【黑吉辽卷】辽宁省大连滨城高中联盟2024-2025学年2025届高三上学期期中Ⅱ考试（12月）（12.3-12.4）数学试卷

这是一份【黑吉辽卷】辽宁省大连滨城高中联盟2024-2025学年2025届高三上学期期中Ⅱ考试（12月）（12.3-12.4）数学试卷，文件包含黑吉辽卷辽宁省大连滨城高中联盟2024-2025学年2025届高三上学期期中Ⅱ考试12月123-124数学试卷pdf、黑吉辽卷辽宁省大连滨城高中联盟2024-2025学年2025届高三上学期期中Ⅱ考试12月123-124数学试卷答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。

填空题：
12. 8 或 13. 15. e + 1
7. 由题意知存在点P使得|PA| = |PB|且∠APO = 30 °, 此时易知|PO| = 2，故而1 ≤ |OM| ≤
3，继而有1 ≤ (0 − a)2 + (0 − a + 4)2 ≤ 9，整理得1 ≤ 2a2 − 8a + 16 ≤ 9，解得2 −
8.设曲线y = lnx和y = ex−2的切点分别为A(x1, lnx1)，B(x2, ex2 −2) ，y = lnx，y ′ = ，k = , y − lnx1 = (x − x1)，y = x + (lnx1 − 1) ①
同 理 y = ex−2，y ′ = ex−2，k = ex2 −2，y − ex2 −2 = ex2 −2(x − x2)，y = ex2 −2x + ex2 −2(1 − x2) ②
由于①②两条直线重合{lnx1 −
③中lnx1 = 2 − x2 代入④有1 − x2 = ex2 −2(1 − x2)解得x2 = 1，k = ，此时公切线方程为
y = x，另可解得ex2 −2 = 1，x2 = 2此时y = x − 1，所以k + b = 或k + b = 0
9. A错：acsA = bcsB，即sin2A = sin2B，则∆ABC为等腰三角形或直角三角形 B对：A = 2B，sinA = sin2B，sinA = 2sinBcsB，a = 2bcsB
C对：AC = 2BC，AB = 3，则C点轨迹是圆，其半径为 | = 2，max = × 3 × 2 =3 D对： 由于角B的平分线段BD = 3，S∆ABD + S∆BDC = S∆ABC，可知：ac = 3(a + c)， + = , a + c = 3(a + c) + = 3 [2 + ( + )] ≥ 3(2 + 2) = 12
10. A对：kPA1kPA2 = − = − B对：S∆PF1F2 = (2c)b = bc = 2√5
C错：a = 3，b = √5，c = 2，√5 > 2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
C
B
C
A
D
C
BCD
ABD
ACD
D对：ΔPMF1 的周长l = IPF1 I + IPMI + IMF1 I = 2a 一 IPF2 I + IPMI + IMF1 I ≤ 2a + IMF2 I + IMF1 I = 6 + √2 + √10
11. A对
B错：V三棱锥M-NBD = SΔBND . d，显然SΔBND = × 2√2 × 2 = 2√2，d是点M到平面·B1BDD1
的距离
A
B1
B
M A1
E
M1
C
D1
2
M1 E
D
M
O
d
O
C1
R
C对：{R2 2 ( 2d+)22+ 1解得d = ，R2 = d2 + 2 = ，S球 = 4πR2 = 4π × =
-→ -→ -→
D对：建系， 以A为坐标原点，AB, AD, AA1分别为x轴 、y轴 、Z轴正方向，
设---→ = λ--- = λ(一2,2,0) = (一2λ . 2λ . 0)(0 ≤ λ ≤ 1)，--→ = -- + ---→ = (一2λ . 2λ . 2)
√2λ2 +1.√5
设 直 线 BN 与 EF 所 成 角 为 α , -F-→ = (一1,0,2)，cOSα = |cOS < --→, -F-→ >| = λ+2 =
当 一 = 0，即λ = 时，cOSα取最大值，此时，直线BN与EF所成角最小，
14. g(x) = f(x) 一 2 = ex 一 e-x 一 2Sinx，其定义域为R，显然g(x)为奇函数，
gI (x) = ex + e-x 一 2cOSx ≥ 2 一 2cOSx ≥ 0，当且仅当x = 0时取 “ = “，所以g(x)为增函数. 不 等 式 f(lnx + x2 一 ax) + f(ex 一 2lnx) ≥ 4 可 化 为 f(lnx + x2 一 ax) 一 2 ≥ 一[f(ex 一
