广东省广州市天河区2025届高三上学期模拟数学试卷
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这是一份广东省广州市天河区2025届高三上学期模拟数学试卷,共21页。试卷主要包含了6,去掉1和12后,, 以下说法正确的是等内容,欢迎下载使用。
注意事项:
1.答卷前,考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上,再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若全集,集合,则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集的定义可得,再由并集的定义求解即可.
【详解】解:因为,,
所以,
所以.
故选:A.
2. 已知数据,且满足,若去掉,后组成一组新数据,则新数据与原数据相比,有可能变大的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】根据极差,中位数以及方差的定义即可排除BCD,举反例即可求解A.
【详解】由于,所以原来的极差为,新数据的极差为,故极差变小,
原来和新数据的中位数均为,故中位数不变,
去掉,后,数据波动性变小,故方差变小,
因此可能变大的是平均数,比如,原数据的平均数为6.6,去掉1和12后,
新数据的平均数为,但,故A正确.
故选:A
3. 若,,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由指数函数,对数函数的单调性分别求解不等式,再由充分条件以及必要条件的定义,即可判断.
【详解】因为在上单调递增,
由可得,即,所以,
但无法保证,故不一定成立,充分性不满足;
由可得,所以一定成立,故必要性满足;
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:B
4. 已知为第一象限角,为第四象限角,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正切的差角公式可得,即可结合角的范围,根据同角关系求解.
【详解】因为,,
所以,故,
又是第一象限角,为第四象限角,
故,
因此,
因此,由于,
则,故.
故选:C.
5. 大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位:)可以表示为,其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为,游速为时耗氧量的单位数为,则( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数的运算法则计算即可.
【详解】根据题意可得,,
两式相减得,所以,
所以,所以.
故选:C.
6. 数列中,,,若是数列的前项积,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得,然后求得的表达式,再根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】依题意,,,
所以,所以,
所以
,
函数的开口向下,对称轴为,
所以当或时,取得最大值为.
故选:D
7. 在平面直角坐标系中,以轴非负半轴为始边作角和角,,它们的终边分别与单位圆交于点,,设线段的中点的纵坐标为,若,则角的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意,由点的坐标可得,结合恒等变换公式化简,然后求解三角函数不等式,即可得到结果.
【详解】由题意可得,,
则
,
由可得,即,
解得,
即,
又,则时,.
故选:B
8. 已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是( )
A. (1,+∞)B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过对进行分类讨论,利用导数来判断函数的单调性,再利用函数零点的存在性定理,判断出函数在定义域上的零点,进而得出结果.
【详解】因为,所以
当时,由,解得或,且有,,
当,f′x>0,在区间上单调递增;
当,f′x0,在区间0,+∞上单调递增;
又因为,,,
所以,存在一个负数零点,所以符合题意;
当时,令,解得或,且有,
当,f′x0,在区间上单调递增;
当,f′x0时,;
(2)若x=0是的极大值点,求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;
(2)
【解析】
【分析】(1)令,再求导可得,即可得到在上恒成立,即可证明;
(2)分类讨论可得单调性,分、、、四种情况讨论,判断的单调性,即可确定极值点,从而得解;
【小问1详解】
若,则,令,
则,当时,,即在上恒成立,
所以在上单调递增,即在上单调递增,
所以,
即在上单调递增,所以.
【小问2详解】
由题知,
令,则,
当时,在区间单调递增,
当时,令,解得,
当时,,当时,,
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,
则当时,,
当时,在上单调递减;
当时,在上单调递增;
所以是函数的极小值点,不符合题意;
当时,,且,
当时,在上单调递减;
当时,在上单调递增;
所以是函数的极小值点,不符合题意;
当时,,
则当时,在上单调递增,
所以无极值点,不合题意;
当时,,且;
当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减;
所以是函数的极大值点,符合题意;
综上所述,的取值范围是.
