见解析
【详解】选择①，理由如下：
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：①．
29．（2022•西湖区校级模拟）（1）如图1，在中，，，求的度数；
（2）如图2，在中，，且，求的度数．
【答案】见解析
【详解】，，
，
由三角形外角与外角性质可得，
又，
，
．
故的度数是；
（2）设，
，
，
，
，，
在中，，
解得：，
．
故的度数是．
30．（2022•西湖区校级模拟）已知：如图，正方形中，是边上一点，，，垂足分别是点、．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中
，
，
，
；
（2）解：，
，，
，，
，
，
．
31．（2022•西湖区校级二模）已知：如图，矩形的对角线，相交于点，，．
（1）求矩形对角线的长；
（2）过作于点，连结．记，求的值．
【答案】见解析
【详解】（1），
，
四边形是矩形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
矩形对角线的长为4；
（2）由勾股定理得：，
，于点，
，
．
32．（2022•西湖区校级二模）在图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．设，，．
（1）①如图1．当，时， ， ．
②如图2．当，时， ， ．
（2）观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明．
【答案】见解析
【详解】（1）①如图1，连接，则是的中位线，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
也是等腰直角三角形，
，，
，
，；
故答案为：，；
②如图2，
连接，则是的中位线．
，，，
，，
，，
，，
，，
，；
故答案为：，．
（2），理由如下：
如图3，连接，
设，，
则，
，，
，，
，，
，，
．
33．（2022•西湖区校级模拟）如图，在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在中，是边上一点，，分别是和高，交于，若 ．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【答案】见解析
【详解】若①，
（1）证明：，分别是和高，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：①（答案不唯一）．
34．（2022•下城区校级二模）如图，中，、分别是、上的点，且，．
（1）求证：；
（2）若，求的长度
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，．
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
35．（2022•下城区校级二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，分别在，上（不与，，重合），连接，，与交于点，与交于点．已知，平分．
（1）求证：．
（2）若的面积为，的面积为，求的值．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）解：四边形是正方形，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
过作于，
是等腰直角三角形，
，
设，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
36．（2022•杭州模拟）如图，是正方形的边上的一点，过作，交延长线于点．的延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：正方形中，，，
，
，
，
在与中．
，
，
；
（2）解：在中，
，，，
，，
，
，，
，
，
．
37．（2022•杭州模拟）如图，中，，，是边上的一点（不与、点重合），是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，，，求；
（3）若，，求（用含的代数式表示）．
【答案】见解析
【详解】（1）是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，，
，
，
由（1）得，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
；
（3）作于，
，，
设，则，，，
，
，
，
，
，，
，
．
38．（2022•江干区校级模拟）如图，四边形是菱形，是的中点，的垂线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，．
①求菱形的周长；
②若，求的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：如图，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
点是的中点，
点是的中点，，
，
．
（2）解：①由（1）得，点是的中点，
，
四边形是菱形，
，
，，
，
，
，，
，
菱形的周长为．
②如图，连接，记与交点为点，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
，
，，
，
．
39．（2022•拱墅区模拟）如图，在中，，点，分别在边，上，，连结，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】见解析
【详解】（1），，
，
，，
，
；
（2）在中，，
，
，
，
．
40．（2022•拱墅区模拟）如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为．
（1）若，求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积为64，求菱形的面积．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，，
，
四边形是菱形，
，
，，
点为对角线的中点，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，的面积为64，
，
即，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
．
41．（2022•拱墅区模拟）如图，在中，点在边上，．
（1）求证：；
（2）若，．求的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
或（舍去），
的长为．
42．（2022•拱墅区模拟）如图，在四边形中，，，对角线、交于，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
在中，，，
，
．