辽宁省鞍山市铁西实验学校2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份辽宁省鞍山市铁西实验学校2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试卷（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【详解】解：若关于x的方程是一元二次方程，则．
故选：B．
2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
3. 已知是方程的一个解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵x=2是方程的一个解，
∴，
解得：a=3，
∴2a-1=5．
故选：C．
4. 在中，点M在边上，且，阅读以下作图步骤：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；
②以点M为圆心，以长为半径画弧，交于点；
③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点；
④连接并延长，交于点N，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图--作一个角等于已知角、平行线的判定和相似三角形判定与性质，掌握知识点是解题关键．由作图可知：，推出，利用平行线的性质证出即可解决问题．
【详解】解：由作图可知：，
∴，
∴，
，
，
，
故选：A．
5. 关于x的方程有两个实数根，则n的取值范围是( )
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意，分，时，分别讨论，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：当时，原方程为x=0，此时不满足方程有两个实数根；
当时，原方程为一元二次方程，则，
，
；
综上所述，且，
故选：B．
6. 如图，直线，的边在直线b上，，将绕点O顺时针旋转至，边交直线a于点C，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质和平行线的性质即可得到结论．本题考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：如图
将绕点顺时针旋转至，
，，
，
直线，
，
故选：A．
7. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x2﹣13x+15＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 8B. 11.5C. 10D. 8或11.5
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案．
【详解】解：2x2﹣13x+15＝0
（x-5）（2x-3）=0，
解得：x1=5，x2=1.5，
①当等腰三角形的三边为5，1.5，1.5时，1.5+1.5＜5，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
②当等腰三角形的三边为5，5，1.5时，此时能组成三角形，三角形的周长是5+5+1.5=11.5，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
8. 如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点的对应点的坐标是（ ）
A. (-2，3)B. (-3，2)C. (-2，4)D. (-3，3)
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质解答即可．
【详解】解：∵线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，
∴的对应点为，∴，∴旋转角为90°，
∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的点的坐标为（-2，3），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，练掌握对应点与旋转中心的连线是旋转角和旋转角相等是解答本题的关键．
9. 下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，根据表中的信息，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用3月份收入=1月份的收入×(1+月收入的增长率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10. 如图，中，，，，将绕点A逆时针方向旋转得，交于点E，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，先求出，，由旋转的性质可得，，，再利用勾股定理解题即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
由旋转可得，，，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每题3分，共计15分）
11. 二次函数中，二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________．
【答案】 ①. 3 ②. ③. 5
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义．二次函数：b，c是常数且，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：由，得它的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5．
故答案是：3，，5．
12. 如图，相交于点O，，M是的中点，，交于点N．若，，则的长为 _____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质及判定，掌握全等三角形的性质及判定方法是解决本题的关键．根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：，
，
，是的中点，
∴是的中位线，
，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
∵
，
故答案为：4．
13. 一元二次方程的根是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到．连接并延长与的延长线交于点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，过点作交延长线于点，证明和全等，得到，再根据等腰直角三角形三边关系，求出比值即可，掌握全等三角形的性质与判定方法是解题的关键.
【详解】解：过点作交延长线于点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵绕点逆时针旋转，得到，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，正方形边长为，则，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
，
故答案为：．
15. 关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】解：∵关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），
∴方程变形为，
即此方程中或，
解得或．
故方程的解为．
故答案为．
【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
三、解答题（共8小题，共计60分）
16. 解下列方程：
（1）（配方法）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
∴，；
【小问2详解】
解：，
，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，，，，中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到．

（1）请画出并写出点，，的坐标；
（2）将绕原点O顺时针旋转90度得到，请画出．
【答案】（1）见解析；，，；
（2）如（1）图，即为所求．
【解析】
【分析】本题主要查了图形的变换—平移和旋转：
（1）根据平移的性质解答，即可求解；
（2）根据旋转的性质解答，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到，
如图，即为所求；
，
，，；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程两个实数根x1，x2满足，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根；
（2）根据根与系数关系可得 ①、②，结合③，可求出、的值，将其代入③中即可求出m的值．
【详解】解：（1）∵在方程中，
△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为、，
∴ ①、②．
∵③，
∴将①②代入③得，，
解得．
【点睛】本题考查根判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系．
19. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【答案】（1），
（2）每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答；
（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答．
【小问1详解】
解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，．
【小问2详解】
解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
【小问3详解】
解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
20. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB上的点，且，连接DE并延长至点F，使EF＝3DE，连接CE、AF．证明：AF＝CE．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】先证明两三角形相似，再根据相似得到边的大小关系，从而证明四边形AFEC为平行四边形，从而得到结果.