2lnx) 一 2] ， 即 g(lnx + x2 一 ax) ≥ g(2lnx 一 ex)，lnx + x2 一 ax ≥ 2lnx 一 ex ，a ≤ 一 + x
设h(x) = 一 + x，h,(x) = 一 + 1 = + + ，
当x > 1时，h(x) > 0，当0 < x < 1时，hI (x) < 0
所以h(x)在(0,1)单调递减，在(1, +∞)单调递增，x = 1时h(x)取极小值，即最小值为h(1) =
e + 1，所以a的最大值为e + 1
15. 解（1 ） f(x) = 4csx sinx + csx) − 1 = √3sin2x + (2cs2x − 1) = √3sin2x + cs2x = 2sin (2x + ) 4 分
f(B) = 2 sin (2B + = 1，0 < B < π, < 2B + < ，2B + = ， ∴ B =
6 分
（2 ） 法 一 ： 由正弦定理， 得 = = ，a = = = + 1，b =
= ，a + b + c = + + 3，由于∆ABC为锐角三角形，
{0 ∴ < c < 8 分
tanc sinc 6 , 2 tanc , sinc ,
则 √3 + √3 + 3在(π π)单调递减， √3 ∈ (0 3)， √3 ∈ (√3 2√3)
a + b + c ∈ (3 + √3, 6 + 2√3) 法二： 由于∆ABC为锐角三角形，
可知a + b + c = + + 3 ，根据万能置换公式 ，tanc =
< c < ， < < ，2 − √3< tan < 1 ，1 < t 2 + √3
所以a + b + c ∈ (3 + √3, 6 + 2√3)
12 分
13 分 8 分
2tanc
sinc=1+tan
10 分
12 分 13 分
16. 证明：（1）连接AC，显然AC和BD相交于点F，在∆SAC中，E, F分别为SC, AC的中点，所 以EF∥SA，SA ⊂平面SAB，EF⊄平面SAB，则EF ∥平面SAB 4 分
（2）法一 ：取AB中点O，则SO ⊥ AB，又SC ⊥ AB，则AB ⊥平面SOC，AB ⊥ OC，则∆ABC 为正三角形.
∠SOC就是二面角S − AB − C的平面角，SO = OC = √3，SC = 3，∠SOC = 120 °,由AB ⊥
平面SOC，过点S作SH ⊥ OC ，垂足为H ，显然SH = SO ∙ sin60 ° = 7 分
V三棱锥S−ABc = SH ∙ S∆ABc = × × × 22 = 9 分
法二：可建系用空间向量方法求出点S到平面ABCD的距离，即此三棱锥的高d = |，其中
= (−1, , − ) ， = (0,0,1)，d = 7 分
V三棱锥S−ABc = SH ∙ S∆ABc = × × × 22 = 9 分
（3）过O点作出平面ABCD的垂线OM，以O为坐标原点，, , 的方向分别为x轴, y轴,
Z轴的正方向建立空间直角坐标系 10 分
B(1,0,0)，A(−1,0,0)，C (0, √3, 0)，D (−2, √3, 0)，S(0, − , ) ， 则 E (0, , ， =
(−3√3, 0)，, , ).
设平面BDE的一个法向量为 = (x1, y1, Z1)，由 ∙ = 0 ， ∙ = 0有
{ − 0，解得{y1
令Z1 = 1，则可得 = (3,3√3, 1) 13 分
= (−1, √3, 0)
直线 AD 于 平 面 BDE 所 成 角 的 正 弦 值 Sinθ = |cOS < , = = =
15 分
17. 解（1）法一：因为f′ (x) = ex − a，当a ≤ 0时，f ′ (x) = ex − a > 0恒成立，所以f(x) =
ex − ax − 1在R上为增函数， 因为f(0) = 0，所以f(−1) < 0，所以a ≤ 0时不成立 2 分
当a > 0时，由f′ (x) = ex − a > 0得x > lna，f ′ (x) = ex − a < 0得x < lna ，所以f(x) = ex − ax − 1在(−∞, lna)上为减函数，在(lna, +∞)上为增函数 4 分
所以f(x)的最小值点为lna，因为f(0) = 0，且恒有f(x) ≥ 0，所以lna = 0， 6 分
a = 1 8 分
法二： 由于f(x)在x = lna处取得极小值，且为最小值. f(x)最小值为f(lna) = a − alna − 1，
设g(a) = a − alna − 1 ，g(a) ≥ 0 6 分
g ′ (a) = 1 − lna − 1 = −lna = 0，得a = 1
∴ g(a)在区间(0,1)单调递增，在区间(1, +∞)单调递减.
