山东省青岛市城阳区第六中学2024-2025学年上学期九年级数学10月月考检测试题（解析版）-A4

这是一份山东省青岛市城阳区第六中学2024-2025学年上学期九年级数学10月月考检测试题（解析版）-A4，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题．共9小题，每小题3分，共27分）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据：“只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，进行判断即可．
【详解】解：A、不是整式方程，不符合题意；
B、含有两个未知数，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、当时，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
2. 根据下列表格的对应值：
可以判断方程，为常数的一个解x的范围是（ ）
A. B. C. D. 无法判定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查估算一元二次方程的解，根据表格数据求出对应的的值，进而找到相邻的两个的值，使的值一正一负，即可得出结果．
【详解】解：由题意，列出表格如下：
由表格可知，当时，存在一个的值使，即满足方程，
故选B．
3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法的求解方法求解即可．
【详解】解：
故选：C．
4. 如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把第二个转盘分为相同的三部分：一部分为红，另两部分为蓝，再利用树状图展示所有6种等可能的结果数，找出一个为红色，另一个转出蓝色的所占结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：重新划分如下：

画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中一个为红色，另一个转出蓝色的占3种，
所以可配成紫色的概率，
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
5. 如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（ ）
A. 2.4B. 4.8C. 5D. 9.6
【答案】B
【解析】
【分析】作关于的对称点，连接，．当三点共线，且垂直于，最小，求出菱形的面积，再利用等面积法进行求解．
【详解】解：作关于的对称点，连接，，
∵四边形是菱形，
∴四边形关于对称，
∴点的对称点在上，
∴，且当时，最小，即最小，
∴当点三点共线，且时，取得最小值，
∵四边形是菱形，
∴，
，，
，
，
，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，垂线段最短以及轴对称的性质，熟练掌握知识点，正确找到最小时是解题的关键．
6. 电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够表示出第二玩耍和第三天的票房，设增长率为，则第二天的票房为，第三天的票房为，然后根据三天后累计票房收入达达18亿元列出方程即可．
【详解】解：设增长率为，则第二天的票房为，第三天的票房为，由题可得：
，
故选：D．
7. 如图，E是边长为1的正方形的对角线上的一点，且，P是上任意一点，于点Q，于点R，则的长度为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要查了正方形的性质，勾股定理．过E点作于H点，连接，根据正方形的性质可得是等腰直角三角形，，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过E点作于H点，连接，
∵四边形是正方形，且边长为1，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选：D
8. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润销售量单位利润，设每台冰箱的定价元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，根据题意列方程即可；
【详解】解：设每台冰箱定价元时，种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，由题意得：
，
故选：C．
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（ ）

