人教版数学八下同步讲练课件18.1 平行四边形 第三课时

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18.1 平行四边形第3课时目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入 平行四边形的性质平行四边形对边平行；平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分；新课精讲探索新知1知识点由两组对边分别平行或相等判定平行四边形 一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.”探索新知 从边看： 方法一：两组对边分别平行的四边形是 平行四边形；(定义法) 数学表达式：如图，∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD 是平行四边形； 方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 数学表达式：如图，∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD 是平行四边形；探索新知要证四边形BFDE 是平行四边形，根据平行四边形的定义可证得DF∥BE，因此可采用判定方法一即定义法证明DE∥FB 即可．例1 如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分∠ADC，交CB 的延长线于点E，BF 平分 ∠ABC，交AD 的延长线于点F. 求证：四边形BFDE 是平行四 边形．导引：探索新知 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB. ∴DF∥BE. ∵DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4. ∵AD∥BC，∴∠1＝∠E. ∴∠E＝∠3. ∴DE∥FB. ∴四边形BFDE 是平行四边形．(两组对边分别平行 的四边形是平行四边形)证明：探索新知 平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础．当题目中出现平行的线段时，往往借助判定方法一来帮助我们对四边形加以判断．探索新知例2 如图，分别以△ABC 的三边为一边，在BC 的同侧 作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角 形ACF，连接DE，EF. 求证：四边形ADEF 是平行四边形．由等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证明四边形ADEF 的两组对边分别相等，最后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定．导引：探索新知∵△ABD、△BCE、△ACF 都为等边三角形，∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，AC＝AF，∠DBA＝60°，∠EBC＝60°.∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA，∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE ≌ △ABC，∴DE＝AC.又∵AC＝AF，∴AF＝DE.同理可证：△ABC ≌ △FEC，∴AB＝FE，∴FE＝AD，∴四边形ADEF 是平行四边形．证明：探索新知 根据等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而通过证明三角形全等得到四边形ADEF 的两组对边分别相等，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证．典题精讲如图，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF. 图中有哪些互相平行的线段？AB∥CD，AD∥BC，CD∥EF，DE∥CF，AB∥EF.解：典题精讲2 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b 为 一组对边长，c，d 为另一组对边长且a 2＋b 2＋c 2＋d 2 ＝2ab＋2cd，则这个四边形是(　　) A．任意四边形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形B探索新知2知识点由两组对角分别相等判定平行四边形几何语言： ∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，∴四边形ABCD 是平行四边形．(如图所示)探索新知例3 如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC，交AD 于点E，DF 平分∠ADC，交BC 于点F，那么四边形BFDE 是平行四边 形吗？为什么？利用平行四边形对角相等的性质可得∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C，然后再依据角平分线的定义和三角形外角的性质证出四边形BFDE 的两组对角分别相等，于是可得出结论．导引：探索新知四边形BFDE 是平行四边形．理由：在▱ABCD 中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C.∵BE平分∠ABC，DF 平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝ ∠ADC，∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE 是平行四边形．解：探索新知 当已知条件出现所要说明的四边形的角时，可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来判定．典题精讲下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是(　　)A．∠A＝∠C，∠B＝∠DB．∠A＝∠B＝∠C＝90°C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°D典题精讲2 下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是(　　) A．AB∥CD，AD＝BC 　B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC 　 D．∠B＝∠C，∠A＝∠DC探索新知3知识点由对角线互相平分判定平行四边形 过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明.思考探索新知如图，在四边形ABCD 中，AC，BD 相交于点O，且OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形. ∵OA=OC，OD=OB, ∠AOD=∠COB， ∴△ AOD ≌ △COB. ∴∠OAD=∠OCB. ∴AD//BC. 同理 AB//DC. ∴四边形ABCD 是平行四边形. 证明：探索新知从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．数学表达式：如图，∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD 是平行四边形．探索新知∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO=CO，BO=DO.∵ AE=CF，∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.又 BO=DO，∴四边形BFDE 是平行四边形.例4 如图， ▱ ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O， E，F 是AC上的两点，并且AE=CF. 求证：四边形BFDE 是平行四边形.证明：探索新知 从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第二条对角线的中点.典题精讲如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，E，F 分别是OA，OC 的中点. 求证BE＝DF.因为四边形ABCD 是平行四边形，所以BO＝DO，OA＝OC.因为E，F 分别是OA，OC 的中点，所以OE＝ OA＝ OC＝OF.又因为∠BOE＝∠DOF，所以△BOE ≌ △DOF，所以BE＝DF.解：典题精讲如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件__________(只添一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形．