（沪教版）八年级数学上册期末专题复习10 压轴题精讲-正反比例函数几何综合（2份，原卷版+解析版）

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题型一：正反比例函数与线段
1．（2021秋•虹口区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形．
（1）在y轴正半轴取一点E，使得△EOB是一个等腰直角三角形，EB与OA交于M，已知MB＝3，求MO．
（2）若等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）
【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）过M作MH⊥x轴交x轴于点H，利用勾股定理得出OM与OH的关系，再计算出OH和OM即可；
（2）过C作CF⊥x轴交x轴于点F，过D作DG⊥x轴交x轴于点G，OF＝a，分别用a的代数式表示出C点和D点的坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
【解答】解：（1）如下图，过M作MH⊥x轴交x轴于点H，
设OH＝m，∵∠EOB＝90°，△EOB是一个等腰直角三角形，
∴EO＝BO，∠EBO＝45°，
∴直角△MHB也是等腰直角三角形，即MH＝BH，
∵MH2+BH2＝BM2，即2MH2＝（）2＝18，解得：MH＝3，
又∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠OMH＝30°，
∴OM＝2OH＝2m，
在Rt△MOH中，MH2+OH2＝OM2，即：9+m2＝4m2，
解得：，（舍）
∴；
（2）如下图，过C作CF⊥x轴交x轴于点F，过D作DG⊥x轴交x轴于点G，
设OF＝a，
∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝∠ABO＝60°，∴∠OCF＝∠BDG＝30°，
∴OC＝2OF＝2a，BD＝2BG，
∵OC＝3BD，∴，∴，∴，
在Rt△COF中，，
在Rt△DBG中，，
∴，，
∵点C和点D在y=(k≠0)上，则：，解得：，
∴反比例函数解析式为．
【点评】本题主要考查反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．
2．（2020秋•浦东新区校级期末）已知点P（m，4）在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经
过点P和点Q（6，n）．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）求P、Q两点之间的距离．
（3）如果点M在y轴上，且MP＝MQ，求点M的坐标．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）根据反比例函数解析式求得P的坐标，然后利用待定系数法即可求得正比例函数的解析式；
（2）求出Q点坐标，利用勾股定理即可解决问题；
（3）由MP＝MQ推点M在PQ的垂直平分线上，再利用勾股定理即可求出点M的坐标．
【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），
∵点P（m，4）在反比例函数的图象上，
∴﹣＝4，解得m＝﹣3，
∴P的坐标为（﹣3，4），
∵正比例函数图象经过点P，∴﹣3k＝4，解得k＝﹣，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣x；
（2）∵正比例函数图象经过点Q（6，n），∴n＝﹣×6＝﹣8，
∴点Q（6，﹣8），∴P、Q两点之间的距离＝＝15．
（3）作PQ的垂直平分线交y轴于点M，设M（0，y），
∵P（﹣3，4），Q（6，﹣8），∴N（，﹣2），
∵PQ＝15，∴NQ＝，
∵MQ2＝MN2+NQ2
∴62+（﹣8﹣y）2＝（﹣）2+（y+2）2+（）2，
解得y＝﹣，
∴点M的坐标为（0，﹣）．
【点评】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，勾股定理、坐标与图形性质，找到M点的位置是做题关键．
3．（2020秋•虹口区期末）如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝（k＞0）交于A，B两点，且点A的
坐标为（4，2）．
（1）求a和k的值；
（2）求点B的坐标；
（3）y轴上有一点C，联结BC，如果线段BC的垂直平分线恰好经过点A，求点C的坐标．
【考点】反比例函数综合题．版权
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得a和k的值；
（2）联立直线和双曲线解析式，即可得到点B坐标；
（3）由垂直平分线的性质可知AC＝AB，利用两点间距离公式建立等式，求解即可．
【解答】解：（1）直线y＝ax（a＞0）过点A（4，2），∴4a＝2，∴a＝，
∵双曲线y＝（k＞0）过点A，∴k＝2×4＝8．
∴a＝，k＝8．
