湖南省多校联考2025届高三上学期11月联考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省多校联考2025届高三上学期11月联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,且,则( )
A.–4B.–2C.2D.4
2．若,则( )
A.B.C.D.
3．将某班一次数学考试的成绩（都是正整数,满分150分）统计整理后得到如下的表格：
则该班这次数学考试成绩的分位数可能是( )
A.93B.108C.117D.128
4．已知l,m是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,且,则
B.若,,且,则
C.若,,且,则
D.若,,且,则
5．已知,,则( )
A.B.C.D.
6．若函数及其导函数满足,且,则( )
A.B.C.D.
7．设数列满足,,为的前n项和,则数列中的项不包括( )
A.54B.232C.610D.1596
8．已知三棱锥的三个侧面的面积分别为5,5,6,底面积为8,且每个侧面与底面形成的二面角大小相等,则三棱锥的体积为( )
A.4B.C.6D.
二、多项选择题
9．记等差数列的前n项和为,若,,则( )
A.的公差为2B.
C.的最大值为35D.的最小值为-35
10．设直线,则下列说法正确的是( )
A.当时,l的倾斜角为
B.使得l过点的有两个
C.存在定点P,使得点P到l的距离为定值
D.从所有直线l中选3条围成正三角形,则正三角形的面积为定值
11．设,是定义在R上的非常值函数,若,则下列说法正确的是( )
A.若,且,则是偶函数
B.若,且,则是周期函数
C.若,则存在非零实数k,使得
D.若,且的值域为,则
三、填空题
12．某中学每次升国旗仪式由1名旗手和4名护旗手进行,旗手需要掌握㢣旗、展旗等技术,每名护旗手也各有不同的职责．现安排甲、乙、丙、丁、戊5人升国旗,其中甲和乙能担任旗手或护旗手,其他人只能担任护旗手,则不同的安排方法种数为____________．
13．计算：_____________．
14．设为单位向量,向量,满足,则当与的夹角最大时,____________．
四、解答题
15．已知椭圆的离心率为,且C过点,O为坐标原点．
(1)求C的方程;
(2)过C的右顶点A且斜率为的直线l交C于A,B两点,求的面积;
(3)在(2)的条件下,设Q是C上不同于B的点,且与的面积相等,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
16．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知．
(1)若,求A;
(2)若,求的最小值．
17．如图,已知圆锥的高为3,为底面直径,且．
(1)求圆锥的表面积;
(2)若B是底面圆周上一点,且,求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知函数．
(1)讨论的单调性;
(2)若,且存在,满足,证明：;
(3)设函数,若,且与的图象有两个交点,求实数b的取值范围．
19．记数列的前n项和为,若存在整数K和正整数M,使得恒成立,则称为“数列”．
(1)写出一个既是等比数列又是“数列”的的通项公式．
(2)已知数列满足．
（ⅰ）证明：是“数列”．
（ⅱ）是否存在K和M,使得为数列？若存在,求出K,M的值；若不存在,请说明理由．
附：当正整数时,．
参考答案
1．答案：B
解析：求解二次不等式可得：,
求解一次不等式可得：.
由于,故：,解得：.
故选：B.
2．答案：C
解析：由,
可得：,
所以,
故选：C.
3．答案：D
解析：由题设,总人数有人,则,
结合表格数据知,这次数学考试成绩的分位数在120~129分内.
故选：D
4．答案：C
解析：对于A,若,,且,则或与相交,故A错误；
对于B,在正方体中,取为l,为m,平面为,平面为,
符合题意,但,故B错误；
对于C,因为,,所以直线l的方向向量是平面的法向量,
直线m的方向向量是平面的法向量,又,
所以两直线的方向向量垂直,即两平面的法向量垂直,所以,故C正确；
对于D,在正方体中,取为l,为m,平面为,平面为,
此时符合题设,但与不垂直,故D错误.
故选：C.
5．答案：A
解析：由,
可得：,
即,又,
结合平方差公式可得：.
故选：A.
6．答案：D
解析：因为,所以,
所以,因为,
所以,解得,
所以,令,可得,解得.
故选：D.
7．答案：C
解析：,,,,,,
,,,,,,,,
,,,所以不包括610.
故选：C.
8．答案：B
解析：过P向底面作垂线,垂足为O,分别过O向三边作垂线,垂足分别为D,E,F,
连接,,,
因为平面,平面,所以,
又,,平面,所以平面,
又平面,所以,所以为二面角的平面角,
同理可得为二面角的平面角,为二面角的平面角,
因为每个侧面与底面形成的二面角大小相等,所以,
所以,,所以O为三角形的内心,
由三棱锥的三个侧面的面积分别为5,5,6,
所以,设三边的长为,,,则边上的高长为,
由底面的面积为8,所以,解得,
设内切圆的半径为r,则,所以,
由侧面的面积为6,所以,所以,
所以,所以,
所以.
故选：B.
9．答案：BD
解析：由,可得,所以,所以,
所以,又,所以,解得,故A错误；
所以等差数列的通项公式为,所以,
所以,故B正确；
令,解得,所以前6项为非负项,
其和最大,又,公差,所以最大值为,故C错误；
因为,
所以,令且,,可得,
所以
,
因为在单调递减,在上单调递减,
所以当时,,当时,,
所以的最小值为-35,故D正确.
