人教版数学七下重难点培优训练专题6.3 估算无理数的大小（2份，原卷版+解析版）

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【典例1】阅读下列内容：因为1＜3＜9，所以13，所以的整数部分是1，小数部分是1．试解决下列问题：
（1）求的整数部分和小数部分；
（2）若已知8的小数部分是a，8的整数部分是b，求ab﹣3a+4b的值．
【思路点拨】
（1）根据阅读方法，直接估算无理数的大小即可；
（2）估算无理数，8，8的大小，确定a、b的值，代入计算即可．
【解题过程】
解：（1）∵，
∴34，
∴的整数部分是3，小数部分为3；
（2）∵34，
∴11＜812，
∴8的小数部分a＝8113，
∵34，
∴﹣43，
∴4＜85，
∴8的整数部分是b＝4，
∴ab﹣3a+4b
＝（3）×4﹣3×（3）+4×4
＝412﹣39+16
13，
答：ab﹣3a+4b的值为13．
1．（2021秋•溧水区期末）估计的值在（ ）
A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间
【思路点拨】
依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行比较即可．
【解题过程】
解：∵，
∴67，
∴的值在6和7之间；
故选：D．
2．（2021•绵阳）下列数中，在与之间的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【思路点拨】
根据，4，，6，即可进行解答．
【解题过程】
解：因为，4，，
4，5，6，
所以46．
故选：C．
3．（2021秋•滦州市期中）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数﹣2，﹣1，0，1，2，则表示数3的点P应落在（ ）
A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上
【思路点拨】
估算无理数的大小，进而确定3的大小，再根据数轴表示数的定义进行判断即可．
【解题过程】
解：∵，即34，
∴﹣43，
∴﹣1＜30，
而点B所表示的数是﹣1，点O所表示的数为0，
∴表示数3的点P应落在线段BO上，
故选：B．
4．（2021秋•新邵县期末）一个边长为acm的正方形，它的面积与长为8cm、宽为5cm的长方形面积相等，则a的值（ ）
A．在3与4之间B．在4与5之间C．在5与6之间D．在6与7之间
【思路点拨】
根据题意列出关于a的方程，求出a，估算出的值即可．
【解题过程】
解：由题意得：a2＝8×5，
∴a2＝40，
∴a，
∵36＜40＜49，
∴67，
∴a的值在6与7之间，
故选：D．
5．（2021秋•张店区期末）介于两个连续（相邻）的整数a与b之间，则a+b＝（ ）
A．1B．3C．5D．7
【思路点拨】
先估算出的值，然后进行计算即可解答．
【解题过程】
解：∵4＜5＜9，
∴23，
∴11＜2，
∴1，
∵介于两个连续（相邻）的整数a与b之间，
∴a＝0，b＝1，
∴a+b＝1，
故选：A．
6．（2021秋•南京期末）下列整数中，与1最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【思路点拨】
估算出的值即可解答．
【解题过程】
解：∵9＜10＜16，
∴，
∴34，
∴21＜3，
∵3.52＝12.25，
∴最接近的整数是3，
∴1最接近的整数是2，
故选：A．
7．（2021秋•昌平区期末）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且nn+1，则n的值是 ．
【思路点拨】
估算出的值即可解答．
【解题过程】
解：∵442＝1936，452＝2025，
∴1936＜2022＜2025，
∴4445，
∵n为整数且nn+1，
∴n＝44，
故答案为：44．
8．（2021秋•重庆期末）已知M是满足不等式的所有整数的和，N是的整数部分，则M+N的平方根为 ．
【思路点拨】
估算得出整数a的值，求出之和确定出M，求出不等式的最大整数确定出N，进而确定出M+N的平方根．
【解题过程】
解：∵a，
∴整数a＝﹣1，0，1，2，之和M＝﹣1+0+1+2＝2，
∵，
∴N＝7，
∴M+N＝2+7＝9，
∴M+N的平方根为±3．
故答案为：±3．