（2）令x＝，解得x＝±4，∴当x＝﹣4时，y＝﹣2，
∴B（﹣4，﹣2）．
（3）设点C（0，y），
由点A，B，C的坐标可知，AB＝4，AC＝，
∵线段BC的垂直平分线恰好经过点A，
∴AB＝AC，即4＝，
解得y＝﹣6，或y＝10．
∴C（0，﹣6）或（0，10）．
【点评】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得C的坐标是解题的关键．
题型二：正反比例函数与等腰、直角三角形
1．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A
（4，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．
【考点】反比例函数综合题
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据一次函数解析式求出A点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）若使△AOP是等腰三角形，分OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP三种情况讨论分别求出P点的坐标即可．
【解答】解：（1）∵A点是一次函数和反比例函数图象的交点，∴m＝×4，
解得m＝2，即A（4，2），
把A点坐标代入反比例函数得，2＝，解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）设P点的坐标为（n，0），
若使△AOP是等腰三角形，分以下三种情况：
当OA＝OP时，
由（1）知，A（4，2），∴n＝＝2，
即P（2，0）；
②当OA＝AP时，作AH⊥OP于H，
∵A（4，2），∴OH＝4，
∵OA＝AP，∴OP＝2OH＝2×4＝8，
即P（8，0）；
当OP＝AP时，
∵A（4，2），∴n＝，即n2＝（4﹣n）2+22，
解得n＝，即P（，0），
综上，符合条件的P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0）．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式以及分类讨论思想是解题的关键．
2．（2021秋•松江区期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数y＝x的图象与一个反比例函数图象
在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB＝3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【考点】反比例函数综合题
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）将y＝3代入y＝x，得x＝，可得A（，3），再将点A代入反比例函数的解析式为y＝，即可得出答案；
（2）根据点A的坐标，可知∠OAB＝30°，过点C作CG⊥OA于G，由题意得CB＝CG，分点C在AB上或AB的延长线上，分别根据含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（3）由OA＝2，分AO＝AP，OA＝OP，PA＝PO三种情形，分别得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝3，∴点A的纵坐标为3，
∵正比例函数y＝x的图象经过点A，
当y＝3时，x＝，∴A（，3），
设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
将点A（，3）代入得k＝3，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）∵AB⊥x轴于点B，设点C的坐标为（，y），
在Rt△ABO中，OB＝，AB＝3，由勾股定理得：OA＝＝2，
∵OB＝，∴∠OAB＝30°，
过点C作CG⊥OA于G，
由题意得CB＝CG，当点C在AB上时，则OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝30°，∴BC＝＝1，∴C（，1），
当点C在AB延长线上时，同理可得C'（，﹣3），
综上所述：C（，1）或（，﹣3）；
（3）当AO＝AP＝2时，则P（，3﹣2）或（，3+2），
当OA＝OP时，由OB⊥AP得，AB＝BP，∴P（，﹣3），
当PA＝PO时，∴∠OAP＝∠POA＝30°，
则OP平分∠AOB，∴P（，1），
综上所述：P（，3﹣2）或（，3+2）或（，﹣3）或（，1）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含30°角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
3．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，已知直线OA与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交
