重庆市长寿中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附答案）

这是一份重庆市长寿中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了已知两直线，若，则与间的距离为等内容，欢迎下载使用。
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.
答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上．
考试结束后，将答题卷交回．
一．单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1.如图所示，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和点，，使，且已知，，，则线段的长为( )
A. B. C. 或D. 或
2.如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，为底面内的一个动点包括边界，底面，底面，且，则的最小值与最大值分别为( )
A. ，B. ，C. ，D. ，
3.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知两直线，若，则与间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知点，，则以为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，若为坐标原点，表示面积，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，且，，则的渐近线为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示，则

以线段为直径的圆与准线相切；
以为直径的圆经过焦点；
若已知点的横坐标为，且已知点，则直线与该抛物线相切；
，，其中点为坐标原点三点共线；
则以上说法中正确的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 平面
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
10.已知点，，曲线是满足的点的轨迹，，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 若曲线与圆有公共点，则
B. 若，则两曲线交点所在直线的方程为
C. 若，则的取值范围为
D. 若，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得
11.在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则点的轨迹是双曲线
B. 若，则点的轨迹是椭圆
C. 若，则点的轨迹是一条直线
D. 若，则点的轨迹是圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点到直线的距离的取值范围为 ．
13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ．
14.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，，，，，则试用向量表示向量 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分如图，在棱长为的平行六面体中，．
求线段的长度
求直线与直线的夹角的余弦值．
16.本小题15分已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且．
求该抛物线的方程；
为坐标原点，求的面积．
17.本小题15分在平面直角坐标系中，已知，满足的点形成的曲线记为．
求曲线的方程
是直线上的动点，过点作曲线的切线，切点分别为，求切线长的最小值，并求出此时直线的方程．
18.本小题17分若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆．
若圆是集合的包络圆．
(ⅰ)求，满足的关系式
(ⅱ)若，求的取值范围
若集合，的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标若不存在，请说明理由．
19.本小题17分定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．

求直线的方程；
已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．
求证：线段被直线平分；
若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．
数学答案
1-5.CACDB 6-8.DAD
9. 10. 11.
12. 13. 14.【答案】
15.解：如图所示：由图可知
，
因为棱长为，，
因此由题意有
．
如图所示：，
由可知，
所以由题意有
，
，
又，
且可知，不妨设直线与直线的夹角为，
所以，
故直线与直线的夹角的余弦值为．
16.解：抛物线的焦点为，
所以直线的方程为，
由消去得，易得，
所以，
由抛物线定义得，
即，所以，
所以抛物线的方程为
由知，方程，
可化为，
解得，，故，，
所以，．
则面积．
17.解：由，即，得，
化简得，，
即曲线的方程为．
由知曲线为圆，且圆心为，半径当与直线垂直时，
切线长取得最小值．
此时，
所以切线长的最小值为．
由解得
即，所以四边形的外接圆是以为直径的圆的方程，即
，即．
所以直线的方程为，
化简为，即．
18.解：因为圆是集合的包络圆，
所以圆心到直线的距离为，
即，所以．
由，满足及，可得圆与直线有公共点，
所以，解得，故的取值范围是．
设，由题意可知点到直线的距离为与无关的定值，
即为与无关的定值，
所以，，故C，此时，．
所以的方程为，
设，则，即，
假设轴上存在定点，，使得，设，，
则，
所以
解得或．
所以，或，．
19.解：由已知，点在直线上，
又因为直线过原点，
所以所求直线的方程为：．
方法：因为，所以
设，则
两式相减得，
整理得，
即，所以线段的中点在直线上．
所以线段被直线平分．
方法：因为，，
所以设，
由
由根与系数的关系得，于是，
从而，所以线段的中点在直线上，
所以线段被直线平分．
由可知为的中点，而为的中点，
所以．
由解得，设，
由
由，
由根与系数的关系得．
点到直线的距离，
令，，
则，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以的最大值为．