故选：BD.
10．答案：ABC
解析：对于A,当时,直线l的方程为,
即,直线l的斜率为,所以l的倾斜角为,故A正确；
对于B,当直线l过点时,可得,所以,
两边平方得,所以,
解得或或或,经检验与是增根,
所以或,故B正确；
对于C,点到直线l的距离为,
所以存在定点,使得点P到l的距离为定值,故C正确；
对于D,由C可知,直线l是以为圆心,2为半径的圆的切线,
从所有直线l中选3条围成正三角形,这样的正三角形有两类,
如图所示,一类是圆的外切三角形,这一类三角形的面积相等,
一类是在圆的同一侧,这一类三角形的面积相等,但两类三角形的面积不等,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：AD
解析：对于A,B,此时有.
取,得,故,由于不是常值函数,所以一定存在x使得,故.
重新取,得,即,故,所以A正确；
注意到满足给定的条件,但此时不是周期函数,所以B错误；
对于C,D,此时有.
假设存在使得,则.
取,得,所以.
重新取x=0,得,所以是偶函数.
在中用替换x,可得,故.
与相加,可知,所以.
再中取,就得到,所以,这与不是常值函数矛盾,所以C错误；
而对于D,若的值域是,假设存在使得,设.
由于不是常数函数,故可以取使得,并考虑数列,则,.
再中取,可知,故.
所以.
从而存在实数A,使得.
所以.
分别用0,1,2,,替换该式中的n并相加,
可得.
所以,我们有.
总之,存在实数p,q,使得.
由于,故.
所以对任意整数都有.
若,则该不等式在时不成立,矛盾,所以.
同时注意到.
对进行类似讨论,同理可以得到,故,这与矛盾.
所以假设不成立,故,所以D正确.
故选：AD.
12．答案：48
解析：先甲乙选一人担任旗手,再将其余全排,
可得不同的安排方法种数为种,
故答案为：48.
13．答案：0
解析：令,显然,所以,即,
令,因为,,所以,
则,即,
所以,又在定义域上单调递增,所以,即,
所以.
故答案为：0.
14．答案：5
解析：因为为单位向量,向量,满足,,
所以可令,,,如下图示,
易知,若,故,
而,即,
所以,又,
所以,要与的夹角最大,即最大,即最小,
由,当且仅当时取等号,
所以当与的夹角最大时,.
故答案为：5.
15．答案：(1)
(2)
(3)．
解析：(1)设C的半焦距为,由题意得,
解得,,
故C的方程为．
(2)由(1)知,l的方程为,即,
联立,消去x得,整理得,
解得与,所以,
所以．
(3)因为与的面积相等,所以Q到的距离与B到的距离相等,
由椭圆的对称性可知所有满足条件的点Q的坐标为,,．
16．答案：(1)
(2)．
解析：(1)因为,
所以,
所以,因为,,所以,
所以,所以,
故．
(2)由(1)知,又,所以．
所以．
由正弦定理,得,
所以
,
当且仅当,即时取等号．
所以最小值为．
17．答案：(1)
(2)．
解析：(1)由题可知母线长,底面半径．
故圆锥的表面积．
(2)以O为坐标原点,所在直线为y轴,所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设点B在上的射影为H,则,所以,．
易知,,,,
则,,．
设平面的一个法向量为,
则,取,
计算可得平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为,
则,取,
则平面的一个法向量为．
所以,
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)．
解析：(1)由题意得,
若,则,在上单调递减,在上单调递增．
若,令,得或,
若,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增；
若,则在R上单调递增；
若,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增．
(2)由(1)可知,当时,在上单调递减,在上单调递增,因为,
所以．
令,
则,
当时,,,当时,,,
所以恒成立,在R QUOTE R R上单调递增．
因为,所以,即,所以．
又在上单调递增,且,,
所以,即．
(3)由题意可得方程有两个实根．
设,当时,,则在上单调递增,
令,则,所以关于t的方程,即有两个实根,
令,则,
当,,所以在上单调递增,
当,,,在上单调递减,
所以,且时,．
所以,所以,
即b的取值范围是．
19．答案：(1)（答案不唯一）
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）不存在,理由见解析
解析：(1)依题意,要求是：既是等比数列又是“数列”,
即,,
如,,符合题意.
或其他合理答案,需满足,如：．
(2)（ⅰ）设的前n项和为,要证明是“数列”,
,即证明．
因为,所以．
由可得,且．
设,易知恒成立,
所以在R上单调递增,则,
得,所以．
所以当时,
．
综上,成立,故原命题得证．
（ⅱ）对于函数,,
所以在上,单调递增,在区间上,单调递减,
所以,所以,时等号成立.
由不等式,可得,所以,
故,当且仅当时等号成立．
又,所以．
由,两边取倒数可得,所以．
所以,
所以,从而．
由题后附的结论知：当时,．
故不存在K和M,使得,即恒成立．
即不存在K和M,使得是数列．
成绩范围
0~89分
90~99分
100~109分
110~119分
120~129分
130~150分
人数
7
10
10
2
6
7