四川师大附中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份四川师大附中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在实数，，，，0中，无理数有（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是无理数的识别，根据无限不循环的小数是无理数逐一判断即可．
【详解】解：在实数，，，，0无理数有，．
故选：B．
2. 平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：∵，，
∴点所在的象限是第四象限．
故选：D．
3. 下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ）
A. 4，5，6B. 5，12，13C. D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，逐一计算每个选项中较小的两边的平方和，与最长边的平方进行比较，从而可得答案．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，
故A符合题意；
B、∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
4. 二次根式中，字母的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
故选：．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根与有理数的乘方，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
利用二次根式的性质对A、B、D进行判断；根据立方根的定义对C进行判断．
【详解】解：A．，故选项A不符合题意；
B．，故选项B不符合题意；
C．，故选项C符合题意；
D．，故选项D不符合题意．
故选：C．
6. 如图，已知点A，B，D的坐标分别为1,4，，，，，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，先根据B、D两点确定出平移规律，再根据此规律解答．
【详解】解：∵，，，是对应点，
∴AB向右平移2个单位得到CD，
∵点A的坐标为1,4，
∴点C的坐标为，即．
故选：A．
7. 如图，学校操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高8米，树梢D到树的水平距离的长度为8米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A. 8米B. 10米C. 12米D. 16米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，连接，
在中，（米），
∴（米），
即小鸟至少要飞行的长度为10米．
故选：B．
8. 一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数与y轴的交点位置情况即可判定．
【详解】解：A、选项中没有过原点的直线，不符合题意；
B、由正比例函数图象可知，由一次函数图象可知，故不符合题意；
C、由正比例函数图象可知，由一次函数图象可知，故不符合题意；
D、由正比例函数图象可知，由一次函数图象可知，故符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9. 81的平方根是_____．
【答案】±9
【解析】
【分析】直接根据平方根的定义填空即可．
【详解】解：∵（±9）2＝81，
∴81的平方根是±9．
故答案为：±9．
【点睛】本题考查了平方根，理解平方根的定义是解题的关键．
10. 如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为 _______．
【答案】19
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x，根据勾股定理得，，再证明，即可得出结论，确定正方形A、B、C、D面积的数量关系是解题的关键．
【详解】解：设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x，
∵两个空白三角形均为直角三角形，
∴，，
∴，
∵A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，
∴，
即正方形D的面积为19，
故答案为：19．
11. 已知点是一次函数的图象上的两点，则a _____b（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数增减性是关键．根据一次函数的增减性进行解答即可．
【详解】解：∵一次函数的，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，第二象限的点到轴的距离与到轴的距离相等，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了各象限点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据题意可得点的横纵坐标互为相反数，据此列出算式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵点在第二象限，且到轴和轴的距离相等，
∴，
解得，
故答案为：．
13. 长方体的长、宽、高分别是3、4、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是平面展开—最短路径问题，关键是熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．
蚂蚁从A到B有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可．
【详解】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是7和1，
则所走的最短线段；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是4和4，
所以走的最短线段；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是3和5，
所以走的最短线段；
∵，
∴三种情况比较而言，第二种情况最短．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共5小题，共48分）
14. 计算：
（1）；
（2）；
（3）解方程：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先计算负整数指数幂，求解算术平方根，立方根，再合并即可；
（2）先化简各二次根式，二次根式的乘法运算，再合并即可；
（3）把方程化为：，再利用立方根的含义解方程即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义，求解算术平方根，二次根式的混合运算，利用立方根的含义解方程；掌握基础的运算法则是解本题的关键．
15. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）请直接写出点A、B的坐标；
（2）请画出关于y轴的对称图形；
（3）求的面积．
【答案】（1），
（2）见详解 （3）8
【解析】
【分析】本题考查了网格作图——关于y轴对称，解题的关键是根据轴对称变换的定义作出变换后的对应点．
（1）根据点A、B在平面直角坐标系中的位置即可求出答案；
（2）点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接，即可画出图形；
（3）由网格可知，的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图可知，点A的坐标为，B的坐标为；
【小问2详解】
如图，点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接， 就是所求作的图形，
【小问3详解】
由图可知，．
16. 已知．
（1）化简x，y；
（2）求代数式的值；
（3）若x的小数部分为a，求的值．
【答案】（1），
（2）9 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
（1）分母有理化即可；
（2），整体代入求解；
（3），代入式子化简即可．
小问1详解】
解：，；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：由题意，
．
17. 如图，在中，，，连接．
（1）若，求的度数；
（2）过点C作交于点E，若，，求及的长
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理等知识，解题的关键：
（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）在中，根据勾股定理可求出，，根据等面积法可求出，中，根据勾股定理可求出，，在中，根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴面积为，