A. 1或2B. 2或3C. 3或4D. 4或5
【答案】A
【解析】
【分析】连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．设DM=B′M=x，则AM=7-x，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：（7-x）2=25-x2，通过解方程求得x的值，易得点B′到BC的距离．
【详解】解：如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M，
∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，
∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，
又由折叠的性质知AB=AB′=5，
∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：，
即，
解得x=3或x=4，
则点B′到BC的距离为2或1．
故选A．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
10. 顺次连接______的四边形的四边中点所得的四边形是矩形．
【答案】菱形
【解析】
【分析】本题考查了中点四边形∶利用三角形的中位线性质解决有关中点四边形的问题．也考查了菱形的性质和矩形的判定．
先写出已知和求证，如图，再进行证明，连结、，先证明为的中位线，则根据三角形中位线性质得到，同理可得，，，于是可判断四边形为平行四边形，接着根据菱形的性质得到，则可得到，然后根据矩形的判定方法得到四边形为矩形．
【详解】已知：点、、、为菱形各边的中点，如图，
求证：四边形为矩形．
证明：连结、，如图，
点为的中点，为的中点，
∴为的中位线，
∴，
同理可得，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形为菱形，
∴，
而，，
∴，
∴，
∴平行四边形为矩形．
11. 某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排场比赛．设九年级共有个班，则可列方程为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用比赛的总场数九年级班级数（九年级班级数），即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：依题意得：，
故答案为：．
12. 在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
根据试验所得数据，估计白球有__________个．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；
【详解】解：观察表格发现随着摸球次数的增多摸出黑球频率逐渐稳定在0.6附近，
故摸到黑球的概率估计值为0.6，
设白球个，则：
，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
故答案为：15．
13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的定义，有实数根，则是解题的关键．
根据，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
解得，，，
∴k的取值范围是且，
故答案为：且．
14. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，
由题意得，，
同理得，
解得或（舍去），
∴小路的宽为，
故答案为：．
15. 如图，菱形中，，面积为，对角线与相交于点，过点作，交延长线于点，连接，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线定理，解题的关键是掌握相关知识．根据菱形的性质可得，是的中点，由菱形的面积为，，求出，再根据勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边的中线定理即可求解．
【详解】解：菱形中，，
，
菱形的面积为，，
，
，
，
，
，
菱形的对角线与相交于点，
是的中点，
又，
，
故答案为：．
16. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式_______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，根据根的定义，得到，根据根与系数之间的关系，得到，整体代入法求值即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，
∴
．
故答案为：7．
17. 已知x、y为实数，且方程为（x2+y2）（x2﹣2+y2）=15，则x2+y2=________．
【答案】5
【解析】
【分析】用换元法,将原式整理为t(t-2)=15,求解方程即可.
【详解】解：令x2+y2=t,原式化简为：t(t-2)=15,（t0）
解得：t=5或t=-3（舍）
∴x2+y2=5
【点睛】本题考查了换元法,一元二次解方程,属于简单题,注意解的取值范围是解题关键.
18. 如图，四边形是边长为的正方形，点E在边上，，作，分别交，于点G、F，M，N分别是，的中点，则下列5个结论中：①点F、N、C共线；②；③；④的面积为；⑤．正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】连接，根据矩形及正方形的性质即可判断①；利用等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，再由直角三角形斜边上的中线的性质即可证明②；利用正方形的性质即可证明③；根据等腰直角三角形的性质及三角形中位线的性质即可证明④；利用全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质即可证明⑤．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，，
∴四边形是矩形，
∵N是的中点，为矩形的对角线，
∴点F、N、C共线；故①正确；
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵M是的中点，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵N是的中点，四边形是矩形，
∴点N在上，且是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故②正确；
连接BD，
∵四边形是正方形，
∴，
∴AC⊥BE错误，故③错误；
∵四边形正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
找的中点H，连接，
∴，，
∴，
∴，故④正确；
连接BM，
在与中，
，
∴，
∴，
由①得点N为矩形对角线的交点，
∴点N为等腰三角形底边中点，
∴，
∵，
∴，故⑤正确；
综上可得：正确的有①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理解三角形、等腰直角三角形及直角三角形斜边上的中线的性质等知识的综合运用，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
三、作图题（本大题满分4分）
19. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
已知：线段m．

求作；矩形，使矩形宽，对角线．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了作图—复杂作图，矩形的判定，垂直平分线的性质：先作线段，再作线段的垂直平分线，交线段于O点，②以点O为圆心，的长为半径画弧，再以点A为圆心，的长为半径画弧，两弧在线段上方交于点B，同理，以点O为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，的长为半径画弧，两弧在线段下方交于点D，连接，，，，即可得矩形．
【详解】解：矩形如图所示：

