辽宁省鞍山市立山区第五十一中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份辽宁省鞍山市立山区第五十一中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，这个图形的对称轴有（ ）条．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了对称轴，熟记“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴”是解题关键．
【详解】解：如图，对称轴有3条，
故选：B．
2. 冠状病毒是一个大型病毒家族，借助电子显微镜，我们可以看到这些病毒直径约为125纳米（1纳米米），125纳米用科学记数法表示等于（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：125纳米=125×10-9米=米，
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数小于1时，n是负整数，等于原数左数第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解．
3. 如图是嘉淇测量水池AB宽度的方案，下列说法不正确的是（ ）

①先确定直线AB，过点作；
②在上取，两点，使得△；
③过点作；
④作射线口，交DE于点；
⑤测量☆的长度，即AB的长
A. △代表B. □代表
C. ☆代表D. 该方案的依据是
【答案】D
【解析】
【分析】先根据方案补全作图步骤，再说明作图理由即可判断每一个选项的对错．
【详解】①先确定直线，过点作；
②在上取两点，使得；
故选项A正确；
③过点作；
④作射线，交于点；
故选项B正确；
⑤测量长度，即的长；
故选项C正确；
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴该方案的依据是；
故选项D错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定的实际应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
4. 若，则下列分式化简正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，令，再逐一通过计算判断各选项，从而可得答案.
【详解】解：当，时，
，，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
而 故C符合题意；
．故D不符合题意
故选：C．
【点睛】本题考查的是利用特值法判断分式的变形，同时考查分式的基本性质，掌握“利用特值法解决选择题或填空题”是解本题的关键.
5. 如图，在中，，，以顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点，为圆心，适当的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点为边上的动点，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，尺规作图，由题意知：平分，求出，得到，因此，由含角的直角三角形的性质推出，求出，，当时，的长最小，由角平分线的性质得到，当与或重合时，的长最大是，即可得到长的取值范围，解题的关键是求出当时，的长，当与或重合时，的长．
【详解】解：由题意知：平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，的长最小，
∵平分，，
∴，
当与或重合时，的长最大，
∴，
∴的取值范围是，
故选：．
6. 若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，则m的值是（ ）
A. 2020B. 2021C. 2022D. 2024
【答案】C
【解析】
【分析】由平方差公式进行计算，即可求出答案．
【详解】解：
=
=，
∵，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行计算．
7. 如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．用个全等的正五边形按这种方式拼接，若要围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为（ ）
A. 5B. 8C. 10D. 不存在满足条件的的值
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中条件，先求出正五边形内角，根据拼接的是正多边形，每一个外角都相等，从而由多边形外角和为求解，即可得到答案．
【详解】解：对于正五边形，每一个内角为，
∵两个正五边形拼成一个角，
∴，
题中是由两个正五边形与一个正多边形的内角拼成一个周角，
则拼接成的正多边形内角为，
∴拼成的正多边形的一个外角为，
∴．
故选：C．
8. 已知为任意实数，则的值（ ）
A. 一定为负数B. 一定为正数C. 一定为非正数D. 可能为正数、负数或0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式的应用，首先提出负号，运用完全平方公式配方，根据平方的非负性即可作出判断，首先提出负号是解此题的关键．
【详解】解：，
则的值一定为非正数，
故选：C．
9. 如图，直线相交于点（），为这两条直线外一点，连接．点关于直线的对称点分别是点．若，则点之间的距离不可能是（ ）
A. 2B. 3.5C. 5D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形三边关系的应用，连接、、，由轴对称的性质可得：，再由三角形三边关系得出，即可得出答案，熟练掌握轴对称的性质、三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接、、，
，
由轴对称的性质可得：，
，
点之间的距离可能是，，，
故选：D．
10. 我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释了展开式的系数规律，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的各项的系数，…，下列说法：展开式各项系数之和为64；展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项 ；展开式中含的项的系数是2022．用此规律解决实际问题：今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期五；其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，数字的变化类，根据展开式的系数规律逐项判断即可得出答案，熟练掌握展开式的系数规律是解此题的关键．
【详解】解：由展开式的系数规律可知，展开式的系数依次是，，，，，，，
展开式各项系数之和为，故①正确，符合题意；
由展开式的系数规律可知，展开式的系数依次是，，，，，，，，
展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项，故②正确，符合题意；
展开式中含的项，即展开式中的第2项，由展开式的系数规律可知，第2项的系数是，故③错误，不符合题意；
（为各项的系数），，能被整除，
除以余，
今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期五，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的是①②④，
故选：B．
二、填空题
11. 已知，则__．
【答案】3
【解析】
【分析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可．
【详解】解： ∵
∴；
化简得：；
所以，
故答案为：3
【点睛】本题考查异分母分式的加减法，首先通分化为同分母分式，再按照分母不变，把分子相加减的方法计算．
12. 如图的边在轴上，平分，若，则点的坐标为_______．