∴，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
18. 点、点为y轴正半轴上一动点，且，．
（1）如图1，当时，请求出点C的坐标；
（2）如图2，点C关于y轴的对称点为，连并延长，求证：为等腰直角三角形；
（3）如图3，点在x轴上，过点B作且，连接交y轴于H．若点H恰好为中点，求的长
【答案】（1）点
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）如图1，过点作轴，由“”可证，可得， ，即可求解；
（2）如图2，连接，，由“”可证，可得，可证，由外角性质可得，可得，即可求解；
（3）如图3，在轴上取点，使，连接，通过证明，可得，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，过点C作轴，
，，
，
，且，
，且，，
，
，，
，
∴点；
【小问2详解】
证明：如图2，连接，
∵点C关于y轴的对称点为，
，，且，
，
，
，
，，
，，
，
，
，且，
，
，
为等腰直角三角形；
【小问3详解】
解：如图3，在y轴上取点，使，连接，
∵点
，
∵点H恰好为的中点，
，且，
，
，，
，
，
，
，
，且，，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
一、填空题（大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 如果成立，则_________．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件求出，进而求出，然后代入所给代数式计算即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得，
把代入，
解得，
则．
故答案为：2024．
20. 如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，过点B作于点B，取，以A为圆心，为半径作圆交数轴的正半轴于点E，则点E表示的数是__________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后根据作图得出，最后得出答案即可．
【详解】解：∵点A表示的数为，点B表示的数为，
∴，
∴，
∵以A为圆心，为半径作圆交数轴的正半轴于点E，
∴，
∴点E表示的数为．
故答案为：．
21. 如图，在中，，以适当长为半径画弧，交于点M，交延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于，两弧交于点P，作射线交的延长线于点D．过点D作交的延长线于点F，，，则_____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查作图—角平分线，三角形全等的判定和性质，勾股定理．由作图过程判断出为的平分线是解题关键．根据题意可知为的平分线，易证，再结合勾股定理求解即可．
【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，
∴．
设，则．
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴．
故答案为：6．
22. 在平面直角坐标系中，对于点，如果点，，那么称点Q为点P的“友好点”．如果点的友好点Q坐标为，则点P的坐标为____________________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义，点的坐标，理解并掌握“友好点”的定义是解题的关键．根据“友好点”的定义，分两种情况进行讨论，求解即可．
【详解】解：分两种情况：
当时，由题意得：，
解得：，
∵，
∴符合题意；
当时，由题意得：，
解得：，
∵，
∴符合题意；
综上所述：点P的坐标为或．
故答案为：或．
23. 如图，在中，，，D为上一点，连接，过点A作，取，连接交于F．当为等腰三角形时，________．
【答案】2或6
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，分两种情形：如图1中，过点E作于H，证明，可得结论，如图2中，当时，点D与B重合，此时．
【详解】解：∵，
∴分以下两种情况：
当时，如图1中，过点E作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2中，当时，此时．
综上所述，满足条件的的长度为2或6．
故答案为：2或6．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 某水果店采用线上和线下相结合的方式销售一种水蜜桃，线上可以通过APP进行团购拼单购买，线下可以到实体店购买．具体费用标准如下：
①线上销售方式：一律七折销售；
②线下销售方式：不超过5千克，按原价销售；超过5千克时，超出的部分每千克优惠8元；若购买水蜜桃x千克，所需费用y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）水蜜桃标价为______元/千克；．
（2）求出线下销售时所需费用y与x之间的函数关系式；
（3）若想购买15千克水蜜桃，请问采用哪种方式购买更省钱？
【答案】（1）20 （2）y＝
（3）线上购买更省钱
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象获取信息，解题的关键在于根据图象和题干获取正确的信息．
（1）根据函数图象所给数据可知，水蜜桃标价为，然后计算即可；
（2）根据“线下销售方式：不超过5千克，按原价销售；超过5千克时，超出的部分每千克优惠8元；”分别求出y与x之间的函数关系式即可；
（3）分别算出线上和线下购买15千克水蜜桃所需费用，并进行比较，即可解题．
【小问1详解】
解：由图可知，水蜜桃标价为（元/千克），
故答案为：20；
【小问2详解】
解：∵不超过5千克，按原价销售；
∴，
∵超过5千克时，超出的部分每千克优惠8元；
∴，
综上所述，线下销售时所需费用y与x之间的函数关系式为；
【小问3详解】
解：线上购买15千克水蜜桃所需费用为：（元），
线下购买15千克水蜜桃所需费用为：（元），
∵，
∴线上购买更省钱．
25. 如图1，直线与y轴交于点B，与x轴交于点A，与直线交于点．
（1）求点C的坐标以及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图2，若y轴上有一点Q，且使得以B，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）点，直线AB的表达式为：
（2）点或
（3）的坐标为或或或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数综合运用，等腰三角形的性质、面积的计算，勾股定理等知识点，
（1）由待定系数法即可求解；
（2）设点，由的面积，即可求解；
（3）当时，则，即可求解；当或时，同理可得：或，求解即可；
熟练掌握其性质，分类求解是解决此题的关键．
【小问1详解】
将点C的坐标代入得：则，
∴点，
将点C的坐标代入的表达式得：，则，
则直线的表达式为：；
【小问2详解】
如图，设点，
由题意知，的面积，
解得：或，
即点或；
【小问3详解】
设点，
由点B、C、Q的坐标得，，，，
当时，则，
解得：，即点Q的坐标为或，
当或时，
同理可得：或，
解得：（舍去）或0或，
即点Q的坐标为或，
综上，的坐标为或或或．
26. 如图所示，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接平分交于点E，交于点M．
（1）如图1，若，求的度数及的长；
（2）如图2，以为边作，，求证：．
（3）若点P是直线上的一动点，将沿着进行翻折得到，连接，连接，．若，当最小时，直接写出的值．
【答案】（1）；1
（2）证明过程详见解答
（3）
【解析】
【分析】（1）可推出，，进而得出，可依次得出，和的值，进一步得出结果；
（2）延长至G，使，过点E作于点H，可证明，从而，，进而得出，从而，进一步得出结论；
（3）作等边三角形，连接，可推出，从而，从而得出，当点O、A、G共线时，等号成立，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：∵是等边三角形，
∴，，
∵线段绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，负值舍去．
【小问2详解】
证明：延长至G，使，连接，过点E作于点H，如图1，
由（1）知，，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图2，作等边三角形，连接，过点B作于点H，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵沿着进行翻折得到，
∴，
∵绕着点B逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，当点O、A、G在同一直线上时，等号成立，
此时，
∴此时．
【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质．