于点A．若OA＝4，直线OA与x轴的夹角为60°．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
（3）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于E，
∵∠AOE＝60°，AE⊥OE，∴∠OAE＝30°，
∴OE＝OA＝2，AE＝OE＝2，∴点A（2，2）；
（2）∵反比例函数的图象过点A，∴m＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y＝；
（3）如图，
当点P1在y轴上时，且∠AP1O＝90°，
又∵∠AOP1＝30°，∴AP1＝2，OP1＝AP1＝2，
∴点P1（0，2）；
当点P2在x轴上，且∠AP2O＝90°，
又∵∠OAP2＝30°，∴OP2＝2，∴点P2（2，0）；
当点P3在y轴上，且∠P3AO＝90°，
又∵∠AOP3＝30°，∴OP3＝2AP3，AO＝AP3＝4，∴OP3＝，
∴点P3（0，）；
当点P4在x轴上，且∠P4AO＝90°，
∵∠AOP4＝60°，∴∠AP4O＝30°，∴OP4＝2OA＝8，
∴点P4（8，0）；
综上所述：点P的坐标为（0，2）或（2，0）或（0，）或（8，0）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，直角三角形的性质，反比例函数的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
题型三：正反比例函数与面积
1．（2021秋•嘉定区期末）已知反比例函数与正比例函数相交于点A，点A的坐标是（1，m）．
（1）求此正比例函数解析式；
（2）若正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内相交于点B，过点A和点B分别作x轴的垂线，分别交x轴于点C和点D，AC和OB相交于点P，求梯形PCDB的面积；
（3）连接AB，求△AOB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】函数的综合应用；应用意识．
【分析】（1）先求出A（1，4），再把A（1，4）代入正比例函数y＝kx，即可求解；
（2）先求出点B（4，1），可得C（1，0），D（4，0），P（1，），再由S梯形PCDB＝（PC+BD）•CD，即可求解；
（3）根据反比例函数比例系数的几何意义可得S△AOC＝S△OBD，从而得到S△AOB＝S梯形ACDB，即可求解．
【解答】（1）解：∵反比例函数过点A（1，m），
∴m＝4，即A（1，4），
把A（1，4）代入正比例函数y＝kx得：k＝4，
即正比例函数解析式为y＝4x；
（2）解：如图，
联立得：，解得：x＝±4，
∵点B在一象限，∴B（4，1），
∵过点A和点B分别做x轴的垂线，分别交x轴于点C和点D，
∴C（1，0），D（4，0），
对于，当x＝1时，，∴点P（1，），
∴PC=，BD＝1，CD＝3，
∴S梯形PCDB＝（PC+BD）•CD＝×（+1）×3＝，
（3）解：∵点A和点B在反比例函数图象上，∴S△AOC＝S△OBD，
∵S△AOB＝S△AOC+S梯形ACDB﹣S△OBD，
∴S△AOB＝S梯形ACBD＝（AC+BD）•CD＝×（1+4）×3＝．
【点评】本题考查平面直角坐标系中的几何图形的面积，反比例函数的图象和性质，掌握把点坐标转化为平面直角坐标系中的线段长度，结合割补法和反比例函数的几何意义求几何图形的面积是解题关键．
2．（2021秋•徐汇区期末）在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0，k＞0）图象上的两点（n，3n）、
（n+1，2n）．
（1）求n的值；
（2）如图，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A在反比例函数（x＞0，k＞0）的图象上，过点A作AB⊥l于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥BC于点D，记△BOC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1﹣S2的值．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；正比例函数的图象
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到n•3n＝（n+1）•2n，然后解方程可得n的值；
（2）设B（m，m），利用△OBC为等腰直角三角形得到∠OBC＝45°，再证明△ABD为等腰直角三角形，则可设BD＝AD＝t，所以A（m+t，m﹣t），把A（m+t，m﹣t）代入y＝中得到m2﹣t2＝12，然后利用整体代入的方法计算S1﹣S2．
【解答】解：（1）∵反比例函数（x＞0，k＞0）图象上的两点（n，3n）、（n+1，2n）．
∴n•3n＝（n+1）•2n，解得n＝2或n＝0（舍去），
∴n的值为2；
