高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第1课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第1课时教案，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.类比指对数函数、幂函数的研究方法，通过观察、探究正余弦函数的图象得到正余弦函数的性质：通过直观感知——操作确认——严格证明的认识方法体会正余弦函数的周期性“周而复始”的特点，然后从周期性出发，探究奇偶性、对称性.
2.初步掌握用正余弦函数的性质来简化正余弦函数的研究过程，并灵活应用.通过观察图象、诱导公式恒等变形等数形结合的手段，培养学生自主探究和逻辑思维、体会整体代换（换元法）的精妙之处.

二、教学重难点
重点：结合图象探究、理解正余弦函数的周期性、奇偶性与对称性.
难点：理解周期函数的意义、最小正周期的意义．

三、教学过程
（一）创设情境
情境：你能举出生活中的周而复始，循环往复现象吗？
我们称这种周而复始，循环往复的变化规律为周期性，那么正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢?
设计意图：从生活中的简单例子引入本节新课，让学生意识到数学与生活息息相关，培养学生学习数学的兴趣.
（二）探究新知
任务1：了解正弦函数、余弦函数的周期性
思考：回忆正弦函数（余弦函数）图象的作图顺序，我们先画哪个区间的图象？为什么？
答：先画区间[0，2π]上的图象，再画整个定义域的图象.
思考：由诱导公式一：sin(x＋2kπ)＝sin x，cs(x＋2kπ)＝cs x,k∈Z .结合正(余)弦曲线，可以看出正(余)弦函数怎样的特征?图象变化趋势是怎样的?
师生活动：教师利用多媒体演示图片，以正弦函数为例，在以2π长度的区间内的一段函数图象在整个定义域区间内“平移”得到整个正弦函数.也就是说：每隔2π个单位长度，函数值就一样（即纵坐标相同的点）.同学不难发现，这一点可以从定义中看出，也能从诱导公式sin(2kπ＋x)＝sin x(k∈Z)中得到反映，即自变量x的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等.即f(x+k⋅2π)＝f(x)(k∈Z)
设计意图：通过观察图象，从“形”上对周期性有初步了解，再通过诱导公式1定性的分析函数的周期性，归纳总结确定周期函数的对应法则满足的条件.这样从“形”到“数”为周期性定义的给出做好铺垫.
形成概念：一般地，设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．
师生活动：学生观察正弦函数图象，教师引导学生得到2π就是它一个周期.同理请学生思考余弦函数的一个周期可以是多少，选派学生代表来回答.
注意：周期函数的周期不止一个.如：2π，4π，…，以及 – 2π，– 6π，…，都是正弦函数的周期；
事实上 ∀ k∈Z，且 k ≠ 0，常数 2kπ 都是它的周期.
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
设计意图：最小正周期的介绍是在学生对周期函数有一个初步认识的基础上，一切水到渠成．
总结：正弦函数是周期函数，2kπ( k∈Z，且 k ≠ 0)都是它的周期，最小正周期是2π.
类似地，余弦函数是周期函数，2kπ( k∈Z，且 k ≠ 0)都是它的周期，最小正周期是2π.
思考：sin(−23π+π3)=−32=sin(−2π3),sin(π3+π3)=32=sinπ3，
那么π3是正弦函数y=sinx的一个周期吗？为什么？
答：不是，因为当x=π6时，sin(π6+π3)=sinπ2=1≠sinπ6，
所以，π3不是正弦函数y=sinx的一个周期.
设计意图：高一的学生对于“任意”“存在”的理解是比较困难的，教学中让更多的学生参与概念的生成过程，让学生提出想法，并让学生辨析这个想法是否科学.充分认识概念中提到的关键条件，特别是对“任意”二字的理解.
思考：如果函数f(x)的周期为T，那么2T是不是它的周期？3T、4T呢？你能发现什么规律吗？
答：2T是它的周期，3T、4T也是它的周期，kT(k∈Z且k≠0)都是函数的周期．
思考：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？
答：有无数个，周期函数的图象周期性重复出现.
设计意图：通过对函数周期不唯一性的探究，让学生认识到函数的周期不止一个，它们有无数个周期，周期函数的图象周期性重复出现.
