河南省洛阳市2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题(解析版)-A4
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这是一份河南省洛阳市2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题(解析版)-A4,共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(每题3分,共30分)
1. 下面的四个汉字可以看作轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别,如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.
【详解】解:根据轴对称图形的定义可知,只有选项A的图形可以沿一条直线折叠使得直线两旁的部分能够互相重合. 故A选项是轴对称图形.
故选:A.
2. 如图,一角硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是( )
A. B. C. D. 以上答案均不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的外角和和正多边形的定义.根据多边形的外角和定理求得正九边形的个相同外角的度数和,即可求得个外角的度数,再根据个外角与其相邻的内角互为邻补角,即可求得每个内角的度数.
【详解】解:正九边形的外角和为,
正九边形每个外角度数是
正九边形每个内角的度数是.
故选:C.
3. 如图,用尺规作出了,作图痕迹中弧是( )
A. 以点为圆心,为半径的弧
B. 以点为圆心,为半径的弧
C. 以点为圆心,为半径的弧
D. 以点为圆心,为半径的弧
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图,运用作一个角等于已知角的方法可得答案,解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法.
【详解】解:根据作一个角等于已知角可得弧是以点为圆心,为半径的弧,
故选:.
4. 如图,,添加下列条件,不能使的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形判定定理是解题关键.根据全等三角形的判定定理,逐项分析判断即可.
【详解】解:A. 若,,利用“”可证明,故本选项不符合题意;
B. 若,,结合,可利用“”证明,故本选项不符合题意;
C. 若,,结合,可利用“”证明,故本选项不符合题意;
D. 若,添加条件,仍无法证明,该选项符合题意.
故选:D.
5. 如图,,及都是等边三角形,,分别为,的中点.若,则多边形外围的周长是( )
A. 12B. 14C. 15D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质,由等边可得,而是的中点可知,同理等边、等边中均可以将各边的关系表示出来,结合已知,即可求得各边长;根据所求图形的周长即为从点按顺序到点的线段逐个相加,即,结合上步所求即可得到结果.
【详解】解:是等边三角形,,
.
是的中点,
.
是等边三角形,,
.
是的中点,
,
同理,在中,
,
多边形外围的周长是,
故选:C.
6. 如果将一副三角板按如图的方式叠放,则∠1的度数为( )
A. 105°B. 120°C. 75°D. 45°
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算.
【详解】解:由三角形的外角性质可得:,
故选:A.
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质,解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
7. 如图,在中,,,分别是边,,的中点,且阴影部分的面积为7,则的面积为( )
A. 14B. 21C. 24D. 28
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线的性质,根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答.由是的中点可得,由是的中点可得,,从而得到,再由即可得到答案.
【详解】解:解:是的中点,
,
是的中点,
,,
,
,
,
故选:D.
8. 如图,在平面直角坐标系中,为等腰三角形,轴,若,则点C的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形,三线合一,过点作轴,交于点,求出点坐标,根据三线合一,得到为的中点,进而求出点坐标即可.
【详解】解:过点作轴,交于点,
∵轴,
∴,
∵,
∴,
∵为等腰三角形,
∴,
∴,即:;
故选C.
9. 如图,在中,,分别平分,,为外角的平分线,交的延长线于点,记,,给出下列结论:其中错误的是( )
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理,三角形外角的定义及性质,根据角平分线的定义得,,根据三角形外角的性质得,可判断选项A;根据角平分线的定义得,,由即可判断选项BCD.解题的关键是掌握:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【详解】解:∵为外角的平分线,平分,
∴,,
又∵是的外角,
∴,
∴,故选项A不符合题意;
∵,分别平分,,
∴,,
∴
,
故选项C、D不符合题意,选项B符合题意.
故选:B.
10. 如图,在中,,,为线段上一动点(不与点、点重合),连接,作,交线段于点.以下四个结论:①;②当为中点时,;③当时,;④当为等腰三角形时,.其中正确的结论为( )
A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形的内角和定理;①根据等腰三角形的性质得到,根据三角形的内角和和平角的定义即可得到;故①正确;②根据等腰三角形的性质得到,根据三角形的内角和即可得到,故②正确;③根据全等三角形的性质得到;故③正确;④根据三角形外角的性质得到,求得,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或,当时,,求出,故④错误.
详解】解:①,
,
,,
;故①正确,
②为中点,,
,
,
,
,
,
,故②正确,
③,
,
,
,
,
,
,
,
,
,故③正确,
④,
,
,
为等腰三角形,
或,
当时,,
,
,
,
,故④错误,
综上所述,①②③正确,
故选:B.
二、填空题(每题3分,共15分)
11. 已知和关于轴对称,则的值为 _____.
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化轴对称、代数式求值,根据关于轴对称的点的坐标特征是横坐标相等,纵坐标互为相反数得到,,求出、值代入求解即可.
【详解】和关于轴对称,
,,
,,
,
故答案为:1.
