辽宁省沈阳市第一二0中学2024-2025学年高三上学期第三次质量监测数学试题
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这是一份辽宁省沈阳市第一二0中学2024-2025学年高三上学期第三次质量监测数学试题,共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.若A={x|x24(其中a>0,且a≠1)的最小值是3,则a的取值范围是( )
A. 13y+1x+1
C. 4x+4y>4D. x2+4y2≥45
10.已知数列{anan+1}(n∈N∗)是公比为2的等比数列,且a1=1,则下列结论正确的是( )
A. 若{an}是等比数列,则公比为 2
B. {a2n}是公比为2的等比数列
C. a2n−1=2n−1
D. 若a2=12,则an={2n−12,n为奇数2n2−2,n为偶数
11.若函数f(x)=x3−3x2+ax+b,f(x)与x轴的三个交点依次为A(x1,0),B(x2,0),C(x3,0),且在这三个交点处的切线斜率分别记为k1,k2,k3,则下列说法中正确的是( )
A. a>3
B. 若a=−9,则f(−1,1)+f(3.09)0),若存在x1,x2∈[0,π],使得f(x1)f(x2)=−4,则ω的最小值为______.
14.定义在R上的函数f(x),满足f(x+1)+f(x+3)=f(2024),f(−x)=f(x+2),且f(12)=14,则k=12024k⋅f(k−12)=______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,CA⋅CB=21,且csC=35.
(1)求△ABC的面积;
(2)若b=5时,求边c和角B.
16.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1=2,an+1=Aan+B(其中A≠1,B≠0).
(1)证明:数列{an−B1−A}为等比数列;
(2)若A=2,B=−1,且bn=an−1anan+1,求数列{bn}的前项和为Tn.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x−(a+1)lnx−ax,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥1时,f(x)≥−2a−4恒成立,求a的取值范围.
18.(本小题17分)
已知数列{an}是公差不为零的等差数列,满足a1=1,a4+a5=a9,正项数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=3n−1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)在b1和b2之间插入1个数c11,使b1,c11,b2成等差数列;在b2和b3之间插入2个数c21,c22,使b2,c21,c22,b3成等差数列;…;在bn和bn+1之间插入n个数cn1,cn2,⋯,cnn,使bn,cn1,cn2,⋯,cnn,bn+1成等差数列.
(ⅰ)求cnk;
(ⅱ)求c11+c21+c22+⋯+cn1+cn2+⋯+cnn的值.
19.(本小题17分)
定义:如果函数f(x)在定义域内,存在极大值f(x1)和极小值f(x2),且存在一个常数k,使f(x1)−f(x2)=k(x1−x2)成立,则称函数f(x)为极值可差比函数,常数k称为该函数的极值差比系数.已知函数f(x)=x−1x−alnx.
(1)当a=52时,判断f(x)是否为极值可差比函数,并说明理由;
(2)是否存在a使f(x)的极值差比系数为2−a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(3)若3 22≤a≤52,求f(x)的极值差比系数的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:A={x|x2f(4)=2+lga3≥3,即lga3≥1,解得10时,即(exx− a)(x2−bx+c)≥0恒成立,
设f(x)=exx− a,g(x)=x2−bx+c,
则f′(x)=ex(x−1)x2,
∴f(x)在(0,1)上单减,在(1,+∞)上单增,
且f(1)=e− a12>y>0,
所以|x−1|+|y−1|=1−x+1−y=2−(x+y)=1,A正确;
y+1x+1−yx=xy+x−xy−yx(x+1)=x−yx(x+1)>0,即y+1x+1>yx,B错误;
4x+4y≥2 4x⋅4y=2 4x+y=4,当且仅当x=y时取等号,显然等号无法取得,C正确;
x2+4y2=x2+4(1−x)2=5x2−8x+4,
因为12
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