18. 小张参加某项专业能力考试.该考试有,,三类问题,考生可以自行决定三类问题的答题次序,回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答,若回答正确则考试通过,若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答,依此规则,直到三类问题全部答完,仍没有答对,则考试不通过.已知小张能正确回答,,三类问题的概率分别为,,,且每个问题的回答结果相互独立.
(1)若小张按照在先,次之,最后的顺序回答问题,记为小张的累计答题数目,求的分布列;
(2)小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响,请作出判断并说明理由;
(3)设,为使累计答题数目的均值最小,小张应如何安排答题次序?并说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)会,理由见解析 (3)应按的顺序答题,理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据相互独立事件概率计算公式求得分布列.
(2)计算按的顺序、的顺序答题时,累计答题数目的均值,从而作出判断.
(3)计算按的顺序、的顺序、的顺序、的顺序答题时,累计答题数目的均值,从而作出判断.
【小问1详解】
按的顺序答题,的可能取值为,
则,,,
所以的分布列为:
【小问2详解】小张考试通过的概率会受答题次序的影响,理由如下:
若按的顺序答题,设为此时小张的累计答题数目,
由(1)得
.
若按的顺序答题,设为此时小张的累计答题数目,
则,
所以
.
,
由于的值不一定为,所以不一定相等,
所以小张考试通过的概率会受答题次序的影响.
【小问3详解】
应按的顺序答题,理由如下:
设,,
.
根据(2)可知.
若按的顺序答题,设为此时小张的累计答题数目,
同理可得.
若按的顺序答题,设为此时小张的累计答题数目,
同理可得.
,
若按的顺序答题,设为此时小张的累计答题数目,
同理可得.
若按的顺序答题,设为此时小张的累计答题数目,
同理可得.
.
所以累计答题数目的均值最小的,是、、中最小的一个,
,
,
所以,
,
,
所以,
所以最小的是,
所以应按的顺序答题.
【点睛】方法点睛:本题涉及相互独立事件和期望值的计算,考查考生对独立事件概率分布及期望最小化策略的理解与应用.题目包含了分布列的计算、不同答题顺序对结果的影响,以及最优答题顺序的选择,整体具有一定的综合性和策略性.解答过程中使用了差比较法来进行比较,使得结论更具说服力.
19. 如果函数y=f(x),满足:对于任意,,均有(为正整数)成立,则称函数y=f(x)在上具有“级”性质.
(1)判断在区间上是否具有“1级”性质,并说明理由;
(2)若在区间上具有“1级”性质,求的取值范围;
(3)已知函数在定义域上具有“级”性质,求证:对任意,,当时,都有成立.
【答案】(1)具有“1级”性质,利用见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】(1)直接利用定义证明具有“1级”性质;
(2)根据“1级”性质可将问题转化为在1,2单调递增,在1,2单调递减,构造函数,利用导数分别求解其最大值和最小值,即可求解.
(3)由题意可知,将区间进行2024等分,对每一个小区间进行“级”性质的使用,即可利用累加迭代法相加求证.
【小问1详解】
对于函数,由于,所以,故,
函数具有“1级”性质.
【小问2详解】
由于在区间1,2上具有“1级”性质,
不妨设,
所以,故,
进而,且,
故在1,2单调递增,在1,2单调递减,
因此在1,2恒成立,
故在1,2恒成立,
令,
则,
由于均为单调递增函数,因此单调递增,单调递减,
又,故存在,即,,
当单调递减,当单调递增,
故取极大值也是最大值,故,因此,
又在1,2恒成立,故在1,2单调递减,故当时,取最小值,因此,即,
综上可得,
【小问3详解】
由题意可知,,
将区间进行2024等分,记
,,,,,
.
故,得证.
【点睛】方法点睛:对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略:
1、通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;
2、利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时,一般涉及分离参数法,但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况,进行求解,若参变分离不易求解问题,就要考虑利用分类讨论法和放缩法,注意恒成立与存在性问题的区别
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