（2）反比例函数解析式为y＝，
设B（m，m），∵OC＝BC＝m，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，
∵AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∴∠ABC＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，
设BD＝AD＝t，则A（m+t，m﹣t），
∵A（m+t，m﹣t）在反比例函数解析式为y＝上，
∴（m+t）（m﹣t）＝12，
∴m2﹣t2＝12，
∴S1﹣S2＝m2﹣t2＝×12＝6．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
3．（2020秋•宝山区校级期末）如图，已知点P（m，4）在反比例函数y=的图象上，正比例函数的图象
经过点P和点Q（6，n）．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）在x轴上求一点M，使△MPQ的面积等于18．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】分类讨论；一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），把点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，从而得到点P的坐标，然后代入正比例函数解析式求解即可；
（2）把点Q的坐标代入正比例函数解析式求出n，根据S△MPQ＝S△QOM﹣S△POM，列式求出OM的长，再分点M在原点的左侧与右侧两种情况讨论求解．
【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），
∵点P（m，4）在反比例函数y=的图象上，∴＝4，
解得m＝3，∴P的坐标为（3，4），
∵正比例函数图象经过点P，∴3k＝4，
解得k＝，
∴正比例函数的解析式为y＝x；
（2）∵正比例函数图象经过点Q（6，n），
∴n＝×6＝8，∴点Q（6，8），
∴S△MPQ＝S△QOM﹣S△POM＝OM•8﹣OM•4＝2OM，
∵△MPQ的面积等于18，∴2OM＝18，解得OM＝9，
点M在原点左边时，点M（﹣9，0），
点M在原点右边时，点M（9，0），
综上所述，点M的坐标为（﹣9，0）或（9，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，（2）利用两个三角形的差表示出△MPQ的面积是解题的关键，也是本题的难点，注意要分情况讨论．
【课后练习】
1．（2020秋•闵行区期末）如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数图象与直线y＝2x相交于点A，且点A
的横坐标为2．点B在该反比例函数的图象上，且点B的纵坐标为1，联结AB．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠OAB的度数；
（3）联结OB，求点A到直线OB的距离．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；几何直观；应用意识．
【分析】（1）求出A的坐标，反比例函数的解析式为，用待定系数法即可得答案；
（2）求出B的坐标，用勾股定理逆定理可得答案；
（3）由等面积法即可求出点A到直线OB的距离．
【解答】解：（1）在y＝2x中，令x＝2得y＝4，∴A（2，4），
设反比例函数的解析式为，将A（2，4）代入得：4＝，∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）连接OB，如图：
∵点B在反比例函数y＝的图象上，且点B的纵坐标为1，∴B（8，1），
∵A（2，4），
∴OA2＝（2﹣0）2+（4﹣0）2＝20，AB2＝（8﹣2）2+（1﹣4）2＝45，OB2＝（8﹣0）2+（1﹣0）2＝65，
∴OA2+AB2＝65＝OB2，
∴∠OAB＝90°；
（3）由（2）知：OA2＝20，AB2＝45，OB2＝65，
∴OA＝2，AB＝3，OB＝，
设点A到直线OB的距离为h，
∵∠OAB＝90°；∴S△AOB＝OA•AB＝OB•h，
∴h＝，
∴点A到直线OB的距离为．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征、熟练应用勾股定理的逆定理．
2．（2021秋•静安区期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点
B（0，﹣1），并且与x轴、y＝x+1的图象分别交于点C、D；
（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与函数y＝x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是（请直接写出结果）；
