吉林省实验中学2024-2025学年高二上学期学程性考试（二）（11月）数学试题（解析版）-A4

这是一份吉林省实验中学2024-2025学年高二上学期学程性考试（二）（11月）数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了 已知直线， 已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
数学
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码.
3.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题未上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.
一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 椭圆C：一个焦点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程即可求出,并且知道焦点在轴上,可表示出焦点坐标.
【详解】由椭圆C：，知，
故焦点坐标为.
故选：B
2. 在平行六面体中，已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行六面体结构特征和相等向量的定义，结合向量加法法则即可求解.
【详解】在平行六面体中，,
所以.
故选：D.
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线方程直接求解即可
【详解】由，得，
所以，
即双曲线的渐近线方程为.
故选：A
4. 正四棱柱中，，E，F，G分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式求出答案.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
故，
故直线与所成角的余弦值为.
故选：D
5. 已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为，再利用点差法，即可求解.
【详解】由抛物线的准线为，可得，可得，所以，
设，可得，且，
两式相减，可得，
可得，所以直线的方程为，
即.
故选：A．
6. 椭圆上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线AP，AQ的斜率之积列方程，求得，进而求得椭圆的离心率.
【详解】，设Px1,y1，则，则，，
故，又，则，
所以，即，所以椭圆C的离心率为．
故选：C
7. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线与半圆的位置关系可得实数的取值范围.
【详解】方程有两个不相等的实数根等价于有两个实数根，
设，，
故的图象与的图象有两个不同的交点，
又可化为，
故的图象为如图所示的半圆，

半圆圆心为2,0，半径为，故圆心到直线的距离，故，
而直线需在轴的上方或与轴重合，故，
故，
故选：B.
8. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，A，B为C上两点，且均在第一象限，过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E.若，，则的外接圆面积为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的定义及平行线的性质可得，结合同角三角函数的平方关系及二倍角公式可得，进而由正弦定理可求得结果.
【详解】如图所示，

由抛物线的定义可知AF=AD，，
所以，，
所以，故，
易知为锐角，且由可知，
所以.
设的外接圆半径为R，由正弦定理可知，
又，所以，
所以的外接圆面积为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距为1B. 直线与直线：平行
C. 直线的一个方向向量为D. 直线与直线：垂直
【答案】BD
【解析】
【分析】求出直线的横截距及方向向量判断AC；由方程判断两直线的位置关系判断BD.
【详解】对于A，直线在轴上的截距为，A错误；
对于B，直线与直线的斜率均为，它们的横截距分别为，则，B正确；
对于C，直线的一个方向向量为，C错误；
对于D，由，得，D正确.
故选：BD
10. 已知抛物线C：的焦点为，点A，B为C上两个相异的动点，则（ ）
A. 抛物线C的准线方程为
B. 设点，则的最小值为4
C. 若A，B，F三点共线，则的最小值为2
D. 若，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由抛物线的焦点可求出抛物线的准线方程，对于B，过点作垂直准线于，则，从而可求出其最小值，对于C，由抛物线的性质可判断，对于D，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理可得，然后在利用余弦定理结合基本不等式可判断
【详解】对于A，因为抛物线C：的焦点为，所以抛物线C的准线方程为，所以A正确，
对于B，由题意可得抛物线的方程为，则点在抛物线外，如图，过点作垂直准线于，则，当三点共线时，取得最小值，最小值为4，所以B正确，
对于C，由抛物线的性质可得当A，B，F三点共线，且 轴时，弦最短为抛物线的通径，所以C错误，
对于D，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理可得，设，则，在中由余弦定理得，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当时取等号，所以D正确，
故选：ABD
11. 已知棱长为1的正方体中，为正方体内及表面上一点，且，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，与平面所成角的最大值为
B. 当时，恒成立
C. 存在，对任意，与平面平行恒成立
D. 当时，的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意画出正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行逐项求解判断.
【详解】由题意得：以点为坐标原点，所在直线为，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图：

