（杭州专用）数学九年级上册期末常考题精选2（2份，原卷版+解析版）

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本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试试卷120分钟。
答题前，必须在答题卡上填写校名，班级，姓名，座位号。
不允许使用计算器进行计算，凡题目中没有要求取近似值的，结果应保留根号或
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．(本题3分)（2020·浙江杭州·九年级期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．太阳从西方升起B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是
【答案】D
【分析】
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【详解】
解：A、太阳从西方升起，是不可能事件，故不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，故不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，故不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．
2．(本题3分)（2021·浙江·杭州市公益中学九年级期中）二次函数y＝（x＋2）2﹣1的顶点是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【答案】C
【分析】
因为顶点式y＝a（x−h）2＋k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y＝（x＋2）2−1的顶点坐标即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝（x＋2）2−1是顶点式，
∴顶点坐标为（−2，−1），
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，注意：顶点式y＝a（x−h）2＋k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．
3．(本题3分)（2021·浙江杭州·九年级期末）二次函数的图象上有两点，则的值是（ ）
A．负数B．零C．正数D．不能确定
【答案】B
【分析】
直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y1，y2的值即可.
【详解】
∵二次函数y=−(x−2)2+a 的图象上有两点(-1，y1)，(5， y2)，
y1 =-(-1-2)2 +a，
y2 = (5-2)2+a，
∴y1-y2=-(-1-2)2+a+ (5-2)2-a=-×9+×9=0，
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，包括图像上点的坐标特点，比较函数值的大小，熟悉并灵活运用二次函数的图像和性质是解题的关键.
4．(本题3分)（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）用一把剪刀将一张直角三角形纸片剪成两个三角形，则这两个三角形一定不会是（ ）
A．两个相似三角形B．两个等腰三角形
C．两个锐角三角形D．两个周长相等的三角形
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定和等腰三角形的判定与性质，利用排除法进行解答．
【详解】
解：当该直角三角形是等腰直角三角形时，沿斜边的中线剪成的两个三角形都是等腰直角三角形，且它们既相似，又全等，且两个三角形的周长相等．
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和等腰三角形的判定与性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
5．(本题3分)（2020·浙江杭州·九年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦B．圆内接四边形的对角互补
C．任意三角形都有一个外接圆D．正n边形的中心角等于
【答案】A
【分析】
根据垂径定理、圆内接四边形的性质、正多边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】
解：A、∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
∴选项A符合题意；
B、∵圆内接四边形的对角互补，
∴选项B不符合题意；
C、∵任意三角形都有一个外接圆，
∴选项C不符合题意；
D、∵正n边形的中心角等于，
∴选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、圆内接四边形的性质等知识；熟记有关性质是解题的关键．
6．(本题3分)（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝，∠CBA＝15°，则AB的长是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】B
【分析】
过点O作交于点E，连接OC，则，由题意得，根据圆周角的推论得，根据角平分线得，则，设OE=x，则OC=2x，在中，由勾股定理得，解得，则OC=2，即．
【详解】
解：过点O作交于点E，连接OC，
则，
∵，，
∴，
∵AB是的直径，
∴，
∵CD平分，
∴，
∴，
设OE=x，则OC=2x，
在中，由勾股定理得，
解得，（舍），
∴OC=2，
∴，
故选B．
【点晴】
