辽宁省鞍山市高新区2024--2025学年上学期九年级期中测试数学试卷（解析版）-A4

这是一份辽宁省鞍山市高新区2024--2025学年上学期九年级期中测试数学试卷（解析版）-A4，共29页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，熟记二次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：A、不是二次函数，故选项不符合题意；
B、若，不是二次函数，故选项不符合题意；
C、，二次函数，故选项符合题意；
D、，不是二次函数，故选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．不轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
3. 若是方程的一个解，则m的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，解得，
故选：D．
4. 在中，，若，则的正切值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，掌握直角三角形中各锐角三角函数的计算方法是解题的关键．
根据题意，设，，利用勾股定理得到，最后由三角函数的定义可得的值．
【详解】解：如图所示，
在中，，，
∴设，，
∴
∴．
故选：A．
5. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数得图像与几何变换，熟知二次函数图像平移得法则是解题的关键．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是．
故选C．
6. 两个相似多边形的相似比为，则它们的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于多边形的相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方．
根据相似多边形的性质“相似多边形的面积比等于相似比的平方”即可直接得出答案．
【详解】解：两个相似多边形的相似比为，
它们的面积比为：，
故选：．
7. 如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，若设路宽为，则x应满足的方程是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设路宽为x，所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据要使观赏路面积占总面积，可列方程求解．
本题考查理解题意的能力，关键是表示出剩下的长和宽，根据面积列方程．
【详解】解：设路宽为，由题意得，
，
即．
故选：B．
8. 如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先根据，可得，根据相似三角形对应边成比例可得，所以可得，根据，，可证，根据相似三角形对应边成比例可求CD的长度．
【详解】解：如下图所示，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故选： A．
9. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：
①；
②方程一定有一个根在和之间；
③方程定有两个不相等的实数根；
④；
⑤对于任意实数，都有．其中，正确结论的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴,
∴，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间，
∴与x轴的另一个交点在、0之间，
∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误；
∵抛物线与直线有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，
∴，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴，
∴，
∴．故④错误．
∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，的最大值为，
∴对于任意实数，都有，
∴对于任意实数，．
故⑤正确；
综上，①③⑤正确，共3个．
故选：C．
10. 菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积．
【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，
连接，相交于点O，与交于点E，

∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，
∴，
∴A，，C三点共线，
∴，
又∵，
∴，，
∵重叠部分的面积，
∴重叠部分的面积；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．
二、填空（共5小题，每题3分，共15分）
11. 抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的顶点式，根据所给抛物线的解析式即可得，掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
12. 计算：_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
13. 如图，在中，点，分别在，上，，，且，，即的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据，可得，从而得到，可证明，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴．
故答案为：5．
14. 如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意建立直角坐标系，提取出点的坐标求出抛物线解析式，根据能跳绳及高度大于米列不等式即可得到m的值．
【详解】解：以O为坐标原点，所在直线为y轴所在直线为x轴，由题意可得，
，，，
设抛物线解析式为
，将点代入可得，
，
解得：，
∴，
∵身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处能够正常跳大绳，
即跳绳高度要高于米，
∴，
当时，
整理得，
解得，，
即身高为米的小吉站在距点О水平距离1米处和5米处时，绳子恰好在头顶上，
∵绳子甩到最高时要超过他的头顶，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数的应用及坐标求法，解题的关键是建立适当的直角坐标系，会根据题意得出点的坐标．
15. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，则的长为_____．
【答案】或或
【解析】
【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解．
【详解】解：连接，取中点，连接，如图所示，

在中，，，
，
为等边三角形，
，
，
.
，
当点在上时，，此时为直角三角形，如图所示，
，
.
当点在的延长线上时，如图所示，，此时为直角三角形，
.
当点在的延长线上时，如图所示，
，
四边形为矩形.
，此时为直角三角形，
，
综上，的长为或或，
故答案为：或或.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题
16. 解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）移项，然后利用配方法解一元二次方程即可；
（2）移项，然后利用配方法解一元二次方程即可．
小问1详解】
解得，；
【小问2详解】
解得．
17. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为；再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为．（结果均精确到，参考数据：，，）
（1）无人机在点处时距离教学楼底端点的距离；
（2）求教学楼的高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，
（1）延长交直线于点H，由题意知，用三角函数解即可求出；
（2）先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解．
【小问1详解】
解：如图，延长交直线于点H，则，

