河北省示范性高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省示范性高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．以下函数中,在上单调递增且是偶函数的是( )
A.B.
CD.
3．下列各组函数中,两个函数是同一函数的是( )
A.与B.与
C.与D.与
4．已知幂函数在区间上单调递减,则( )
A.1B.C.D.2
5．下列命题为真命题的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,,则
6．已知函数,若,则( )
A.2或或B.2或C.2或D.
7．已知函数是R上的增函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知函数的图象关于y轴对称,若,,且,都有,则下列结论正确的是( )
A.最大值为
B.
C.函数的图象关于点中心对称
D.若,则
二、多项选择题
9．设集合,,且,则实数a的值可以是( )
A.2B.1C.D.0
10．下列结论中正确有( )
A.“”是“”的必要不充分条件
B.已知命题“,”,则该命题的否定为“,”
C.“”是“”的充分不必要条件
D.“关于x的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是
11．下列说法正确的有( )
A.若,则函数的最大值为
B.已知,则的最小值为
C.若正数x、y满足,则的最小值为3
D.设x、y为正实数,且,则的最小值为6
三、填空题
12．已知函数的定义域是,则函数的定义域是_________.
13．已知是定义在R上的奇函数,且当时,,则不等式的解集为_________.
14．已知,,满足不等式,则实数m的取值范围是______________.
四、解答题
15．已知全集,集合,集合.
（1）求集合;
（2）设集合,若集合,且是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
16．某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池,其蓄水量为,高为xm,底面一条边长为5m,施工方给的造价:四个侧面造价为100元/,底面造价为80元/.
（1）设此蓄水池的总造价为y元,求y关于x的函数关系式;
（2）如果你是施工方,请帮该厂设计一个总造价最低的方案,给出具体的数据参考.
17．设函数,.
(1)若在上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)求关于x的不等式的解集.
18．已知集合,实数b满足.
（1）若集合,且,,是集合U中最小的三个元素,求集合A;
（2）在（1）条件下,若实数b构成的集合为B,且集合,若实数,且关于x的方程有实数解,请列出所有满足条件的有序数对.
19．已知实数,函数,.
（1）试判断函数的奇偶性;
（2）用定义证明函数在上单调递增,并判断在是否也单调,如果单调,判断是增函数还是减函数.
（3）当,时,用表示、的最大者,记为,求的最值.
参考答案
1．答案：B
解析：.
故选:B
2．答案：D
解析：对于A,函数为奇函数,故选项A错误;
对于B,函数为偶函数,且在上,单调递减,故选项B错误;
对于C,函数为偶函数,且在上单调递减,故选项C错误;
对于D,函数为偶函数,且在上,单调递增且恒为正,故在单调递增,故选项D正确.
故选:D
3．答案：D
解析：A选项,的定义域为R,的定义域为,
两函数定义域不同,A错误;
B选项,的定义域为,
的定义域为,定义域不同,B错误;
C选项,的定义域为,的定义域为R,
两函数定义域不同,C错误;
D选项,令,解得,故定义域为,
令,解得,故的定义域为,
又,故对应法则相同,故两函数为同一函数,D正确.
故选:D
4．答案：A
解析：由于是幂函数,
所以,解得或.
当时,函数为,满足在上为减函数,符合题意;
当时,函数为,不满足在上为减函数,不符合题意.
故,
故选:A.
5．答案：C
解析：A选项,因为,所以,两边同时除以得,
,A错误;
B选项,因为,,所以两边同时乘以a得,两边同时乘以得,
故,B错误;
C选项,因为,,则,C正确;
D选项,因为,所以,
又,故,所以,D错误.
故选:C
6．答案：D
解析：若,则,解得或2（舍去）,
若,则,解得（舍去）,
综上,.
故选:D
7．答案：C
解析：根据题意,函数是R上的增函数,
必有,解可得,
即a的取值范围为
故选:C.
8．答案：D
解析：A选项,,且,都有,
即,
故在上单调递增,
又的图象关于y轴对称,故在上单调递减,
故有最小值,A错误;
B选项,在上单调递减,故,B错误;
C选项,由平移法则知的图象关于直线对称,C错误;
D选项,若,则,
当,则,
当,则,
综上,,
又在上单调递增,
故,D正确.