9．（2021秋•梁溪区期中）我们知道，若一个面积为2的正方形的边长为a，那么a是一个无理数，我们用“逼近法”可以逐步求出a的值的范围是1.41＜a＜1.42（精确到2位小数）．类似的，若一个面积为7的正方形的边长为b，请你逐步探求出b的值的范围 （精确到2位小数即可）．
【思路点拨】
利用“逼近法”估算出近似值的千分位，再四舍五入即可求解此题．
【解题过程】
解：由题意得，b，
又∵23，
2.62.7，
，
∴b的值的范围是，
故答案为：．
10．（2021秋•湘潭县期末）若记[x]表示任意实数的整数部分例如：，⋯，则（其中“+”“﹣”依次相间）的值为 ．
【思路点拨】
根据[x]表示任意实数的整数部分，求出各个式子的值，然后进行计算即可．
【解题过程】
解：∵442＝1936，452＝2025，
∴[2020]＝44，[2021]＝44，[2022]＝44，[2023]＝44，[2024]＝44，
∴+[2021]﹣[2022]+[2023]﹣[2024]
＝+44﹣44+44﹣44
＝0，
∴
＝1﹣1+1﹣2+2﹣2+2﹣2+3﹣3+3﹣3+3﹣3+3﹣4+...+44﹣44
＝1﹣2+3﹣4+...﹣44
＝﹣1﹣1﹣...﹣1
＝﹣22，
故答案为：﹣22．
11．（2021春•泗水县期末）已知4a+3的立方根是3，3a﹣b的算术平方根是4，c是的整数部分，一个正数的两个平方根分别是d+3和2d﹣12，求a+2b+c+d的平方根．
【思路点拨】
直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b的值，估算的值可得c的值，根据平方根的定义可得d的值，最后将a，b，c，d的值代入a+2b+c+d．进行计算，从而可解答．
【解题过程】
解：∵4a+3的立方根是3，3a﹣b的算术平方根是4，
∴4a+3＝27，3a﹣b＝16，
∴a＝6，b＝2，
∵c是的整数部分，且34，
∴c＝3，
∵一个正数的两个平方根分别是d+3和2d﹣12，
∴d+3+2d﹣12＝0，
∴d＝3，
∴a+2b+c+d＝6+4+3+3＝16，
∴a+2b+c+d的平方根是±4．
12．（2021春•九龙坡区期中）已知|b+3|＝b+3，m为的整数部分，n为的小数部分，求2m﹣n的值．
【思路点拨】
由|b+3|＝b+3，可得a+b＝21，再根据m为的整数部分，n为的小数部分，确定m、n的值代入计算即可．
【解题过程】
解：由|b+3|＝b+3，可得a+b＝21，
∵45，m为的整数部分，n为的小数部分，
∴m＝4，n4，
∴2m﹣n＝84＝12，
答：2m﹣n的值为12．
13．（2021秋•高州市月考）已知：9小数部分是m，9小数部分是n，且（x+1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值．
【思路点拨】
根据m和n的条件得出m+n的值，即可确定x+1的值，从而求出x的值．
【解题过程】
解：∵9小数部分是m，9小数部分是n，
∴m＝94＝5，n＝913＝﹣4，
∴m+n＝5（﹣4）＝1，
∴（x+1）2＝1，
∴x+1＝1或x+1＝﹣1，
∴x＝0或x＝﹣2．
14．（2020秋•江干区期末）如果一个正方形ABCD的面积为69．
（1）求正方形ABCD的边长a．
（2）正方形ABCD的边长满足m＜a＜n，m，n表示两个连续的正整数，求m，n的值．
（3）m，n在满足（2）的条件下，求的值．
【思路点拨】
（1）根据正方形的面积是69即可得出答案；
（2）故选的范围即可求出m，n的值；
（3）把m，n的值代入求值即可．
【解题过程】
解：（1）∵正方形ABCD的面积为69，
∴正方形ABCD的边长a；
（2）∵64＜69＜81，
∴89，
∴m＝8，n＝9；
（3）当m＝8，n＝9时，
原式
＝﹣2﹣3
＝﹣5．
15．（2021春•濮阳期末）根据下表回答问题：
（1）265.69的平方根是 ；
（2） ， ， ；
（3）设的整数部分为a，求﹣4a的立方根．
【思路点拨】
（1）根据平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，即可求出结果；
（2）根据图表和算术平均数的定义即可得出答案；
（3）根据题意先求出a的值，再求出﹣4a的值，然后根据立方根的定义即可得出答案．
【解题过程】
解：（1）265.69的平方根是：±16.3；
故答案为：±16.3；
（2）16.2；168；1.61；
故答案为：16.2，168，1.61；
（3）∵，
∴1617，
∴a＝16，﹣4a＝﹣64，
∴﹣4a的立方根为﹣4．
16．（2021春•西城区校级期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：
