辽宁省大连市普兰店市2024-—2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份辽宁省大连市普兰店市2024-—2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了本试卷共三道大题，23道小题等内容，欢迎下载使用。
1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效．
2．本试卷共三道大题，23道小题．满分120分．考试时间120分钟．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，B. 0，C. 1，D. 1，0
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式( ，，是常数且)，熟练掌握二次项系数的定义是解题的关键．根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的一次项系数和常数项即可．
【详解】解：中一次项系数、常数项分别是，，
故选：．
2. 抛物线与轴交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令x=0代入求得y，即可得到抛物线与y轴的交点坐标.
【详解】当x=0时，y=-1，所以抛物线与y轴的交点坐标为：（0，-1）.
故本题答案应为：B.
【点睛】二次函数与坐标轴的交点是本题的考点，令x=0，求得y是解题的关键.
3. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的规律进行求解即可得答案.
【详解】将二次函数的图象向右平移2个单位，可得：
再向下平移3个单位，可得：
故答案为：C.
【点睛】本题考查了平移的规律：上加下减，最加右减，注意上下平移动括号外的，左右平移动括号里的.
4. 若关于的方程的一个根是，则的值是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把3代入方程求解可得k的值．
【详解】解：关于的方程的一个根是，
，
，
故选：B．
5. 一元二次方程配方后可化为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】该题主要考查了一元二次方程的配方，根据完全平方公式进行配方即可．
【详解】解：，
移项后得：
配方得：，
，
故选：C．
6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得： 且，
故选：B．
7. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的根为，
∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根，
∴，
∴满足要求的方程为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键．
8. 在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设参加活动的同学有x个，根据“参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条”列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设参加活动的同学有x个，根据题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的方程的解为（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，进行求解即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，
∵二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为，
∴另一个交点的坐标为，
∴关于x的方程的解为，；
故选C．
10. 抛物线中，y与x的部分对应值如表：
下列四个结论中：
①抛物线开口向下
②对称轴是直线
③当时，y随x的增大而减小
④当时，y随x的增大而增大
其中正确的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①④D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可．
【详解】解：由图可知，和时对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值，
∴抛物线开口向下，故①正确、②错误，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
故③错误，④正确，
故选：C．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 方程的解为：______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方，求出方程的解即可．
【详解】解：，
移项得：，
开平方得：，
∴，．
故答案为：，．
12. 抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，的顶点坐标是．根据题目中的解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【详解】解：的顶点坐标是，
故答案为：．
13. 若二次函数的图象经过点，，则______ （选填：，，）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质．
【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为 __________________．
【答案】(32-x)(20-x)=540
【解析】
【分析】如图所示，将道路通过平移都移到靠近边侧，则图中阴影部分就为草坪了，进而列出方程即可．
【详解】解：如图所示，将道路通过平移都移到靠近边侧，则图中阴影部分就为草坪了，
由题意可知长为(32-x)米，宽为(20-x)米，
由矩形的面积公式则可得：(32-x) (20-x)=540．
故答案为：(32-x) (20-x)=540．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是列出正确的方程．
15. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为________．
【答案】8米
【解析】
【分析】令求解即可．
【详解】解：当时，，
解得，（舍去）．
故答案为：8米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（）移项，利用直接开平方法解答即可；
（）移项，利用公式法解答即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
即或，
解得，；
【小问2详解】
，
，
a=2，，，
∵
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
17. 已知二次函数．
（1）用描点法画出该二次函数的图象：
①补全表格，
②在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）该二次函数图象的对称轴是______；
【答案】（1），，；画图见解析；
（2）直线．
【解析】
【分析】（）把的值分别代入即可求解，从而填表即可；
通过描点，连线即可；
（）把配成顶点式即可，
本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【小问1详解】
补全表格：
故答案为：，，；
如图：
小问2详解】
由二次函数，
∴二次函数图象的对称轴是直线，
故答案为：直线．
18. 随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了万辆．求前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率．
【答案】前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为．
【解析】
【分析】设前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为x，由某品牌电动汽车在今年第一季度和第三季度的销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19. 已知关于x方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1），；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可；
（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可．
【详解】解：（1）设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，
∴，
解得．
∴a的值为，该方程的另一根为．
（2）∵，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用．
20. 4月19日，瓦房店市第七届桃花节暨2024年群众文化艺术节在复州城镇盛装启幕，景区售卖一种当地特产，每袋成本为3元，经调查，每天的销售量y（袋）与每袋的售价x（元）之间的函数关系式如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设每天的总利润w（元），每袋特产的售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）每袋的售价定为元时获利最大，最大利润是元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出函数解析．
（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据题意得出，根据二次函数的最值，求出结果即可．
【小问1详解】
解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得：
，
解得，
所以y与x的函数关系式为．
【小问2详解】
解：由题意，可知：
∵，
∴该抛物线开口向下，
∴对称轴为直线时，w有最大值，最大值为，
答：每袋的售价定为元时获利最大，最大利润是元．
21. 如图，已知二次函数的图象经过点，点，是二次函数的图像上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交于点D，连接，，若，的面积是6，求m的值．
【答案】（1）
（2）或2
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数面积综合题， 待定系数法求一次函数以及二次函数解析式．
（1）用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）先求出点B的坐标，再求出的解析式，点P、D的坐标分别为：、，然后根据三角形的面积公式可得出，解一元二次方程即可得出m的值．
【小问1详解】
解：将点代入抛物线表达式得：，
则，
即抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：令，，
则，
则点，
设直线的表达式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴，
∴点P、D的坐标分别为：、，
则，
∴，
即
解得：，；
∴m的值是或2．
22. （1）探究；已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…第n行有n个点，…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．（提示：．
①三角形点阵中前10行的点数和是______；
②若三角形点阵中前a行的点数之和为136，求a的值；
③三角形点阵中前b行的点数之和能是600吗？若能，求出b的值；若不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）拓展：若果把（1）三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…，
①直接写出这个三角形点阵中前n行点数和（用含n的代数式表示）；
②这个二角形点阵中前n行点数和能是600吗？若能，求出n；若不能，试用一元二次方程说明道理．
【答案】（1）①55；②；③三角点阵中前b行的点数的和不能是600，见解析；（2）①；②三角点阵中前n行的点数的和能是600，且．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
（1）①由于第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，则前10行共有个点；
②前a行共有个点，然后求它们的和，前a行共有 个点，则，然后解方程得到a的值；
③由（1）得，求b的值即可；
（2）①根据，求n的值，进而得出这个三角形点阵中前n行点数和；
②由①得，求n的值即可．
【详解】解：（1）①三角形点阵中前10行的点数和为：
；
故答案为：55；
②由题意可得：，即，
整理得，
∴，，
∵a为正整数，
∴；
③三角点阵中前b行的点数的和不能是600．理由如下：
依题意，得，
即，
，
∵b为整数，
∴三角点阵中前b行的点数的和不能是600；
（2）①这个三角形点阵中前n行点数和为：
；
②三角点阵中前n行的点数的和能是600．理由如下：
依题意，得，
即，
解得： （舍），，
答：三角点阵中前n行的点数的和能是600，且．
23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点．