则：，，，，，，，
，，，得：
对于A项：当时，，，
平面的一个法向量为：，设与平面所成的角为，
所以：
因为：，所以：，
所以：当时，有最大值，此时：，故A项错误；
对于B项：，
则：，所以：，所以：，故B项正确；
对于C项：由题意知平面的一个法向量为：，
，所以：当时，，即：，且不在平面内，
此时：对于任意，与平面平行恒成立，故C项正确；
对于D项：当时，得：，，
当时，有最小值，故D项错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量、分别是直线的方向向量、平面的法向量，若，则与所成的角为__．
【答案】##
【解析】
【分析】利用空间向量法可得出与所成的角.
【详解】因为向量、分别是直线的方向向量、平面的法向量，且，
所以，与所成的角为.
故答案为：.
13. 若圆与圆相交于两点，且，则实数__________．
【答案】或
【解析】
【分析】由两个圆方程得到公共弦直线方程，由垂径定理得到等式，解方程即可得到答案.
【详解】，圆心，半径
∴直线：，
圆心到直线距离，
由垂径定理可得，∴，即，
∴或，经验证均满足题意.
故答案为：或
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为、，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，分析可知四边形为矩形，且，可得出，，利用双曲线的定义结合三角恒等变换、余弦函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】连接、，如下图所示：
由对称性可知，、的中点均为，且，
所以，四边形为矩形，所以，，
所以，，，
由双曲线的定义可得，
因为，则，
且，
所以，，
因此，该双曲线的离心率.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，.
（1）证明：直线平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题设建立合适的空间直角坐标系，应用向量法证明与面的一个法向量垂直，即可证结论；
（2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求点面距离.
【小问1详解】
由平面，且四边形为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系，
则
由，得，解得，同理，
，显然面的一个法向量为，
显然且面，故面
【小问2详解】
设面的一个法向量为，且，
由，
取x=1，则，
所以为平面的一个法向量，
又，
点到平面的距离为.
16. 已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点.
（1）求拋物线的标准方程；
（2）若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线过定点，分情况确定抛物线方程；
（2）联立直线与抛物线，结合韦达定理与圆过原点可得参数值.
【小问1详解】
当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为，
过点，即，解得，
即此时抛物线方程为；
当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为，
过点，即，解得，
即此时抛物线方程为；
【小问2详解】
由（1）得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立直线与抛物线，得，
则，解得，
且，，，
又以为直径的圆经过原点，
即，，
解得.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
17. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）是定值1
【解析】
【分析】（1）根据面积为12，结合双曲线基本量关系求解即可；
（2）设直线l的方程为，Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理，根据弦长公式求解即可.
【小问1详解】
双曲线可化为
，即
双曲线C标准方程为．
【小问2详解】
设直线l的方程为，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立双曲线C与直线l：消去x可得：，
，则恒成立，
又直线与双曲线交于右支两点，故，，即，
进而可得，即AB中点M为，
线段AB的中垂线为，
则，即．
．
即为定值1．
【点睛】方法点睛：
（1）根据题意设直线方程，联立圆锥曲线的方程，得出韦达定理；
（2）将条件利用点的坐标结合弦长公式，代入韦达定理化简证明.
18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，平面平面，为线段的中点，是线段（不含端点）上的一个动点．
（1）记平面交于点，求证：平面；
（2）是否存在点，使得二面角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，点为线段上靠近点的三等分点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）证明平面，利用线面平行的性质可证得，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）连接、、，推导出平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
证明：因为四边形为菱形，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为平面，平面平面，则，
因为平面，平面，因此，平面.
【小问2详解】
解：连接、、，
因为为等边三角形，为的中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
因为四边形是边长为的菱形，则，
又因为，则为等边三角形，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
设平面法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，
，
则，
取，则，，所以，，
由题意可得，
整理可得，即，因为，解得，
故当点为线段上靠近点的三等分点时，二面角的正弦值为.
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的动直线 l与C 交于P，Q两点.当轴时，，且直线的斜率之积为.
（1）求C的方程;
（2）求的内切圆半径r的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出关于的方程，解方程即可求得答案；
（2）设，由等面积法表示，进而讨论直线斜率存在和不存在的情况，存在时设直线l方程，联立椭圆方程，可得根与系数的关系，结合弦长公式可得的表达式，再结合二次函数的性质，即可求得答案.
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为c，则，
令代入，可得，
则当轴时，，此时不妨设，
则由直线的斜率之积为，得，
即，结合，即，解得，
故C的方程为；
【小问2详解】
设，则的周长为，
故，则，
当轴时，；
当l不与x轴垂直时，设，
联立y=kx−1x24+y23=1，得，
，，
，
故，令，则，
则，由于，故，
令，则上单调递减，
则，
则，
综合上述，的内切圆半径r的取值范围为.