∴ g(a)在a = 1处取得极大值g(1) = 0 7 分
因此(a) ≥ 0的解为a = 1
∴ a = 1 8 分
（2）证明：设g(m) = f(m + n) − f(m) − f(n)，所以g′ (m) = f ′ (m + n) − f′ (m)， 因为
f ′ (x) = ex − 1在R上为增函数，且m + n > m，所以g′ (m) > 0，g(m)在(0, +∞)为增函数
11 分
所以g(m) > g(0)
又因为g(0) = f(n) − f(0) − f(n) = f(0) = 0，所以 g(m)>0 14 分
所以f(m + n) > f(m) + f(n) 15 分
18. 解（1 ） {4 ∴ { ，b2 = a2 − c 2 = 12 ，椭圆 C 的 标 准 方 程 为 + = 1
4 分
（2）(Ⅰ)当AB的斜率为0时，显然k1 = k2 = 0，k1 + k2 = 0 5 分
当AB的斜率不为0时，设AB方程为：x = my − 8
{=+得(3m2 + 4)y2 − 48my + 144 = 0 ，设 A(x1, y1)，B(x2, y2) ，故有 y1 + y2 =
, y1y2 = 8 分
所 以 k1 + k2 = + = + = ， 因 为 y1 (my2 − 6) +
y2 (my1 − 6) = 2my1y2 − 6(y1 + y2) = 0，综上所述，k1 + k2 = 0为定值 11 分
(Ⅱ ) S∆ABF = S∆PBF−S∆PAF = |PF||y1 − y2 | = = ≤ = 3√3
15 分
当且仅当3√m2 − 4 = 即m = ± 时取 “ = ”号（此时适合∆> 0） 17 分
所以∆ABF的面积的最大值为3√3
19. 解：（1）法一： 函数y = x不是“旋转函数”. 1 分
因为y = x绕原点逆时针旋转后与y轴重合，即为x = 0 2 分
当x = 0时，有无数个y与之对应，与函数的概念矛盾. 4 分
法二：y = x如果是“旋转函数”，即y = x和y = x + b(b ∈ R)最多一个交点 2 分
显然， 当b = 0时，两条直线重合 3 分
矛盾，所以：y = x不是“旋转函数”. 4 分
（2）由题意可知g(x) = ln(x + 1) + x 3 ，x ∈ [0, +∞)，与函数y = x + b(b ∈ R)的图象最多
1 个交点才能是“旋转函数”. 5 分
设ℎ(x) = g(x) − x = ln(x + 1) + x 3 − x(x ≥ 0)， ℎ ′ (x) = + x 2 − 1 = (x ≥ 0).
由ℎ′ (x) > 0得x > ，由ℎ′ (x) < 0得0 < x < ，即ℎ(x)在(0, )单调递减，在( , +∞)单调递增.
7 分
其中ℎ(0) = 0 ，ℎ < ℎ(0) = 0 ，ℎ(1) = ln2 − > 0，
当b ≤ 0时，y = ℎ(x)和y = b有两个交点 10 分
所以g(x)不是“旋转函数” 11 分
（3） 由题意， f(x) = ln(2x + 1) (x > 0) 与y = kx + b 最多一个交点， 其中k = tan −
θ ) ，b ∈ R，即F(x) = ln(2x + 1) − kx (x > 0)与y = b(b ∈ R)图象最多一个交点 12 分
F(x) = ln(2x + 1) − kx在(0, +∞)上单调函数 14 分
− k ，x > 0 ， − k ≤ 0在上恒成立，
, 即k ≥ 2 15 分
≥ 2 ，tanθ ≤ , 即tanθ的最大值为 17 分
说明： 由于k > 0 ，F ′ − k ≥ 0在上恒成立 ，即k ≤ 不可能. 如果没有说明，可扣 1 分