任务2：探索正弦函数、余弦函数的奇偶性
探究：仔细观察正弦、余弦函数的图象，说说它们分别关于什么对称？
答：正弦曲线关于原点O对称，所以正弦函数是奇函数；
余弦曲线关于y轴对称，所以余弦函数是偶函数.
思考：如何从代数角度证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？
证明：函数y=sinx定义域为R
∵f(−x)=sin(−x)=−sinx=−f(x)
∴ y=sinx 为奇函数.
函数y=csx定义域为R
∵f(−x)=cs(−x)=csx=f(x)
∴ y=csx 为偶函数.
总结：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
设计意图：从几何与代数的角度，分别探究正弦函数与余弦函数的奇偶性，加深学生对正余弦函数奇偶性的理解.
任务3. 探索正弦函数、余弦函数的对称性.
探究：容易知道，正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外，正弦曲线还有其他的对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数，讨论上述同样的问题.
答：正弦曲线的对称中心(kπ,0),k∈Z；对称轴x=π2+kπ,k∈Z
余弦曲线的对称中心(π2+kπ,0),k∈Z；对称轴x=kπ,k∈Z
师生活动：学生通过观察图象先独立思考，再小组讨论教师适时点拨，共同总结归纳.
设计意图：学生通过观察正弦函数、余弦函数的图象，尝试总结对称性，培养学生逻辑推理、直观想象、数学抽象、等核心素养，同时培养他们的团队合作意识.
（三）应用举例
例1求下列函数的周期：
(1)y=3sinx，x∈R
2 f(x)=cs2x，x∈R
(3)f(x)=2sin(12x−π6)
解：（1）任意 x∈R，有 3sin(x+ 2π ) = 3sinx ，
由周期函数的定义可知，y = 3sinx，x∈R的最小正周期为2π ；
(2)令 z = 2x，由 x∈R，得 z∈R，且 y=csz的周期为2π；
∵cs( z+2π)=csz，∴cs(2x+2π) =cs2x，
∴cs2( x+π)=cs2x，x∈R，
由周期函数定义知，y =cs2x的周期为π；
（3）令z=12x−π6，由 x∈R，得 z∈R，且 y = 2sin z的周期为即周期为2π；
即：2sin(z+2π) =2sin z，∴2sin[ (12x−π6)+2π ]=2sin (12x−π6)，
所以， 2sin[ 12(x+4π)−π6 ] = 2sin (12x−π6).
由周期函数的定义知，原函数的周期为 4π .
设计意图：通过例1的巩固训练，让学生加深对周期概念的理解.并通过运用周期定义的证明来训练同学们的逻辑推理素养.
总结：
1.形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)(A，ω，φ是常数， A≠0，ω≠0)的函数的周期为T=2π|ω|.
2.正弦函数、余弦函数的周期性，实质上是由终边相同角所具有的周期性决定的.
设计意图：推导出三角函数模型fx=Asinωx+φ的周期，让学生明确只有ω对周期产生影响，培养学生由特殊到一般的归纳能力，以及严密地逻辑推理能力.
总结：对周期函数中“周期” 理解
自变量x本身加的常数才是最小正周期；即f (2x+T)= f (2x)中T不是最小正周期；如：f (2x+T)= f [2(x+T2)]=f (2x)，即 T2才是最小正周期.
② 周期函数的周期不唯一；若T是函数f (x)的最小正周期，则kT (k∈Z且k ≠ 0) 也是函数f (x)的周期；
③ 不是所有的周期函数都有最小正周期；对于函数f(x)=c (c为常数，x∈R)所有非零实数T都是它的周期，故最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.
例2 判断下列函数的奇偶性，并说明理由.
（1）y = 2sinx，x∈[0，2π]； （2）y = 1 – csx，x∈R；
（3）y = x + sinx，x∈R； （4）y = – sinx·csx，x∈R.
解：（1）定义域关于原点不对称，所以函数 y = 2sinx，x∈[0，2π] 无奇偶性；
（2）定义域关于原点对称，又 y = f (x)且f (– x) = 1 – csx = f (x)；偶函数；
（3）定义域关于原点对称，又 f (– x) = – x – sinx = – f (x)；奇函数；
（4）定义域关于原点对称，又 f (– x) = sinx · csx = – f (x)；奇函数.