本题考查了角平分线，圆周角的推论，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
7．(本题3分)（2020·浙江杭州·九年级期末）一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字、，得到一个点，则既在直线上，又在双曲线上的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先根据题意列出表格，然后根据表格求得所有等可能的情况与点P既在直线y=-x+6上，又在双曲线上的情况，再利用概率公式求解，即可求得答案．
【详解】
列表得：
∵共36种等可能的结果，点P既在直线y=−x+6上，又在双曲线上的有：(2，4)，(4，2)，
∴点P既在直线y=−x+6上，又在双曲线上的概率为：．
故选C．
【点睛】
本题主要考查随机事件的概率，反比例函数图象上的点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，掌握列表法求随机事件的概率，是解题的关键．
8．(本题3分)（2021·浙江·杭州市公益中学九年级期中）已知二次函数y＝(s﹣1)x2+(t﹣6)x+1，当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则st的最大为（ ）
A．4B．6C．8D．
【答案】C
【分析】
由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的s，t的取值范围，将st转化为含一个未知数的整式求最值．
【详解】
解：抛物线y＝(s﹣1)x2+(t﹣6)x+1，的对称轴为直线x＝，
①当s＞1时，抛物线开口向上，
∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴≥2，即2s+t≤8．
解得t≤8﹣2s，
∴st≤s(8﹣2s)，
∵s(8﹣2s)＝﹣2(s﹣2)2+8，
∴st≤8．
②当0≤s＜1时，抛物线开口向下，
∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴≤1，即s+t≤7，
解得s≤7﹣t，
∴st≤t(7﹣t)，
t(7﹣t)＝﹣(t﹣)2+，
当s＝t＝时，st有最大值，
∵0≤s＜1，
∴此情况不存在．
综上所述，st最大值为8．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于能够根据题意把st转换成关于t的二次函数求最值．
9．(本题3分)（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，在中，点D，E，F分别在边上，且．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件得到，根据相似三角形的性质得到，，根据图形面积的和差得到，于是得到结论．
【详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10．(本题3分)（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，．已知于点，．下列结论：①；②；③若，则；④若点为的中点，则．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．③④D．②④
【答案】B
【分析】
证明AC2+BC2=AB2=4即可判断①；根据OD⊥AC，得到∠DAE+∠ADO=90°，根据∠DAE=∠DBC，即可判断②；推出△AOD是等边三角形，即可判断③；利用全等三角形的性质证明DE=BC，再利用三角形的中位线定理证明BC=2OE即可判断④．
【详解】
解：∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，
∴AC2+BC2=AB2=4，
由已知条件无法得到AD与BC之间的大小关系，
故无法得到与4的大小关系，故①错误；
∵OD⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE+∠ADO=90°，
∵∠DAE=∠DBC，
∴∠DBC+∠ADO=90°，故②正确；
∵AE⊥OE，
∴，
∵AC=BD，
∴，
∴，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∵AE⊥OD
∴DE=OE，故③正确，
∵∠DEP=∠BCP=90°，DP=PB，∠DPE=∠BPC，
∴△PDE≌△PBC（AAS），
∴DE=BC，
∵OE∥BC，AO=OB，
∴AE=EC，
∴BC=2OE，
∴DE=2OE，故④正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．(本题4分)（2020·浙江西湖·九年级期末）已知点E是线段AB的黄金分割点,且，若AB=2则BE=__________.
【答案】
【分析】
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；
【详解】
解：∵点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE，
∴BE=AB，
而AB=2，
∴BE=；
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.
12．(本题4分)（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为 ___．
【答案】y=-(x+2)2+1
【分析】
直接利用函数图像的平移规律"上加下减，左加右减”进行解答即可．
【详解】
解：将二次函数y=-x2的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，根据“上加下减，左加右减”的原则可得新函数的关系式为y=-(x+2)2+1.