【答案】
【解析】
【分析】在上截取，由“”可证，可得，由，可得，可得，即可求点坐标．
【详解】解：如图，在上截取，

∵平分，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定，坐标与图形性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
13. 如图，，，，P、Q两点分别在线段和射线上运动，且．若与全等，则的长度为_____．
【答案】8或4
【解析】
【分析】分和两种情况，根据全等三角形性质解答即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
故答案为：8或4．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．

【答案】2
【解析】
【分析】点F运动所形成的图象是一条直线，当OF⊥F1F2时，垂线段OF最短，当点F1在x轴上时，由勾股定理得：，进而得，求得点F1的坐标为，当点F2在y轴上时，求得点F2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F1F2的解析式为y=3x-4，再由线段中垂线性质得出，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则根据面积法得，即，解得h=2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值为2．
【详解】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF=60°，PF=PA，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF，
如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，
则P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，
∵AO⊥P1F1，
∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，
∴∠P1AO=30°，且AO=4，
由勾股定理得：，
∴，
∴点F1的坐标为，
如图，当点F2在y轴上时，

∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，
∴AO=F2O=4，
∴点F2的坐标为（0，-4），
∵，
∴∠OF1F2=60°，
∴点F运动所形成的图象是一条直线，
∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，
设直线F1F2的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线F1F2的解析式为y=3x-4，
∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，
∴，
在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，
设点O到F1F2的距离为h，则，
∴，
解得h=2，
即线段OF的最小值为2，
故答案为2．
【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．
15. 观察下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10）．；；；；…计算______，______；
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律，由题意得出十位上数字乘以十位上数字加一的积作为千位和百位数字，两个个位上的数字相乘的结果作为十位和个位的数字，由此进行计算即可得出答案，根据题意得出规律是解此题的关键．
【详解】解：；；；；…
观察可得规律：十位上数字乘以十位上数字加一的积作为千位和百位数字，两个个位上的数字相乘的结果作为十位和个位的数字，
，，
故答案为：，．
三、解答题
16. 分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分解因式，能提取公因式的先提取公因式，再利用平方差或完全平方公式进行分解即可，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键．
（1）利用完全平方公式进行分解即可；
（2）将原式变形为，先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、平方差公式、单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键．
（1）根据乘法结合律、负整数指数幂、零指数幂的运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：．
18. 先化简，后求值：，然后在，，三个数中选一个适合的数，代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法以及分式有意义的条件．先把括号里面进行通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：
原式
当时，原式．
19. 综合与实践：八年级数学兴趣小组开展了测量体育馆高度的实践活动，测量方案如下表：
请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算体育馆高度的值．
【答案】体育馆高度为
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质，由三角形内角和定理推出，进而根据两角夹边相等证明，由全等三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：由题图可知，，，
，
在和中，
，
，
．
答：体育馆高度为．
20. 如图，在平面直角坐标系内，各顶点的坐标分别是，，．线段两端点的坐标分别为，．
（1）请在图中作出关于y轴的轴对称图形（点，，的对称点分别是，，），并直接写出，，的坐标；
