初中数学北师大版（2024）九年级下册3 确定二次函数的表达式完美版课件ppt

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册3 确定二次函数的表达式完美版课件ppt，共27页。PPT课件主要包含了待定系数法，知识要点，典型例题，a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，b＝3，a＝2，解得a-1，y＝2x2＋4x－6等内容，欢迎下载使用。

1.会用待定系数法解三元一次方程组求二次函数的一般式:y＝ax2＋bx＋c(a≠0).(重点）2.会利用不同的条件，合理地设出二次函数形式，列出方程组求出相关系数，得出二次函数表达式.（难点）
2.确定二次函数的关系式时，当知道顶点坐标和图象上除顶点外的 个点的坐标，就可以用顶点式 y=a(x-h)2+k 确定二次函数的关系式.
3.已知二次函数y=ax²+bx+c中一项系数，再知道图象上 个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式.
1.求二次函数表达式采用的一般方法是 .
将三个点代入y＝ax2+bx+c后，会得到一个什么样的方程组呢？
分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax2+bx+c，能不能确定这个二次函数的表达式呢？
探究一：已知三点求二次函数关系式
做一做：已知二次函数的图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
解: 设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
∴所求二次函数表达式为 y=2x2-3x+5.
∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
你会解三元一次方程组吗？
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的方法
例1：已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
探究二：交点法求二次函数关系式（拓展）
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).其中x1、x2为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
议一议：一个二次函数的图象经过点A(0，1)，B(1，2)和C(2，1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法，与同伴进行交流.
解法三：∵点A(0，1)和C(2，1)关于直线x=1对称，∴点B(1，2)为二次函数的顶点，设二次函数的表达式为y=a(x-1)²+2，将点A(0，1)代入上式, 得 a+2=1 解得 a=-1∴这个二次函数的表达式为y=-(x-1)²+2，即y=-x²+2x+1.
例2：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0），（3，0），（2，-1），求二次函数关系式。
解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c. 又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），依题意得:
∴所求的函数关系式为y = x2-4x+3.
解法二: ∵点（1，0）和（3，0）是抛物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3), 又抛物线过点（2，-1）， ∴ -1=a（2-1)（2-3） 解得a=1， ∴ y=(x-1)(x-3) 即所求的函数关系式为y = x2-4x+3.
解法三： ∵点（1，0）和（3，0）关于直线x =2对称,所以(2，-1）是抛物线的顶点坐标，∴设二次函数关系式为：y = a(x-2)2-1, 又抛物线过点（3,0）, ∴ 0=a(3-2)2-1, 解得a=1, ∴ y = (x-2)2-1,即所求函数关系式为y = x2-4x+3.
用待定系数法求二次函数表达式的常见设法：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；（已知抛物线上三点坐标或三对x、y的值，用一般式） (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；（已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．（已知抛物线与x轴交点的横坐标x1，x2，用交点式）
1.已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的表达式为(　　)A.y＝2x2＋x＋2 B.y＝x2＋3x＋2C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2－3x＋2
2.已知一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5.则这个二次函数的表达式是(　　)A.y＝4x2＋3x－5 B.y＝2x2＋x＋5C.y＝2x2－x＋5 D.y＝2x2＋x－5
3.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是(D　)
4.过(－1，0)、(3，0)、(1，2)三点的抛物线的顶点坐标是(　A　)
5.已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－8)，图象与x轴的一个公共点A的横坐标为－3，则这个函数的表达式为 .
6.已知二次函数的图象经过(1，0)，（－3，0）和（-2，3），则这个二次函数的表达式为 .
8.已知二次函数的图象经过点(0，3)、(－3，0)、(2，－5)，且与x轴交于A、B两点.(1)试确定此二次函数的解析式.(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由.
一般式确定二次函数表达式
交点式确定二次函数表达式
顶点式确定二次函数表达式
1.一个二次函数，当x=0时，y=-5，当x=-1时，y=-4，当x=2时，y=5，则这个二次函数的表达式是( )A. y=2x2-x-5 B.y=2x2+2x+5 C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5
2.已知抛物线经过点(0，4)，(1，-1)，(2，4)三点，则该抛物线的对称轴是直线( )A.x=-1 B.x=1 C.x=3 D.x=-3
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1，0)，(3，0)和(0，2)，则当x=2 时，y的值为 .
4.已知二次函数图象的对称轴是直线x=2，且经过点(1，4)和(5，0)，则这个二次函数的表达式是 .
5.一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
∴所求的二次函数的表达式是
6.若抛物线经过(0，1)，(一1，0)，(1，0)三点，求此抛物线的表达式.
解: 由抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a(x+1)(x-1).把(0，1)代入得a×1×(-1)=1，解得a=-1，所以抛物线表达式为y=-(x+1)(x-1)，即y=-x2+1.
教材习题2.7；