BO＝DO探索新知4知识点由一组对边平行且相等判定平行四边形我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？我们猜想这个结论正确，下面进行证明.思考探索新知如图，在四边形ABCD 中， AB//CD，且AB=CD.求证：四边形ABCD 是平行四边形. 连接AC， ∵AB//CD， ∴∠1=∠2. 又AB=CD，AC=CA. ∴△ ABC ≌ △CDA. ∴BC=DA. ∴四边形ABCD 两组对边分别相等，它是平行四边形. 证明：探索新知于是我们又得到平行四边形的一个判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；数学表达式：如图，∵AB CD，∴四边形ABCD是平行四边形．探索新知∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD，EB//FD.又EB= AB，FD = CD，∴ EB=FD.∴四边形EBFD 是平行四边形.例5 如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点. 求证：四边形EBFD 是平行四边形.证明：探索新知要证四边形是平行四边形，已知有一组对边平行，联想的思路有两种：一是证明另一组对边平行；二是证明平行的这组对边相等．而证明边相等要三角形全等这条思路较常见．典题精讲为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了. 你能说出其中的道理吗？因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以铁轨和夹在铁轨之间的枕木构成了平行四边形，因此可知两条直铺的铁轨是互相平行的．解：典题精讲如图，在▱ ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A，C 两点分别作AE丄BD， CF丄BD，E，F 为垂足. 求证：四边形AFGE 是平行四边形.典题精讲因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD，所以∠CDB＝∠ABD.又因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以∠AEB＝∠CFD＝90°，所以AE∥CF.在△ABE 和△CDF 中，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∠AEB＝∠CFD，所以△ABE ≌ △CDF，所以AE＝CF.又因为AE∥CF，所以四边形AFCE 是平行四边形．解：典题精讲3 下列说法错误的是(　　) A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形D4下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是(　　)　A．AB∥CD，AD∥BC B．∠A＝∠C，∠B＝∠DC．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BCD易错提醒已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于O，E，F 是对角线上的两点，给出下列四个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有(　　)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个B易错点：混淆平行四边形的判定方法导致判断错误.易错提醒给出条件①OE＝OF，由题易知OD＝OB，∴四边形DEBF 为平行四边形，故①正确；给出条件③∠ADE＝∠CBF，由题易知∠DAE＝∠BCF，AD＝BC，∴△ADE ≌ △CBF，∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC，∴∠DEO＝∠BFO，∴DE∥BF，∴四边形DEBF为平行四边形，故③正确；给出条件④，理由同③，亦可判定四边形DEBF 为平行四边形；只有给出条件②无法判定四边形DEBF 为平行四边形．故选B. 本题易错选A.学以致用小试牛刀小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是(　　)A．①② B．①④ C．③④ D．②③1D小试牛刀如图，线段AB，CD 相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成________个平行四边形．24小试牛刀3如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，要使四边形ABCD 是平行四边形，可添加的条件不正确的是(　　)A．AB＝CD B．BC＝ADC．∠A＝∠C D．BC∥ADB小试牛刀4如图，在▱ABCD 中，点E，F 分别在AD，BC上，若要使四边形AFCE 是平行四边形，可以添加的条件是(　　)①AF＝CF；②AE＝CE；③BF＝DE；④AF∥CE.A．①或②　 B．②或③C．③或④　 D．①或③C小试牛刀如图，点B，E 分别在AC，DF 上，AF 分别交BD，CE 于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2. (1)求证：四边形BCED 是平行四边形； (2)已知DE＝2，连接BN，若BN 平分∠DBC，求CN 的长．小试牛刀(1)证明：∵∠A＝∠F，∴DF∥AC. 又∵∠1＝∠2，∠1＝∠DMF， ∴∠2＝∠DMF. ∴DB∥EC. ∴四边形BCED是平行四边形．(2)解：∵BN 平分∠DBC， ∴∠DBN＝∠NBC. ∵DB∥EC，∴∠BNC＝∠DBN. ∴∠BNC＝∠NBC. ∴BC＝CN. ∵四边形BCED 是平行四边形， ∴BC＝DE＝2. ∴CN＝2.小试牛刀如图，在▱ABCD 中，点E，F 在对角线AC上， 且AE＝CF. 求证： (1)DE＝BF； (2)四边形DEBF 是平行四边形．小试牛刀(1)∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴AD∥CB，AD＝CB. ∴∠DAE＝∠BCF. 在△ADE 和△CBF 中， ∴△ADE ≌ △CBF. ∴DE＝BF.(2)如图，连接BD，交AC 于点O， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AE＝CF，∴OE＝OF. ∴四边形DEBF 是平行四边形．证明：小试牛刀如图，以BC 为底边的等腰△ABC，点D，E，G 分别在BC， AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE 至点F，使得BF＝BE. (1)求证：四边形BDEF 为平行四边形； (2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F 两点间的距离．小试牛刀(1) ∵△ABC 是等腰三角形， ∴∠ABC＝∠C. ∵EG∥BC，DE∥AC， ∴∠AEG＝∠ABC＝∠C， 四边形CDEG 是平行四边形． ∴∠DEG＝∠C. ∵BE＝BF， ∴∠BEF＝∠F＝∠AEG＝∠ABC. ∴∠F＝∠DEG. ∴BF∥DE. ∴四边形BDEF 为平行四边形．证明：小试牛刀(2)∵∠C＝45°， ∴∠BDE＝∠ABC＝∠BEF＝∠BFE＝45°. ∴△BDE、△BEF 是等腰直角三角形． ∵BD＝2，∴BF＝BE＝ . 作FM⊥BD 交DB 的延长线于M，连接DF， 如图所示． 易得△BFM 是等腰直角三角形， ∴FM＝BM＝1.∴DM＝3. 在Rt△DFM 中， 由勾股定理得DF＝ ， 即D，F 两点间的距离为 .解：小试牛刀如图，已知点E，C 在线段BF 上，BE＝EC＝CF， AB∥DE，∠ACB＝∠F. (1)求证：△ABC ≌ △DEF； (2)试判断四边形AECD 的形状，并证明你的结论．小试牛刀(1) ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF. ∵BE＝EC＝CF，∴BC＝EF. 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC ≌ △DEF.证明：小试牛刀(2) 四边形AECD 是平行四边形． 证明：∵△ABC ≌ △DEF， ∴AC＝DF. ∵∠ACB＝∠F，∴AC∥DF. ∴四边形ACFD 是平行四边形． ∴AD∥CF，AD＝CF. ∵EC＝CF，∴AD＝EC. 又∵AD∥EC， ∴四边形AECD 是平行四边形．解：课堂小结课堂小结平行四边形的判定方法:(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．同学们，下节课见！