（2）若与全等，请直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】（1）图见解析，，，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变换——轴对称变换，全等三角形的性质．
（1）根据关于轴对称点的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，找出点，，关于轴对称的对应点，，的位置，然后顺次连接即可；
（2）由图可知，根据与全等，利用网格特点找到点即可．
【小问1详解】
解：如图，为所求作，，，；
【小问2详解】
如图，点的坐标为．
21. 【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式的大小，只要作出差．若，则：若．则：若，则．
解决问题】
（1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， ______（填或）；
（2）已知，当时，比较与大小，并说明理由；
【学以致用】
（3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元／升，第二次油价为元/升（）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当时，方式二加油更划算；当时，方式一加油更划算
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质并灵活运用是解此题的关键．
（1）计算，由此即可得出答案；
（2）计算，并根据作出判断即可；
（3）计算两种方式加油的平均油价为：，再计算出，，分两种情况：当时，当时，分别进行计算即可．
【详解】解：（1）
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
，
；
（3）由题意可得：
两种方式加油的平均油价为：，
，，
当时，，，此时，，
，此时方式二加油更划算；
当时，，，此时，，
，此时方式一加油更划算；
综上所述，当时，方式二加油更划算；当时，方式一加油更划算．
22. 按要求作（画）图并证明：
（1）尺规作图：如图∠AOB，作∠AOB的平分线OP（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）过平分线上一点C画CDOB交OA于点D，取线段OC的中点E，过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N（M不与C、D重合），请你探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）OD=ON+DM或OD=ON-DM．证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法即可求解；
（2）①当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD＝DM＋ON．首先根据OC是∠AOB的平分线，CDOB，判断出∠DOC＝∠DCO，所以OD＝CD＝DM＋CM；然后根据E是线段OC的中点，CDOB，推得△CME≌△ONE，得到CM＝ON，即可判断出OD＝DM＋ON．
②当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD＝ON−DM．同①，可得OD＝DC＝CM−DM，再根据CM＝ON，推得OD＝ON−DM即可．
【详解】（1）如图，OP为所求；
（2）①当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD＝DM＋ON．
证明：如图1，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC＝∠COB，
又∵CDOB，
∴∠DCO＝∠COB，
∴∠DOC＝∠DCO，
∴OD＝CD＝DM＋CM，
∵E是线段OC的中点，
∴CE＝OE，
∵CDOB，
∴∠C=∠EON
∴∠CEM=∠OEN
∴△CME≌△ONE
∴CM＝ON，
又∵OD＝DM＋CM，
∴OD＝DM＋ON．
②当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD＝ON−DM．
证明：如图2，
由①同理可得OD＝DC＝CM−DM，△CME≌△ONE
∴CM＝ON，
∴OD＝DC＝CM−DM＝ON−DM，
即OD＝ON−DM．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作图、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
23. （1）【问题初探】
如图1，是等边三角形，为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接．随着点位置的改变，寻找是否存在全等的三角形，并说明理由．
（2）【类比分析】
已知，在中，，为边上一点，以为边在右侧作等边．
如图2，当点在边上时，求证：．
如图3，当点在内部时，连接，求证：．
【答案】（1）存在，理由见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，再由证明即可；
（2）①由等边三角形的性质可得，计算出，再由三角形外角的定义及性质计算出，即可得出；②以为圆心，长为半径画弧交边于点，连接、，则，则为等边三角形，证明得到，从而得到，根据含角的直角三角形的性质得出，再证明得到，即可得证．
【详解】解：（1）和是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
；
（2）①是等边三角形，
，
在中，，
，
，
，
；
②如图，以为圆心，长为半径画弧交边于点，连接、，则，
，
，
为等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
课题
测量体育馆高度
测量工具
测角仪、皮尺等
测量方案示意图

测量步骤
①在体育馆外，选定一点；
②测量体育馆顶点视线与地面夹角；
③测量的长度；
④放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面；
⑤测量标杆顶部视线与地面夹角．
测量数据
，，，