72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．
（1）对10进行1次操作后变为 ，对200进行3次操作后变为 ；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m的取值范围是 ．
（3）恰需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【思路点拨】
（1）根据[a]的含义和无理数的估计可求．
（2）根据[a]的含义倒推m的范围．
（3）根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值．
【解题过程】
解：（1）[]＝3．
200进行第一次操作：[]＝14，
第二次操作后：[]＝3．
第三次操作后：[]＝1．
故答案为：3，1．
（2）∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴14．
∴1≤m＜16．
∵操作两次．
∴2．
∴m≥4．
∴4≤m＜16．
故答案为：4≤m＜16．
（3）设这个数是p，
∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴12．
∴1≤m＜4．
∴116．
∴1≤p＜256．
∵3次操作，故p≥16．
∴16≤p＜256．
∵p是整数．
∴p的最大值为255．
故答案为：255．
17．（2021春•恩施市月考）阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如23，是因为：根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）10也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜10b则a+b＝ ．
（3）若3＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求x﹣y的相反数．
【思路点拨】
（1）先估算在哪两个整数之间，即可确定的整数部分和小数部分；
（2）先估算出的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案；
（3）先求出的整数部分，得到3的整数部分即为x的值，从而表示出y的结果，再求x﹣y的相反数即可．
【解题过程】
解：（1）∵9＜13＜16，
∴34，
∴的整数部分为3，小数部分为3．
故答案为：3，3；
（2）∵1＜3＜4，
∴12，
∴10+1＜1010+2，
即11＜1012，
∴a＝11，b＝12，
∴a+b＝23．
故答案为：23；
（3）∵25＜30＜36，
∴56，
∴5﹣33＜6﹣3，
即23＜3，
∴3的整数部分为2，小数部分为3﹣25，
∴x＝2，y5，
∴x﹣y＝2﹣（5）＝7，
∴x﹣y的相反数为7．
18．（2021春•满洲里市期末）阅读下面的文字，解答问题
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于12，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分1，根据以上的内容，解答下面的问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）1的整数部分是 ，小数部分是 ；
（3）1整数部分是 ，小数部分是 ；
（4）若设2整数部分是x，小数部分是y，求xy的值．
【思路点拨】
（1）先估算出的范围，即可得出答案；
（2）先估算出的范围，即可得出答案；
（3）先求出1的范围，即可得出答案；
（4）先求出2的范围，求出x、y，即可得出答案．
【解题过程】
解：（1）∵23，
∴的整数部分是2，小数部分为2，
故答案为：2，2；
（2）∵12，
∴2＜13，
∴1的整数部分是2，小数部分是121，
故答案为：2，1；
（3）∵2.4＜13，1.7，
∴4.1＜15，
∴1，的整数部分是4，小数部分是3，
故答案为：4，3；
（4）∵12，
∴3＜24，
∴x＝3，y1，
∴xy＝3（1）．
19．（2021春•重庆期中）如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，点A，B表示数1和．点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为c．