故选:D
9．答案：ACD
解析：,
因为,
当时,,满足要求,
当时,,当时,,解得,
综上,或2或.
故选:ACD
10．答案：BD
解析：A选项,,解得或0,
故“”是“”的充分不必要条件,A错误;
B选项,命题“,”的否定为“,”,B正确;
C选项,,解得或,
故“”是“”的必要不充分条件,C错误;
D选项,由题意得,解得,
由于,
故“关于x的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是,D正确.
故选:BD
11．答案：BCD
解析：A选项,,,
当且仅当,时,等号成立,故A错误;
B选项,,
因为,所以,
由基本不等式得,
当且仅当,即时,等号成立,故B正确;
C选项,正数x、y满足,
则,
当且仅当,即时,等号成立,C正确;
D选项,x、y为正实数,且,则,
,
当且仅当,即时,等号成立,D正确.
故选:BCD
12．答案：
解析：若函数的定义域是,则函数需要满足:
则,解得,
所以的定义域是.
故答案为:
13．答案：或.
解析：当时,,故,
因为是定义在R上的奇函数,
所以,故,所以,
,满足,
当时,令,解得,故,
当时,令,解得或,故,
综上,的解集为或.
故答案为:或.
14．答案：或
解析：,,满足不等式,
故只需,
其中,当且仅当时,等号成立,
关于a的函数,当且仅当时,等号成立,
所以,解得或,
综上,实数m的取值范围是或,
故答案为：或
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
等价于,解得或,
故或,,
,
（2）由（1）知,,
是的充分不必要条件,故D为C的真子集,
又,
故,解得,
故实数a的取值范围是.
16．答案：（1）,;
（2）长方体的高为4m,底面长宽分别为10m和5m时,总造价最低.
解析：（1）长方体蓄水池的底面面积为,
长方体底面的另一条边长为m,
故,;
（2）,故由基本不等式得
,
当且仅当,即时,等号成立,
此时m,
故当长方体的高为4m,底面长宽分别为10m和5m时,总造价最低.
17．答案：(1)
(2)当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为或
解析：(1)因为函数在上单调递减,
当时,即函数在上单调递减,合乎题意;
当时,因为二次函数在上单调递减,
可得,解得.
综上所述,实数a的取值范围是.
(2)不等式可化为,
当时,原不等式即为,解得;
当时,方程的两根分别为,.
（i）当时,,解原不等式可得;
（ii）当时,,解原不等式可得或.
综上所述,当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为或.
18．答案：（1）
（2）,,,,,,,,,,.
解析：（1）,m,随着m,n的增大而增大,
又m,,故集合U中最小的三个元素依次为
,,,
故;
（2）,
当时,或1,当时,与元素互异性矛盾,舍去,满足要求,
当时,或2,两者均满足要求,
当时,（舍去）,
综上,,
,
P,,关于x的方程有实数解,
当时,,解得,满足要求,
故,0,1,2均可,满足条件的有序数对有,,,,
当,需满足,即,
若,则,2,满足条件的有序数对有,,
若,则,1,2,满足条件的有序数对有,,,
若,则,满足条件的有序数对有,
若,则,满足条件的有序数对有,
综上,满足条件的有序数对有,,,,,,
,,,,.
19．答案：（1）偶函数
（2）证明见解析,函数在上是增函数
（3）最小值为2,最大值为8
解析：（1）因为实数,函数,,
则,其中,
,则函数为偶函数.
（2）因为,任取、且,则,,
则
,即,
所以,函数在上为增函数,
函数在上也为增函数,理由如下:
因为,任取、且,则,,
则
,即,
所以,函数在上为增函数.
（3）当时,,,
则,
因为,当时,,即,
当时,,即,
故当时,,
由对勾函数的单调性可知,函数在上为减函数,在上为增函数,
因为函数、在上均为增函数,
所以,函数在上为增函数,
又因为函数在上连续,故函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,,
又因为,,则,
所以,当时,函数在区间上的最小值为2,最大值为8.