故答案为：y=-(x+2)2+1
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象的平移变换，掌握函数图象平移的法则是解答本题的关键．
13．(本题4分)（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为 ______．
【答案】π+1
【分析】
根据弧长的计算公式求得和半圆的周长即可得到结论．
【详解】
解：∵扇形OAB中，∠AOB＝90°，AO＝1，
∴阴影部分的周长＝×π++1＝π+1，
故答案为：π+1．
【点评】
本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
14．(本题4分)（2021·浙江杭州·九年级月考）把大小和形状完全相同的4张卡片分成两组，每组2张，分别标上1，2，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张，则取出的两张卡片数字之和为奇数的概率＝___．
【答案】
【分析】
依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】
解：画树状图得：
由上图可知，所有等可能结果共有4种，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有2种．
（取出的两张卡片数字之和为奇数），
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法，解题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．
15．(本题4分)（2021·浙江浙江·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中为负数，且满足，设函数、和的图象与轴的交点个数分别为、和，当时，则下列说法正确的是_______．
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则；
【答案】①③
【分析】
利用二次函数与一元二次方程的关系和判别式的性质逐项判断即可．
【详解】
解：①∵，
∴a2-4=0，b2-8＜0，
∵为负数，
∴a=-2，
∵，
∴c=b，
对于，
则有△=c2-16=b2-16=（b2-8）-140，
∵为负数，
∴a=-2，
∵，
∴c=b，
对于，
则有△=c2-16=b2-16=（b2-8）-14
∴无法判断的值，
∴②错误，
③∵，
∴a2-4=0，b2-8=0，
∴b2=8
∵为负数，
∴a=-2，
∵，
∴c=b，
对于，
则有△=c2-16=b2-16=-140，
∵为负数，
∴a=-2，
∵，
∴c=b，
对于，
则有△=c2-16=b2-16=（b2-8）-14
∴无法判断的值，
∴④错误，
∴说法正确的是①③
故答案为：①③
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．(本题4分)（2020·浙江杭州·九年级期末）正方形中，，已知，则图中阴影部分的面积为____．
【答案】
【分析】
易得，所以，由得，过作于，根据勾股定理得，因为，所以，知，所以，再求得与三角形△的面积相加即可．
【详解】
解：将平移到处，则，．
将平移到处，则，．
，
，
在与中，
，
，
则，
；
四边形是正方形，
，
，
，
过作于，
根据勾股定理得，
，
，
，
．
，，
阴影部分面积为．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了三角形的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大．
三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本题6分)（2021·浙江·温州市教育教学研究院一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是．
（1）求点A，点C的坐标．
（2）平移该二次函数的图象，使点D刚好移在点的位置上，求平移后所对应的二次函数的表达式．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据点B坐标求出a值，得到抛物线表达式，再结合抛物线的性质求解；
（2）根据平移后的坐标得到平移方式，从而可得抛物线表达式．
【详解】
解：（1）把代入，得，
解得a=1，
∴，
∴，
∵对称轴为直线x=-3，B，C关于x=-3对称，
∴．
（2）∵，
∴点D平移到点，抛物线向右平移3个单位，
可得抛物线的解析式为．
【点睛】
本题考查了求二次函数表达式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握基本知识．
18．(本题8分)（2020·浙江杭州·九年级期末）一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有3个红球，2个白球．
（1）从中随意摸出一个球，这个球是红球的概率．
（2）若摸出一个球，不放回，再摸一个球，求摸出一红一白的概率；（用树状图或列表法求解）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出摸出一个红球和一个白球的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
解：（1），
∴摸出一个球是红球的概率是：；
（2）3个红球记作A、B、C，2个白球记作a、b，
画树状图如下：
共20种等可能情况，其中一红一白的情况有12种，
故摸出一红一白的概率为．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．(本题8分)（2019·浙江杭州·二模）如图，D为△ABC边AC上一点.
（1）要使得△ABD与△ACB相似，请添加一个条件并证明.
（2）若△ABD∽△ACB，且AB=6，AD=，求CD的长.