（3）在第（1）小题的条件下，在y轴上存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）先求出点D的坐标，再求出BD的解析式，然后根据S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD即可求解；
（2）联立两直线解析式，消去y表示出x，由交点D在第一象限，求出k的范围即可；
（3）分三种情况讨论：①当DP＝DB时，②当BP＝DB时，③当PB＝PD时，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵点D的横坐标为1，点D在y＝x+1的图象上，∴D（1，2），
∵点B（0，﹣1），∴直线BD的解析式为y＝3x﹣1，
令y＝0，得x＝，∴C（，0），
∵函数y＝x+1，令x＝0，得y＝1，∴A（0，1），
∴S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD＝×1×1+××2＝；
（2）将B（0，﹣1）代入y＝kx+b得：b＝﹣1，即直线解析式为y＝kx﹣1，
联立函数y＝x+1得：，
消去y得：x+1＝kx﹣1，解得：x＝，y＝1﹣＝﹣，
由D坐标在第一象限，得到＞0且﹣＞0，
解得：k＞1．∴系数k的取值范围是k＞1；
（3）①当DP＝DB时，设P（0，y），
∵B（0，﹣1），D（1，2），∴DP2＝12+（y﹣2）2＝DB2＝12+（2+1）2，
∴y＝5或﹣1（舍去），∴P（0，5）；
②当BP＝DB时，DB＝，
∴P（0，﹣1﹣）或P（0，﹣1）；
③当PB＝PD时，则（y+1）2＝1+（2﹣y）2，解得y＝，
∴P（0，）；
综上所述．满足条件的点P的坐标为（0，5）或（0，﹣1﹣）或P（0，﹣1）或（0，）．
【点评】此题属于一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质以及分类讨论思想的运用是解本题的关键．
3．（2021秋•徐汇区校级期末）已知直线y＝x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的纵坐标为4，第
一象限的双曲线上有一点P，过点P作PQ∥x轴交直线AB于点Q，点A到PQ的距离为2．
（1）直接写出k的值及点B的坐标；
（2）求线段PQ的长；
（3）如果在双曲线y＝上一点M，且满足△PQM的面积为9，求点M的坐标．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）先求得A点坐标，再代入直线解析式可求得k的值，根据对称性可求得B点坐标；
（2）由反比例函数解析式可求得P点坐标，由直线解析式可求得Q点坐标，可求得PQ的长；
（3）分当PQ＝时和当PQ＝时两种情况，分别表示出△PQM的面积，可求得M到PQ的距离，可求得M的坐标．
【解答】解：（1）∵A在直线y＝x上，且A的纵坐标为4，∴A坐标为（3，4），
代入y＝，可得k＝3×4＝12，
又A、B关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣3，﹣4）．
（2）∵点A到PQ的距离为2，
∴P的纵坐标为2或6，
∵点P在双曲线y＝上，
∴代入y＝2，可得点P的坐标为（6，2），代入y＝6，可得点P的坐标为（2，6），
∵PQ∥x轴，且点Q在直线AB上，
把y＝2代入y＝x，得点Q的坐标为（，2），
把y＝6代入y＝x，得点Q的坐标为（，6），∴PQ＝或．
（3）①当PQ＝时，∵△PQM的面积为9，∴M到PQ的距离为4，
∴M的纵坐标为6或﹣2，
把y＝6代入y＝得x＝2，
把y＝﹣2代入y＝得x＝﹣6，
∴M的坐标为（2，6）或（﹣6，﹣2）；
当PQ＝时，∵△PQM的面积为9，∴M到PQ的距离为，
∴M的纵坐标为或﹣，
把y＝代入y＝得x＝，
把y＝﹣代入y＝得x＝﹣10，
∴M的坐标为（，）或（﹣10，﹣）；
综上所述：点M的坐标为（2，6）或（﹣6，﹣2）或（，）或（﹣10，﹣）．
【点评】本题主要考查函数的交点问题，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数的解析式是解题的关键．
4．（2021秋•普陀区期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy内，反比例函数y＝图象与正比例函数y
＝kx（k≠0）图象的公共点A在第一象限，点A到x轴的距离是2．
（1）求点A的坐标和正比例函数的解析式；
（2）点P在直线OA上，点B为x轴的正半轴上一点，且PO＝PB，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，线段PD交双曲线于点C，如果S△POB＝8，求点C的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）由题意可知A的坐标为2，代入反比例函数解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法求得正比例函数解析式；
（2）设P的坐标为（m，2m），根据等腰三角形的性质得出OB＝2m，由S△POB＝8，求得m＝2，进而即可求得C（2，1）．