12. 如图,在中,以点A为圆心,的长为半径作圆弧交于点D,再分别以点B和点D为圆心,大于 的长为半径作圆弧,两弧分别交于点M和点N,连接交于点E.若, 则的周长为________________.
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图,由作图可得垂直平分,则根据线段垂直平分线的性质得到,然后利用等量代换即可得到的周长.
【详解】解:由作图可得垂直平分,
∴,
∴的周长为,
故答案为:16.
13. 如图,在中,,和的平分线分别交于点,,若,,则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定、角平分线的定义以及平行线的性质等知识,由平行线的性质得,,再证明,,然后证明,,即可得出结论.
【详解】解:,
,,
和的平分线分别交DE于点,,
,,
,,
,,
,,
.
故答案为:.
14. 如图所示,______度.
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的外角以及四边形的内角和,首先根据三角形外角的性质可知:图示这几个角是一个四边形的四个内角,再根据四边形的内角和即可求解.
【详解】解:如图,
,,
,
故答案为:.
15. 如图,在中,,,,,点是边上一动点.连接BD,将沿BD折叠,得到,其中点落在处,交于点,当为直角三角形时,长度是____________.
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况:当时,可证得是等边三角形,得出,再由,即可求得;当时,利用直角三角形性质可得,再由,即可求得.
【详解】解:,,,,
,
由折叠得:,,
当时,,
,
是等边三角形,
,
;
当时,,
在中,,
,
;
综上所述,的长度为或.
故答案为:或.
【点睛】本题考查了直角三角形性质,等边三角形的判定和性质,折叠变换的性质等,熟练掌握“直角三角形中,角所对的直角边等于斜边的一半”是解题关键.
三、解答题(共8道题,共75分)
16. 已知正x边形的内角和为,边长为2.
(1)求正x边形的周长;
(2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小,求n的值.
【答案】(1)
(2)5
【解析】
【分析】本题主要考查多边形内角和外角和的相关知识.
根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数.
根据(1)求出正边形每个内角的度数,正n边形的每个外角的度数,根据多边形的外角和为解题即可.
【小问1详解】
解:由题意可得,解得.
正x边形的周长为;
【小问2详解】
正边形每个内角的度数为,
正n边形的每个外角的度数为,
,
∴n的值为5.
17. 如图,已知,
(1)尺规作图:在图1中,作的平分线;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)如图2,点在(1)中的射线上,,且的两边分别与,交于点和点,求证:.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
【分析】本题考查作角平分线、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质.
(1)根据角平分线的作图方法作图即可.
(2)过点作于点,于点,结已知条件可得,,再结合角平分线的性质可得,即可证明,则可得.
【小问1详解】
解:如图1,射线即为所求.
【小问2详解】
证明:如图2,过点作于点,于点,
,
,
.
,,
,
,
即,
.
又为的平分线,,,
.
,
.
18. 学习完《利用三角形全等测距离》后,数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题,设计了如下方案.
请你根据以上方案求出、两点间的距离.
【答案】、两点间的距离为30米
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理,全等三角形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的性质是解题关键.由三角形内角和定理,得出,进而证明,推出,即可求解.
【详解】解:,
.
,
.
在和中,
,
.
,
,
米,
即、两点间的距离为30米.
19. 如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点的坐标分别为,,.
(1)在图中作出关于轴的对称图形;
(2)直线过点1,0且平行于轴,请直接写出点关于直线的对称点的坐标:______;
(3)在(2)中的直线上求一点,使得周长最小.(保留作图痕迹)
【答案】(1)见解析 (2)
(3)见解析
【解析】
【分析】本题考查了画轴对称图形,轴对称的性质求线段和的最值问题,坐标与图形;
(1)作出的三个顶点关于轴对称的点,再连接即可解决问题;
(2)根据轴对称的特点,写出点的坐标即可;
(3)连接交直线于点,则点即为所求作的点.
【小问1详解】
解:如图所示即为所求
【小问2详解】
作出直线和点,根据坐标系可得的坐标:
故答案为:.
【小问3详解】
如图所示,连接交直线于点,则点即为所求作的点.
20. 如图,在△ABC中,已知AD是△ABC的角平分线,DE是△ADC的高,∠B=60°,∠C=40°,求∠ADB和∠ADE的度数.
【答案】∠ADB=80°,∠ADE=50°
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理可求∠BAC的度数,根据角平分线的定义可求∠BAD,∠DAC,再根据高线的定义和三角形内角和定理即可求解.
【详解】解:∵在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,
∴∠BAC=80°,
∵AD是△ABC角平分线,
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=40°,
∴∠ADB=80°,
∵DE是△ADC的高线,
∴∠DEA=90°,
∴∠ADE=50°.
【点睛】考查了角平分线的定义,高线的定义和三角形内角和定理:三角形内角和等于180°.
21. 如图,已知,,是的中线.
