湖北省市级示范高中智学联盟2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（ ）
A 1B. C. iD.
3. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是的前项和，则等于（ ）
A. 8B. 6C. D. 0
4. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A. 9B. 3C. D.
5. 已知的三个角的对边分别是，若，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若，则的单调递减区间为（ ）
A. 或B.
C. 或D.
8. 如图，底面同心的圆锥高为，A，B在半径为1的底面圆上，C，D在半径为2的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点O到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共三小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 函数的定义域是，则函数的定义域为
C. 不等式的解集为
D. 函数关于点中心对称
10. 在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点在线段上运动（不含端点），则（ ）
A. 存在点使得
B. 四棱锥外接球的表面积为
C. 直线与直线所成角为
D. 当动点到直线的距离最小时，过点作截面交于点，则四棱锥的体积
是
11. 设函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. ，在上单调递减
B. 若且，则
C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数为偶函数，则______.
13. 若为一组从小到大排列数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为__________.
14. 已知，，若关于x不等式在上恒成立，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的前项和.
16. 在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，.
（1）若，求面积的最大值；
（2）若，在边AC的外侧取一点D（点D在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小.
17. 若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面内的射影，OC为平面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角，为OA与OB所成的角，即线面角，为OB与OC所成的角，那么简称为三余弦定理.如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，，，D在上且满足.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）设函数，若存在，对任意，总有成立，求实数的取值范围.
19. 黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观罗田天堂寨，另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁.每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分.假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率.
（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
（2）从游客中随机抽取人，记这人合计得分恰为分的概率为，求；
（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.