四、解答题．（本大题共7小题，共62分）
20. 解方程：
（1）
（2）（公式法）
（3）；（因式分解法）
【答案】（1），
（2），
（3），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解得，；
【小问2详解】
，，
解得，；
【小问3详解】
或
解得，．
21. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】（1）
（2）树状图见解析，该游戏对双方公平
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
22. 已知关于的一元二次方程（为常数）．
（1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根．
【答案】（1）见解析；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论；
（2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：将代入方程，得：．
解得：．
当时，方程为，
，
，，
方程的另一个根是．
23. 如图，在四边形中，对角线与交于点，，于，于，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，当______时，四边形是矩形？请说明理由．并直接写出此时值．
【答案】（1）见解析 （2）30，理由见解析，
【解析】
【分析】（1）先证明，再证明，从而得到，从而得证；
（2）通过等腰三线合一，证明是等边三角形，从而得到，结合四边形是平行四边形，，，得到即可，最后在中，利用所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理，得到，从而求得答案．
【小问1详解】
解：证明：
于点，于点
又
四边形平行四边形
【小问2详解】
解：当时，四边形是矩形，理由如下：
，，
，
是等边三角形
，
四边形是平行四边形
，
四边形是矩形
又
故答案为：30，．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一，三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
24. 金秋十月，硕果累累，苹果相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解苹果的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家苹果园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
第x天的单价与x的关系表：
第x天的单价与x近似的满足一次函数关系．已知第1天销售了20箱，以后的每一天都比前一天多销售10箱．每天的固定成本为745元．
（1）第x天的单价是______元／箱（用含x的代数式表示）；
（2）求哪一天小明家销售苹果可获得利润为2855元？
【答案】（1）
（2）第11天或第14天小明家销售苹果可获得利润为2855元
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，在实际问题中正确求出一次函数解析式和一元二次方程是解答本题的关键．
（1）根据题意，运用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据题意列出一元二次方程求解即可．
【小问1详解】
解：设第x天的单价m元与x满足的一次函数关系式为，
由题中表格可知：当时，；当时，，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得，，
整理得，，
解得，，，
所以，第11天或第14天小明家销售苹果可获得利润为2855元
25. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：试求二次三项式．最小值．
解：，
，
，即．的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
（1）已知，求y的最大（或最小）值．
（2）比较代数式与的大小，并说明理由．
（3）知识迁移：
①如图，学校打算用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，来饲养两只萌萌的羊驼，仓库一面靠墙（墙足够长），为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，请尝试用“配方法”求出如何围，使仓库面积虽大？最大值是多少？
②如图，在正方形中，，点E、F分别为上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．设，用含x的代数式表示，则的最小值为多少．（直接写出答案）
【答案】（1）y的最大值是30
（2），理由见解析
（3）①当仓库的宽为时，仓库的面积最大，最大为平方米；②
【解析】
【分析】（1）利用配方法解答，即可求解；
（2）把两式作差，然后利用配方法解答，即可求解；
（3）①设仓库的宽为x米，则长为米，根据题意可得仓库的面积，然后利用配方法解答，即可求解；②证明，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，然后在中，根据勾股定理可得的长，即可求解．
小问1详解】
解：解：，
，
∴，
∴，
∴，
即y的最大值是30；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：①设仓库的宽为x米，则长为米，根据题意得：
仓库的面积为
，
∵，
∴，
即当时，仓库的面积最大，最大值为，
答：当仓库的宽为时，仓库的面积最大，最大为平方米；
②在正方形中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
在中，，
，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题主要查了配方法的应用，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，理解配方法是解题的关键．
26. 如图①，中，，，，中，，，边与重合，且顶点与边上的定点重合．如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为与交于点，连接，．设运动时间为t（）（）．解答下列问题：
（1）当为何值时，点在的垂直平分线上？
（2）当为何值时，？
（3）如图③，与关于直线对称，连接．
①当时，求t的值；
②是否存在某一时刻t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）或，
（3）①；②存在，．
【解析】
【分析】（1）先表示出，，再根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，据此建立方程求解即可；
（2）如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为H，根据（1）d得到，再由，得出求出，，由三角形面积公式得出，最后根据，得出，据此列方程进行求解即可；
（3）①连接交于M，由对称性质可知，，由此得出当时，四边形是平行四边形；据此得出，列方程即可求出；②根据菱形对角线相互垂直平分，得出，结合线段长列方程求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图①所示，∵ ，，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
如图②所示，由题意得，，
∴，
∴，
∵点B在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
解得，
∴当时，点B在线段的垂直平分线上．
【小问2详解】
解：如图②所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为H，
由（1）可知，，
∵ ，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，∵，
∴，
∴，
解得：，，
即当或时，.
【小问3详解】
解：如图③所示，连接交于N，
∵与关于直线对称，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，即四边形是平行四边形；
②当四边形为菱形时，如图③，，，
由①得，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴
∴，
综上所述，存在使．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
0.84
2.29
3.76
x
1.1
1.2
1.3
1.4
0.84
2.29
3.76
1.29
2.76
摸球试验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
“摸出白球”的次数
55
618
3032
5957
30104
59995
第1天
第2天
第3天
第4天
…
第x天
单价（元/箱）
50
48
46
44
…