由题意知，
∵
∴在中，
∴
∴
∴无人机在点处时距离教学楼底端点的距离为；
【小问2详解】
解：在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
．
18. 抛物线．
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；
（2）若直线与抛物线有两个交点的横坐标分别为，，当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）2或
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系；
（1）联立抛物线与直线方程，整理得，进而计算，根据，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，求得，，结合已知条件，解方程，即可求解．
【小问1详解】
证明：，
整理得，
，
，
即
直线与抛物线总有两个交点
【小问2详解】
，，
，
或，
的值为2或；
19. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
（1）求二次函数图象的解析式；
（2）请补全表格，并在如图所示平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象；
（3）根据图象回答下列问题：
①当时，的取值范围为_____；
②当时，的取值范围为_____；
②若抛物线与轴交点为，与轴交点为，抛物线顶点为，则_____．
【答案】（1）
（2）补全的列表见解析，画出的图象见解析
（3）①或；②；②或．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的画法，二次函数解析式的求法，二次函数的性质，三角形面积求法，利用列表描点画出图象是解答关键．
（1）根据列表中的函数值，设出二次函数的两点式，再将点代入求出即可求解；
（2）根据解析式填出列表，描点，画出函数图象；
（3）①②根据函数图象来求解；③根据图象可知，抛物线与轴的交点是和1,0，与的交点是0,3，分两种情况：当点在的正半轴时，当点在的负半轴时，利用三角形和梯形面积公式求解．
【小问1详解】
解：根据列表设二次函数解析式为，当时，，
，
，
．
【小问2详解】
解：根据题意填表如下：
画图如下：
【小问3详解】
解：①当时，根据图象得
的取值范围为或．
故答案为：或；
②当时，根据图象得
的取值范围为．
故答案为：；
③根据图象可知，抛物线与轴的交点是和1,0，与的交点是．
过点作抛物线对称轴交轴于点，如下图
当点在的正半轴时，
，
点在的负半轴时，
，
所以的面积是或．
故答案为：或．
20. 如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD=BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB=CD； （2）如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）7.
【解析】
【分析】（1）欲证明AB=CD，只需证得；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．
【详解】（1）证明：如图，，
，
，即，
；
（2）如图，过作于点，作于点，连接、．
则，．
，
．
在与中，
，
，
，
四边形是正方形，
．
设，则，
在直角中．由勾股定理得到：，
解得．
则，即．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系与勾股定理，解题的关键是熟练的掌握圆心角、弧、弦的关系与勾股定理.
21. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，某零售店以每个32元的价格购进了“滨滨”吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个“滨滨”吉祥物．
（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
（2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，该零售店每个售价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）该零售店每个售价62元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键．
（1）依据题意，设每次上涨的百分率为，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）依据题意，设每个售价为元，可列出关于m的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解．
【小问1详解】
解：由题意，设每次上涨百分率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每次上涨的百分率为．
【小问2详解】
解：由题意，设每个售价为元，
每天的利润
．
当时，每天的最大利润为9000元．
答：该零售店每个售价62元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元．
22. 综合与探究：在中，，为的中点，的两边分别交直线，于点，，且．
【问题探究】
如图1，若，点在线段上，点在线段上，
（1）判断与的数量关系是 ．
（2）求证：；
【拓展延伸】
（3）若，，连接，当时，求的长．
【答案】（1）
（2）证明见解析； （3）的长为或．
【解析】
【分析】（1）连接，利用全等三角形判定定理证明，即可得出结论；
（2）由（1）中的结论得，得到，再结合是等腰直角三角形得到，通过等量代换即可完成证明；
（3）由点在直线上且，故需要分情况①点在线段上；②点在延长线上，2种情况的辅助线和解题思路基本一致：过点D作交于P，交于Q，先利用平行线分线段成比例的性质证得P、Q分别为、的中点，再利用四边形是矩形得到和的长度，再通过证明，并利用对应边成比例的性质得到的长度，最后在中运用勾股定理即可求解的长．
【小问1详解】
解：如图，连接，
，
是等腰直角三角形，，
又为的中点，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：．
【小问2详解】
证明：由（1）中的结论得，，
，
，
，
，
即，
．
【小问3详解】
由点在直线上且，故需要分2种情况讨论：
①若点在线段上，如图，过点D作交于P，交于Q，
，
，
，
，
为的中点，
，
，即P为的中点，
同理可得，，即Q为的中点，
，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
，
又，
，
，即，
，
，
在中，，
；
②若点在延长线上，如图，同①中辅助线，
由①中结论得，P为的中点，Q为的中点，四边形是矩形，
，，
，
，，
同理可证得：，
，即，
，
，
在中，，
；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线判定全等三角形，学会作垂线构造直角三角形运用勾股定理，学会判定相似三角形，并利用对应边成比例的性质计算线段的长度是解题的关键，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生．
23. 对于某一函数给出如下定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图2所示，且它的“镜面函数”的表达式为：．
（1）求函数的镜面函数；（结果写成顶点式）
（2）若直线与函数的镜面函数有且只有三个交点，求的值；
（3）当时，函数的镜面函数的最大值为3，直接写出的值；
（4）函数的镜面函数与轴有不同的交点个数时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）或0
（4）①当时，函数图象与轴无交点；②当时，函数图象与轴有1个交点；③当时，函数与轴有2个交点；④当时，函数图象与轴有3个交点；⑤当时，函数与轴有4个交点
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，掌握函数关于直线对称的本质是点的对称是解题的关键．
（1）根据定义，先求出关于直线的对称顶点，即可求出对称后的函数解析式为：，继而可求出镜面函数；
（2）当直线与抛物线有一个交点时，符合题意，则，整理得：，由得：，解得：；当直线经过1,0时，符合题意，则，解得：；
（3）在中，当，解得：或，在中，当，解得：或，因此当时，函数的镜面函数的最大值为3，则或或时，符合题意，求解即可；
（4）分类讨论，画图求解．
【小问1详解】
解：的顶点为，
则关于直线对称顶点为，
∴对称后的函数解析式为：，
∴函数的镜面函数为；
【小问2详解】
解：当时，则，
解得：或，
，
解得：或，
∴函数的镜面函数与x轴交点为,
当直线与抛物线有一个交点时，符合题意，
则，
整理得：，
由得：，
解得：；
当直线经过1,0时，符合题意，
∴，
解得：，
综上所述，b的值为或；
【小问3详解】
解：在中，当，
则，
解得：或，
在中，当，
则，
解得：或，
∴如图，当时，函数的镜面函数的最大值为3，
则或或时，符合题意，
∴或或；
【小问4详解】
解：由上可知，当，镜面函数与x轴有3个交点；
如图，当时，镜面函数与x轴有4个交点；
如图：当时，镜面函数与x轴有2个交点；
如图：当时，镜面函数与x轴有1个交点；
如图：当时，镜面函数与x轴有没有交点，
综上所述：①当时，函数图象与轴无交点；②当时，函数图象与轴有1个交点；③当时，函数与轴有2个交点；④当时，函数图象与轴有3个交点；⑤当时，函数与轴有4个交点．
…
…
…
…
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