【解答】解：（1）∵点A在第一象限，点A到x轴的距离是2，∴点A的纵坐标为2，
把y＝2代入y＝得，2＝，解得x＝1，∴A（1，2），
代入y＝kx，求得k＝2，∴正比例函数为y＝2x；
（2）设P的坐标为（m，2m），
∵PO＝PB，PD⊥x轴，垂足为点D，∴OD＝BD，∴OB＝2m，
∵S△POB＝8，∴，∴，
∴m＝2（负数舍去），
∴P的横坐标为2，
把x＝2代入y＝得，y＝1，∴C（2，1）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求正比例函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形的面积，求得P的坐标是解题的关键．
5．（2021秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系内，双曲线（k≠0）上有A，B两点，且与直
线y＝ax（a＞0）交于第一象限内的点A，点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，1），过点B作y轴的
平行线，交x轴与点C，交直线y＝ax（a＞0）与点D，
（1）求：点D的坐标；
（2）求：△AOB的面积；
（3）在x轴正半轴上是否存在点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）求出直线OA解析式，根据反比例函数确定B点坐标，再根据B点和D点横坐标相同求出D点坐标即可；
（2）连接AB、OB，过A点作AH⊥BD于H，根据S△AOB＝S△OCD﹣S△COB﹣S△ADB计算即可；
（3）分OA＝OP和OA＝AP两种情况分别求出P点坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝ax（a＞0）与双曲线交于第一象限内的点A（4，2），∴a＝，
∴直线OA的解析式为y＝x，
∵点B（n，1）在双曲线上，∴n＝8，即B（8，1），
由题知D点与B点横坐标相同都为8，
当x＝8时，y＝=4，
∴D（8，4）；
（2）连接AB、OB，过A点作AH⊥BD于H，
由（1）知C（8，0），B（8，1），D（8，4），A（4，2），
∴OC＝8，CD＝4，BD＝3，BC＝1，AH＝4，
∴S△AOB＝S△OCD﹣S△COB﹣S△ADB＝OC•CD﹣OC•BC﹣BD•AH＝×8×4﹣﹣＝16﹣4﹣6＝6，
即△AOB的面积为6；
（3）存在点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，分以下两种情况：
①当OA＝OP时，
∵A（4，2），∴OA＝，∴OP＝，
即P（，0）；
②当OA＝AP时，OP＝2xA＝2×4＝8，
即P（8，0），综上，符合条件的B点坐标为（，0）或（8，0）．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．
6．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线
l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点，∠QOM＝45°
S△POQ＝14．
（1）求点Q的坐标；
（2）若x轴上有一点N，使得△NOQ为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）由S△POQ＝14．得k＝﹣20，设Q（a，﹣a），代入反比例函数y＝﹣中即可；
（2）首先利用勾股定理得OQ＝，当若OQ＝ON＝2，则N（2，0）或（-2，0）；若QO＝ON，则NO＝2OM＝4，则N（4，0）；若NO＝NQ，设点N（n，0），则n2＝（n﹣2）2+（2）2，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵S△POQ＝S△POM+S△MOQ＝14，∴，
∵k＜0，∴k＝﹣20，∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵∠QOM＝45°，l∥y轴，∴∠QOM＝∠OQM＝45°，∴MO＝MQ，
设Q（a，﹣a），∴﹣a2＝﹣20，
∴a＝±2（负值舍去），∴点Q的坐标为（2，﹣2），
（2）∴OQ＝，
若△NOQ为等腰三角形，可分三种情况：
若OQ＝ON＝2，则N（2，0）或（-2，0）；
若QO＝ON，则NO＝2OM＝4，则N（4，0）；
若NO＝NQ，设点N（n，0），则n2＝（n﹣2）2+（2）2，
解得：n＝2，∴n（2，0），
综上所述，满足条件的点N的坐标为：（2，0）或（2，0）或（-2，0）；或（4，0）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，k的几何意义，等腰三角形等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
7．（2020秋•普陀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy内，正比例函数y＝4x的图象与反比例函数
