高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时教案，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.了解正弦函数和余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小.
2.了解正弦函数和余弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上并延伸至R的性质.
4.体会数学抽象的过程，提升逻辑推理和数学运算素养.

二、教学重难点
重点：正弦函数、余弦函数的单调性、最值，研究函数的思想方法.
难点：利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性、最值．

三、教学过程
（一）创设情境
情境：过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，该运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下过山车那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径．
这种爬升和滑落体现了函数的什么性质？
回顾：1.正弦函数、余弦函数的周期性：
（1）y=sinx， T=2π; y=Asin(ωx+φ)，T=2π|ω|
（2）y=csx，T=2π;y=Acs(ωx+φ)，T=2π|ω|
2.正弦函数、余弦函数的奇偶性：正弦函数为奇函数；余弦函数为偶函数.
3.正弦函数、余弦函数的对称性：
（1）y=sinx对称中心为(kπ，0)，k∈Z对称轴为x=π2+kπ,k∈Z
（2）y=csx对称中心为(π2+kπ，0)，k∈Z对称轴为x=kπ，k∈Z
设计意图：从生活中的简单例子引入本节新课，让学生意识到数学与生活息息相关，培养学生学习数学的兴趣.
探究新知
任务1：探究正弦函数的单调性与最值
思考：上节课已经学习过周期性、奇偶性和对称性，那还有哪些性质需要我们研究？
答：单调性、最值
思考：利用周期性，我们可以先研究正弦函数一个周期内的单调性再进行推广，你觉得选取哪一段比较合适？
答：[−π2，3π2]
探究：观察正弦函数y=sinx，x∈[−π2，3π2]的图象，研究函数的单调性与最值.
师生活动：观察正弦函数y=sinx，x∈[−π2，3π2]的图象.

答：当x∈[−π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由-1增大到1；
当x∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到-1.
当x=π2时，ymax=1；当x=−π2或3π2时，ymin=−1
用表格表示为：
师生活动：通过观察图象，引导学生用语言描述函数图象中蕴含的变化．
设计意图：引导学生认真观察图象，并用自己的语言叙述．
思考：根据正弦函数的周期性，你能说说正弦函数y=sinx，x∈R的单调性吗？
答：当x∈[−π2+2kπ，π2+2kπ]，k∈Z时，正弦函数y=是增函数，函数值由-1增大到1.
当x∈[π2+2kπ，3π2+2kπ]，k∈Z时，正弦函数y=是减函数，函数值由1减小到-1.
师生活动：引导学生观察，先找到一个单调区间，再寻找每一个单调区间的之间的关系，然后用完善的形式表达出来．提醒学生区间中的k是整数，这一点不可缺少．
设计意图：将正弦函数的单调性总结归纳出来．
总结：正弦函数 y = sin x，x∈R的单调性
x∈[−π2+2kπ，π2+2kπ]，k∈Z上单调递增；x∈[π2+2kπ，3π2+2kπ]，k∈Z上单调递减.
正弦函数 y = sin x，x∈R的最值
当x=π2+2kπ，取到最大值：1；当x=−π2+2kπ，取到最小值：-1；
任务2：探究余弦函数的单调性与最值
探究：类比正弦函数研究单调性（最值）的方法，请大家以小组形式进行探究余弦函数的单调性（最值）
（1）画出余弦函数在区间 [– π，π]上的图象，并总结函数的特征，归纳函数的性质（单调性、最值）；
（2）画出余弦函数在定义域 (x∈R)上的图象，总结归纳函数的性质.
要求：先独立思考，再交流讨论.
总结：余弦函数 y =cs x，x∈R的单调性
x∈[−π+2kπ，0+2kπ]，k∈Z上单调递增；x∈[0+2kπ，π+2kπ]，k∈Z上单调递减.
余弦函数 y = cs x，x∈R的最值
当x=0+2kπ，取到最大值：1；当x=π+2kπ，取到最小值：-1；
总结：正弦函数、余弦函数的图象与性质
设计意图：学生通过观察正弦函数、余弦函数的图象，尝试总结性质，培养学生逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养，同时培养他们的团队合作意识.
（三）应用举例
例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值.
（1）y = csx+1，x∈R； （2）y = -3sin 2x，x∈R.
解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值
（1）使函数y = csx+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y = csx，x∈R取得最大值的x的集合{x|x=2kπ，k∈Z}；
使函数y = csx+1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y = csx，x∈R取得最小值的x的集合{x|x=(2k+1)π，k∈Z}.
函数y = csx+1，x∈R的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.
（2）令z=2x，使函数y = -3sin 2x，x∈R取得最大值的z的集合，就是使y =sinz，z∈R取得最小值的z的集合{z|z=−π2+2kπ，k∈Z}.
由2x=z=−π2+2kπ，得x=−π4+kπ.所以，使函数y=−3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是 {x|x=−π4+kπ，k∈Z}.
同理，使函数y = -3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是{x|x=π4+kπ，k∈Z}.
函数y = -3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是-3.
总结：
1.求解例题的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大（小）值.
2.对于形如y=Asin(ωx+φ)+B的函数，一般通过变量代换（如设z=ωx+φ）化归为y=Asinz+B的形式，然后利用正弦函数的最大（小）值求解.
3.余弦函数类似.
设计意图：通过例1的巩固训练，让学生加深对最大小值的理解.并掌握取得最值时的x的取值.
例2 不通过求值，比较下列各数的大小.
（1） sin (−π18 ) 和 sin (−π10 )； （2）cs (−23π5 ) 和 cs (−17π4 ).
分析：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.
解：（1）因为 – π2 < – π10 < – π18 < 0，
正弦函数 y = sin x 在[−π2 , π2]上是增函数，所以
sin (−π18 ) >sin (−π10).
（2）cs (−23π5 )＝cs(−6π+7π5)=cs7π5，
cs (−17π4 )=cs (−6π+7π4 )=cs 7π4，
∵π＜7π5＜7π4＜2π，且函数y＝cs x在[π，2π]上单调递增，
∴cs7π5＜cs7π4，即cs (−23π5 )0∴4k+12≤2k+542k+54>0∴−58≤k≤38,∴k=0
∴ω∈[12,54].
5.已知函数f(x)=3sin(2x−π3+φ)(0