总结：
1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f (x)与f (-x)的关系.
2.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
设计意图：巩固学生对奇偶性的理解.
例3 已知函数f(x)=5sin(2x+π3)，则下列说法正确的是（ ）
A.图象关于点(π6,0)对称B.图象关于点(π3,0)对称
C.图象关于直线x＝π6对称D.图象关于直线x＝π3对称
解：由题可得，设2x+π3＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ2－π6，k∈Z，
所以函数f(x)的对称中心为(kπ2－π6,0)，k∈Z.
设2x+π3＝kπ+π2，k∈Z，解得x＝kπ2+π12，k∈Z，
所以函数f(x)的对称轴为x＝kπ2+π12，k∈Z.
通过对比选项可知，f(x)的图象关于点(π3,0)对称.
故选B.
设计意图：加深学生对正弦函数、余弦函数的对称性的理解，突出重点.
例4 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0,π2]时，f(x)=sin x，则f(5π3)等于（ ）.
A.−12 B.12 C.−32 D.32
解：f(5π3)=f(5π3−π)=f(2π3)=f(2π3−π)=f(−π3)=f(π3)=sinπ3=32.
故选D.
设计意图：在掌握正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性基础上，灵活运用，考查学生的融会贯通情况和综合素养.
（四）课堂练习
1.已知直线x=5π12和x=17π12都是函数y=f(x)图象的对称轴，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=sin(2x−π3)B. f(x)=sin(2x−π6)
C. f(x)=sin(4x+π3)D. f(x)=sin(x−π6)
解：由题可知，当x=5π12或x=17π12时，f(x)取得最值，
对于A选项对应的函数，f(5π12)=sinπ2=1，f(17π12)=sin5π2=1，符合题意，
验证可知B，C，D选项对应的函数均不符合题意．
故选：A．
2.已知函数fx=sin2ωx+π6ω>0的最小正周期为π，则fx图象的一个对称中心的坐标为( )
A. −5π12,0B. −π4,0C. π12,0D. −7π12,0
解：由2π2ω=π，得ω=1，所以fx=sin2x+π6．
令2x+π6=kπ,k∈Z，则x=−π12+kπ2,k∈Z，
当k=−1时，x=−7π12，
所以fx图象的一个对称中心的坐标为−7π12,0．
故选D.
3.下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是( )
A. y=csxB. y=sin2xC. y=sin2x+π2D. y=cs12x
解：对于A，定义域为R，因为f(−x)=cs(−x)=csx=f(x)，所以函数为偶函数，因为y=csx的图象是由y=csx的图象在x轴下方的关于x轴对称后与x轴上方的图象共同组成，所以y=csx的最小正周期为π，所以A正确，
对于B，定义域为R，因为f(−x)=sin(−2x)=−sin2x=−f(x)，所以函数为奇函数，所以B错误，
对于C，定义域为R，f(x)=sin⁡(2x+π2)=cs⁡2x，最小正周期为π，因为f(−x)=cs(−2x)=cs2x=f(x)，所以函数为偶函数，所以C正确，
对于D，定义域为R，最小正周期为2π12=4π，所以D错误，
故选：AC
4.设函数f(x)(x∈R)是以2为最小正周期的周期函数，且当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2.求f(3)，f(72)的值．
解：∵f(x)的最小正周期为2，且当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2．
∴f(3)=f(1)=(1−1)2=0，
f(72)=f(32)=(32−1)2=14．
5.已知函数f(x)=sin2x+cs⁡x+1cs⁡x+1．
(1)求函数f(x)的定义域并判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求函数f(x)的最小正周期．
解：(1)由cs x+1≠0，得x≠2kπ+π，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R,x≠2kπ+π,k∈Z}，
fx=1−cs2x+csx+1csx+1=csx+12−csxcsx+1=2−csx．
因为f(−x)=f(x)，且函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故函数f(x)为偶函数．
(2)因为f(x)=2−cs x(x≠2kπ+π,k∈Z)，
所以f(x)的最小正周期为T=2π1=2π．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性和对称性，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？余弦函数对称中心(π2+kπ,0),k∈Z；对称轴x=kπ,k∈Z
设计意图：及时巩固所学，加深理解.