【答案】（1）∠ABD=∠ACB（答案不唯一）；证明见解析 （2）
【分析】
（1）添加∠ABD=∠ACB，利用两角对应相等的两三角形相似证明即可；
（2）利用相似三角形的性质进行求解出AC的长，再用AC-AD即可求出CD的长．
【详解】
（1）添加∠ABD=∠ACB，
证明：∵∠BAD=∠CAB，∠ABD=∠ACB，
∴△ABD∽△ACB；
（2）∵△ABD∽△ACB，
∴，
∴,
∵AB=6，AD=，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和相似三角形的性质是解决本题的关键．
20．(本题10分)（2019·浙江杭州·九年级期末）如图，已知．
（1）尺规作图作的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)：
（2）是等腰三角形，且腰，底边，求圆的半径．
【答案】（1）图见解析；（2）圆的半径为．
【分析】
（1）先根据三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点确定圆心O，再以为半径画圆即可得；
（2）如图2（见解析），连接AO，并延长交BC于点D，则点D为BC的中点，在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
（1）三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点，三角形三边垂直平分线必交于一点
则先作出AB、BC的垂直平分线，交于点O，即为三角形外接圆的圆心；再以为半径画圆即可得，作图结果如图1所示：
（2）如图2，连接AO，并延长交BC于点D
由等腰三角形的三线合一性和三角形外接圆的性质得：AD为底边BC的中线和高线
则
在中，，即
解得
因此，圆的半径为．
【点睛】
本题考查了圆的尺规作图、三角形外接圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握三角形外接圆的性质是解题关键．
21．(本题10分)（2021·浙江·翠苑中学二模）如图，在矩形中，是上一点，，作．
（1）求证：；
（2）连结，若与相似，求．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据矩形的性质得出，求出，，求出，，再根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据矩形的性质得出，，根据平行线的性质得出，设，根据等腰三角形的性质求出，根据相似三角形的性质得出两种情况：①，根据得出，求出，再解直角三角形求出和，再求出答案即可；②，设，求出，，求出，再得出答案即可．
【详解】
解：（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
在和中
，
；
（2）四边形是矩形，
，，
，
设，
，
，
当与相似时，有两种情况：
①，
，
，
解得：，
即，
，
，由勾股定理得：，
，
；
②，
设，
，
则，
在中，，
即，
解得：，
即，
此时点和点重合，不存在，舍去；
∴．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
22．(本题12分)（2021·浙江·翠苑中学二模）已知二次函数，其中．
（1）当时，求二次函数顶点坐标；
（2）当时，记二次函数的最小值为，求证：；
（3）当时，且满足时，函数有最大值为3，求的值．
【答案】（1）（0，1）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）将代入解析式，然后将二次函数解析式化为顶点式求解；
（2）将二次函数化为一般式，然后分析其顶点纵坐标的非正性；
（3）结合二次函数的增减性及顶点坐标求解．
【详解】
解：（1）当时，，
二次函数的顶点坐标为；
（2），
，
二次函数有最小值，
（3）由（2）可知，当时，抛物线开口向上且的最小值，
又对称轴为直线，
当对称轴位于轴左侧时，当时，函数有最大值为3，
当对称轴位于轴右侧时，当时，函数有最大值为3，
即或，
解得：．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的图像性质，利用数形结合思想解题是关键．
23．(本题12分)（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，在锐角三角形ABC中，，是的外接圆，连结AO，BO，延长BO交AC于点D．
（1）求证：AO平分；
（2）若的半径为5，，设的面积为，的面积为，求的值；
（3）若，求的值（用含m的代数表示）．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）过点O作于点M，作于点N，证Rt△AOM≌Rt△AON，即可；
（2）过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接OC，易证，列比例式求出OD、AB长，再表示面积即可；
（3）延长BD交圆于点E，连接CE,求∠BEC的余弦值即可．
【详解】
解：（1）如图，过点O作于点M，作于点N．
∴AM=AB，AN=AC，
，
∴AM=AN,
∵OA=OA，
∴Rt△AOM≌Rt△AON，
，
平分．

（2）过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接OC，
由（1）可知，，
，
∴∠OBA=∠OAB，
AO平分，
∴∠OAD=∠OAB，
∴∠OAD=∠OBA，
∵∠ADO=∠BDA
∴，
，
解得，
∵，
∴，
，
，
CD=1.5，
∵ON∥BH，
∴，BH=ON，
，
，
．
（3）延长BD交圆于点E，连接CE,
设，
，
， ，
∵∠ACE=∠ABO,
由（2）得，∠OAD=∠OBA，
∴∠ACE=∠DAO,
∴OA∥CE，
∴，
，
CE=，
∵∠BAC=∠BEC，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角的性质、相似三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解题关键是综合知识的梳理，合理恰当的作辅助线，构建相似三角形．
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)