【详解】证明：∵
∴△BDE∽△BCA，
∴∠BDE＝∠BCA，AC＝3DE，
∴DF∥AC．
∵EF＝3DE，
∴EF＝AC，
∴四边形AFEC为平行四边形，
∴AF＝CE．
【点睛】此题重点考查学生对三角形相似的应用，掌握两三角形相似的判定和性质是解题的关键.
21. 一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮．
（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为 的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为 ．
（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）能，2cm
【解析】
【分析】（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长cm，宽为cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程；
（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长 cm，宽为cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，求解即可．
【小问1详解】
解：设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长cm，宽为cm的矩形,
依题意，得：．
所以可列方程：．
【小问2详解】
解：能折出底面积为的有盖盒子，理由如下：
设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长 cm，宽为cm的矩形，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）；
答：能折出底面积为的有盖盒子，裁去的左侧正方形的边长为2cm．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键.
22. 如图1，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，连接，．
（1）如图2，当恰好经过点时，求证：；
（2）如图3，当恰好经过点时，求的长；
（3）在图2的基础上，将沿直线的方向平移，点，，的对应点分别为，，．连接，，，若为以为底的等腰三角形．
①当点在延长线上时，如图4，求线段的长；
②当点在射线上时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）由题意知，，由旋转的性质可知，，，，，，可证是等边三角形，，则，，证明是等边三角形，，进而可得；
（2）由题意知，，由旋转的性质可知，，，，，则，，，，则，，由勾股定理得，，计算求解即可；
（3）①由题意知，，如图4，作交于，使，连接，则四边形是平行四边形，，，同理（1）可知，是等边三角形，，，由平移的性质可知，，，则，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可；②如图2，同理（3）①，根据，求解作答即可．
【小问1详解】
证明：由题意知，，
由旋转的性质可知，，，，，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由题意知，，
由旋转的性质可知，，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为；
【小问3详解】
①解：由题意知，，
如图4，作交于，使，连接，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
同理（1）可知，是等边三角形，，
∴，
由平移的性质可知，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴的长为；
②解：如图2，
同理（3）①，四边形是平行四边形，，，，，，
由勾股定理得，，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定，勾股定理，正弦，余弦，平移的性质，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定，勾股定理，正弦，余弦，平移的性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下．请根据素材帮助他完成相应任务：
【答案】任务1：；任务2：，；任务3：．
【解析】
【分析】任务1：令，将其看作关于x的一元二次方程，利用判别式列出不等式求解即可；
任务2：令，将代入，将其看作关于字母的一元二次方程，利用判别式求的k得范围，即可确定的最大值；
任务3：过点B作，根据题意可得，，，利用勾股定理得，令，则有，将其看成关于a的一元二次方程，利用判别式求得y得范围，可知最大值，则有，结合代入消元法求解即可．
【详解】任务1：
解：根据素材中的判别式法，令．整理得．
关于x的一元二次方程，，
解得：．故y的最小值为．
任务2：
解：令，则．
将代入，得．
把看作是关于x的一元二次方程，则，
解得
则
的最大值为．
故答案：，．
任务3：
如图，过点B作，点E为垂足．
根据题意，，，．
在，，
在中，
即
整理得，，
令，则，代入上式得到一个关于b的一元二次方程：．
解不等式得，则k的最大值为26，即的最大值为26．
把代入得．
解方程得，，
故当最大时，．
月份
1
2
3
4
5
收入/万元
10
12
14
关于最值问题的探究
素材1
“主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常数，则原方程可化为：．这就是一个关于a的一元一次方程了．
素材2
对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令．然后移项可得：再利用根的判别式来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法．
问题解决
任务1
感受新知：用判别式法求的最小值；
任务2
探索新知：若实数x、y满足．求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得________．若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为__________；
任务3
应用新知：如图，在平行四边形中，，．记，，当最大时，求此时b的值．