（k≠0）的图象的公共点A的纵坐标为4．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）正比例函数y＝4x的图象上有一点B，AB＝OA（点B不与点O重合），过点B作直线BC∥y轴交双曲线于点C，求△ABC的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）先由点A纵坐标为4，点A在直线y＝4x上可确定点A的坐标为（1，4），然后利用待定系数法确定反比例函数的解析式；
（2）根据中点坐标公式求出点B的坐标为（2，8），由BC∥y轴，且点C在反比例函数y＝的图象上，得到点C坐标为（2，2），然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）设点A坐标为（x，4），
∵点A（x，4）在函数y＝4x的图象上，∴4＝4x，解得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4）；
∵点A（1，4）在函数y＝的图象上，∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数解析式是y＝；
（2）∵AB＝OA，∴A为OB中点，
∵A（1，4），∴B（2，8）．
∵BC∥y轴，且点C在反比例函数y＝的图象上，∴C（2，2），∴BC＝8﹣2＝6．
过点A作AH⊥BC于H，则AH＝1，∴S△ABC＝BC•AH＝×6×1＝3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两个函数的解析式；也考查了待定系数法求函数图象的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．
8．（2020秋•静安区期末）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝k2x（k2≠0）的图象
都经过点A（m，2），点P（﹣3，﹣4）在反比例函数的图象上，点B（﹣3，n）在正比
例函数y＝k2x（k2≠0）的图象上．
（1）求此正比例函数的解析式；
（2）求线段AB的长；
（3）求△PAB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】（1）把点（3，4）的坐标代入反比例函数的解析式可得k1，然后把点A的坐标代入反比例函数的解析式，就可得到点A的坐标，把点A的坐标代入正比例函数的解析式可得k2；
（2）把点B的坐标代入正比例函数的解析式，就可得到点B的坐标，然后运用两点间距离公式就可求出线段AB的长；
（3）依据B（﹣3，﹣1），P（﹣3，﹣4），A（6，2），即可得到△PAB的面积．
【解答】解：（1）∵点（﹣3，﹣4）在反比例函数图象上，
∴k1＝﹣3×（﹣4）＝12．
∵点A（m，2）在反比例函数y＝图象上，∴2m＝12，∴m＝6，
∴点A的坐标为（6，2）；
∵正比例函数y＝k2x（k2≠0）的图象都经过点A（6，2），
∴2＝6k2，解得k2，＝，
∴正比例函数为y＝x；
（2）∵点B（﹣3，n）在正比例函数y＝x的图象上，
∴n＝﹣3×＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣3，﹣1），
∴AB＝．
（3）∵点B的坐标为（﹣3，﹣1），P（﹣3，﹣4），∴BP＝3，
又∵A（6，2），
∴△PAB的面积＝BP×h＝×3×9＝．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、直线上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征等知识，掌握两点间距离公式是解决问题的关键．
9．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，且点
A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，﹣2）．
（1）求a，n的值；
（2）若双曲线y＝（k＞0）的上点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得a的值，根据一次函数图象上点的坐标特征即可求得n；
（2）由条件（1）知，k＝8，点C的纵坐标为8，求出C的坐标为（1，8），然后根据S△AOC＝S△COD+S梯形ACDE﹣S△AOE＝S梯形ACDE即可求得．
【解答】解：（1）∵直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，
∴，
解得a＝，n＝﹣4；
（2）∵双曲线y＝（k＞0）经过A点，
∴k＝4×2＝8，
∵双曲线y＝（k＞0）的上点C的纵坐标为8，
∴C点的坐标为（1，8），
如图，作AE⊥x轴于E，CD⊥x轴于D，
∴S△AOC＝S△COD+S梯形ACDE﹣S△AOE＝S梯形ACDE＝（8+2）（4﹣1）＝15．
【点评】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得C的坐标是解题的关键．