(1)若,,的取值范围为______;
(2)求证:.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,三角形三边之间的关系,三角形外角的性质;
(1)延长至,使 ,连接,于是证得得,再根据三角形三边之间的关系得,由此可得AE的取值范围;
(2)根据(1)证明,由此可证明和全等,然后根据全等三角形的性质可得出结论.
【小问1详解】
延长至,使 ,连接.
则
是的中线,
,
在与中,
,
,
,
在中,,
,
,
故答案为:,
【小问2详解】
∵
,,
,,
.
在与中,
,
,
.
,
.
22. 如图,ΔABC中,,,,且满足.
(1)于,交轴于,求点坐标;
(2)过点作于,交于,若,求的长;
(3)为第一象限一点,交轴于.在上截取,为的中点,求的度数.
【答案】(1)M(0,2);(2)AN=4;(3)∠OPF=45°.
【解析】
【分析】(1)先由条件推出△AOC是等腰直角三角形,再推出△BOM是等腰直角三角形,根据OB=2,得出OM=2,即可得出M的坐标;
(2)由等角的余角相等可得∠BCO=∠OAN=30°,再判定△BOC≌△NOA(ASA),得到BC=NA,再根据Rt△BOC中,BC=2BO=4,即可得AN=4;
(3)连接OF,把△OCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处,连接DP,由旋转可得,AD=CF=EF,∠OCF=∠OAD,OF=OD,再判定△PEF≌△PAD,得出PF=PD,∠FPE=∠DPA,进而判定△OPF≌△OPD,即可出结果.
【详解】(1)由题可得,a−c≥0,c−a≥0,
∴a=c,即OA=OC,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴∠OAD=45∘,
又∵BD⊥AC,
∴∠ABD=45∘,
又∵∠BOM=90∘,
∴△BOM是等腰直角三角形,
∴OB=OM,
∵,且a=c,
∴b=−2,即OB=2,
∴OM=2,
∴M(0,2);
(2)∵∠CAN=15°,∠OAC=45°,
∴∠OAN=30°,
∵AG⊥BC,CO⊥AO,
∴∠CNG+∠BCO=90°,∠ANO+∠OAN=90°,
∵∠ANO=∠CNG,
∴∠BCO=∠OAN=30°,
在△BOC和△NOA中,
∴△BOC≌△NOA(ASA),
∴BC=NA,
又∵Rt△BOC中,∠BCO=30°,
∴BC=2BO=4,
∴AN=4;
(3)如图3,连接OF,把△OCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处,连接DP,
由旋转可得,AD=CF=EF,∠OCF=∠OAD,OF=OD,
∵∠AOQ+∠APQ=180°,
∴∠OAP+∠OQP=180°,
又∵∠EQC+∠OQP=180°,
∴∠OAP=∠EQC,
∴∠PEF=∠PAD,
在△PEF和△PAD中,
∴△PEF≌△PAD(SAS),
∴PF=PD,∠FPE=∠DPA,
∴∠FPD=∠QPA=90°,
∵在△OPF和△OPD中,
∴△OPF≌△OPD(SSS),
∴∠OPF=∠OPD=∠FPD=45°.
【点睛】本题考查全等三角形的综合问题,掌握全等三角形的判定和性质,利用旋转的性质构造全等三角形是解决本题的关键.
23. 【问题背景】
如图①,在四边形中,,E,F分别是上的点,且,试探究线段之间的数量关系.
【初步探索】
小亮同学认为:延长到点G,使,连接,先证明,再证明,则可得到之间的数量关系是 ________________.
【探索延伸】
如图②,在四边形中,分别是上的点,,上述结论是否仍然成立?说明理由.
【结论运用】
如图③,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进,舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为,试求此时两舰艇之间的距离.
【答案】[初步探索]:;[探索延伸]:结论仍然成立,理由见解析;[结论运用]:210海里.
【解析】
【分析】(1)根据题意可得,证明,继而得到,再判定可得,继而得到本题答案;
(2)延长到,使,连接,证明,继而得到,再判定可得,继而得到本题答案;
(3)连接,延长、交于点,可得,再得,继而得到本题答案.
【详解】解:[初步探索]:;理由如下:
,,
,
在和中,
,
∴,
,,
,
,
,
在△和△中,
,
∴,
,
,
,
故答案为:;
[探索延伸]:结论仍然成立,理由如下:
如图2,延长到,使,连接,
,
,,
,
在和中,
,
∴
,,
,
,
,
和中,
,
∴,
,
,
;
[结论运用]:如图3,连接,延长、交于点,
,
,,
,
,,
符合探索延伸中条件,
结论成立,
即海里.
答:此时两舰艇之间的距离是210海里.
课题
测量河两岸A、B两点间距离
测量工具
测量角度的仪器,皮尺等
测量方案示意图
测量步骤
①在点所在河岸同侧的平地上取点和点,使得点、、在一条直线上,且;
②测得;
③在的延长线上取点E,使得;
④测得的长度为30米.
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