（1）请你求出数c的值．
（2）若m为的相反数，n为（c﹣3）的绝对值，求6m+n的整数部分的立方根．
【思路点拨】
（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为c的值；
（2）根据题意及c的值求出m和n的值，再把m，n代入所求代数式进行计算即可．
【解题过程】
解：（1）∵点A．B分别表示1，，
∴AB1，
∴c1；
（2）∵c1，
∴m＝﹣（1）＝1，n＝|1﹣3|＝4，
6m+n＝6×1+（4）＝10，
∵12，
∴﹣21，
∴8＜109，
∴6m+n的整数部分是8，
∴2．
20．（2020春•思明区校级期末）下面是小李探索的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知1，因此可设1+x，可画出如图示意图．由图中面积计算，S正方形＝x2+2×1•x+1，另一方面由题意知S正方形＝2，所以x2+2×1•x+1＝2．
略去x2，得方程2x+1＝2，解得x＝0.5，即1.5．
仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【思路点拨】
类比题中的方法，利用面积是5的正方形的边长是，设2+x，如图，利用正方形的面积相等得到x2+2×2•x+4＝5，略去x2得方程4x+4＝5，解方程求出x可确定的近似值．
【解题过程】
解：面积是5的正方形的边长是，
设2+x，如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形，
∵S正方形＝x2+2×2•x+4，
而S正方形＝5，
∴x2+2×2•x+4＝5，
略去x2，得方程4x+4＝5，解得x＝0.25，
即2.25．
21．（2021春•渝中区校级期中）阅读材料：
材料一：∵，即23，
∴11＜2．
∴1的整数部分为1．
∴1的小数部分为2
解决问题：利用上面方法，求的小数部分．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
如：求的近似值．
解：设10+x，其中0＜x＜1，则107＝（10+x）2，即107＝100+20x+x2．
因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解之得x≈0.35，即的近似值为10.35．
理解应用：利用上面的方法，求的近似值（结果精确到0.01）．
【思路点拨】
解决问题：先求出介于哪两个连续的整数之间，再求解即可；
理解应用：设9+x，其中0＜x＜1，得出97≈81+18x，求出x即可得出答案．
【解题过程】
解：解决问题：∵，
∴910，
∴的小数部分为：9．
理解应用：设9+x，其中0＜x＜1，
则97＝（9+x）2，
即97＝81+18x+x2，
∵0＜x＜1，
∴0＜x2＜1，
∴97≈81+18x，
解得，x≈0.89，
即的近似数为9.89．
22．（2021秋•南安市期中）在数轴上点A表示a，点B表示b，且a，b满足
（1）①a+b＝ ．
②x表示a+b的整数部分，y表示a+b的小数部分，则y＝ ；
（2）若b＜x＜a，则取最小整数值为 ；
（3）若点A与点C之间的距离表示AC，点B与点C之间的距离表示BC，请在数轴上找一点C，使得AC＝2BC，求点C在数轴上表示的数．
【思路点拨】
（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可求得a+b的值，进而求得a+b整数部分，a+b的小数部分；
（2）根据题意的最小值为0，的最小值为，从而求得取最小整数值为；
（3）设C点表示的数为x，根据AC＝2BC列出方程，解方程即可；
【解题过程】
解：（1）∵a，b满足．
∴a＝10，b，
①a+b＝10；
②∵x表示a+b的整数部分，y表示a+b的小数部分，
∴x＝11，y1
故答案为10；1；
（2）∵b＜x＜a，
∴x＜10，
∴的最小值为0，的最小值为，
∴取最小整数值为3，
故答案为3；
（3）设点C表示的数为x，
当点C在AB之间时，AC＝10﹣x，BC＝x，
∵AC＝2BC，
∴10﹣x＝2（x），
解得：x，
当点C在B的左边时，AC＝10﹣x，BCx，
∵AC＝2BC，
∴10﹣x＝2（x），
解得：x＝210，
故点C表示的数为或210． x
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
x2
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24