（1）求的面积；
（2）当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
（3）当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）6 （2）
（3）存在，或
（4），，，，
【解析】
【分析】（1）先求出点A，B，C的坐标，然后根据计算即可；
（2）配方得到顶点式，即可得到对称轴，然后利用二次函数的增减性解题即可；
（3）过点作轴于点，点作轴于点，证明，利用三角形的全等的性质解题即可；
（4）分段画出图形，利用数形结合进行解题即可．
【小问1详解】
解：令，则，解得，，
∴点A，B的坐标为，，
当x=0时，，
∴点C的坐标为，
∴；
【小问2详解】
，
∴当时，n随m的增大而减小时；
【小问3详解】
由（2）知当时，随的增大而增大，
∴点P在对称轴右侧，
过点作轴于点，点作轴于点，

则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
当时，即
解得： (舍去)，
当时，即 ，

解得： (舍去)，
∴点的坐标为或；
【小问4详解】
当时，解得，
当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点，

当时， 如图，矩形除顶点P外其余点都在抛物线内，即有一个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有一个公共点；

，点E在抛物线与y轴交点处，解得，（舍去），
∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；

令，则抛物线的顶点在上，这时，（舍去），
∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；

综上所述，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，出m的取值范围为，，，，．
x
…
1
3
4
6
…
y
…
8
18
20
18
…
x
0
1
2
3
4
y
0
3