人教版数学七下期末提升训练专题01 相交线与平行线（知识点梳理+经典例题+变式训练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份人教版数学七下期末提升训练专题01 相交线与平行线（知识点梳理+经典例题+变式训练）（2份，原卷版+解析版），共23页。
【知识梳理】

【典例剖析】
考点1 对顶角与领补角
【典例1】（长春）如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOD＝90°．下列说法不正确的是（ ）
A．∠AOD＝∠BOCB．∠AOC＝∠AOE
C．∠AOE+∠BOD＝90°D．∠AOD+∠BOD＝180°
【答案】B
【解答】解：A、∠AOD＝∠BOC，说法正确；
B、∠AOC＝∠AOE，说法错误；
C、∠AOE+∠BOD＝90°，说法正确；
D、∠AOD+∠BOD＝180°，说法正确；
故选：B．
【变式1】（2020春•恩平市期中）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【解答】解：甲：∠1和∠2不是对顶角，
乙：∠1和∠2不是对顶角，
丙：∠1和∠2是对顶角，
丁：∠1和∠2不是对顶角．
故选：C．
【变式2】（2022春•萧县校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE，∠AOC＝42°，则∠AOE的度数为（ ）
A．126°B．96°C．102°D．138°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOC＝42°，
∴∠BOD＝42°，
∵OD平分∠BOE，
∴∠BOE＝84°，
∴∠AOE＝96°，
故选：B．
考点2 垂线及其性质
【典例2】（2021春•阿荣旗期末）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短
【答案】D
【解答】解：因为CD⊥l于点D，根据垂线段最短，所以CD为C点到河岸l的最短路径．
故选：D．
【变式1】（2021秋•海州区校级期中）把一条弯曲的高速路改为直道，可以缩短路程，其道理用几何知识解释应为（ ）
A．两点之间，线段最短
B．点到直线上所有点的连线中，垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【解答】解：把一条弯曲的高速路改为直道，可以缩短路程，其道理用几何知识解释应为两点之间，线段最短，
故选：A．
【变式2】（2018春•禅城区期末）已知点P在直线MN外，点A、B、C均在直线MN上，PA＝3cm，PB＝3.5cm，PC＝2cm，则点P到直线MN的距离（ ）
A．等于 3cmB．等于 2cmC．等于 3.5cmD．不大于 2cm
【答案】D
【解答】解：当PC⊥MN时，PC是点P到直线MN的距离，即点P到直线l的距离2cm，
当PC不垂直于MN时，点P到直线MN的距离小于PC的长，即点P到直线MN的距离小于2cm，
综上所述：点P到直线MN的距离不大于2cm，
故选：D．
考点3 同位角、内错角及同旁内角
【典例3】（2020春•越秀区校级期中）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③B．①②③C．③④D．①②④
【答案】D
【解答】解：图①②④中，∠1和∠2是同位角，
故选：D．
【变式1】（2021秋•长春期末）如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角D．∠3与∠5是同位角
【答案】C
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，正确，不合题意；
B、∠1与∠6是内错角，正确，不合题意；
C、∠2与∠5不是内错角，故C错误，符合题意；
D、∠3与∠5是同位角，正确，不合题意；
故选：C．
【变式2】（2021秋•海口期末）已知图①～④，
在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③D．①
【答案】C
【解答】解：图①③中，∠1与∠2是同位角；
故选：C．
考点4 平行线
【典例4】（2020春•东莞市校级月考）下列说法中正确的是（ ）
A．如果同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线段所在直线互相平行
B．不相交的两条直线一定是平行线
C．同一平面内两条射线不相交，则这两条射线互相平行
D．同一平面内有两条直线不相交，这两条直线一定是平行线
【答案】D
【解答】解：根据平行线的定义可知：
A、如果同一平面内的两条直线不相交，那么这两条线段所在直线互相平行，故本选项错误；
B、同一平面内不相交的两条直线一定是平行线，故本选项错误；
C、同一平面内两条射线所在的直线不相交，则这两条射线互相平行，故本选项错误；
D、同一平面内有两条直线不相交，就平行，正确．
故选：D．
【变式1】（2021春•饶平县校级期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．相交或垂直D．相交或平行
【答案】D
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是相交或平行，相交包含垂直．
故选：D
【变式2】（2021春•和平区校级月考）下列语句正确的有（ ）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；
故选：D．
考点5 平行线的判定条件
【典例5】（2020春•天心区期末）如图，下列条件中不能推出AB∥DC的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＝∠2
C．∠B＝∠DCED．∠B+∠DCB＝180°
【答案】B
【解答】解：A、∵∠3＝∠4，
∴AB∥DC，故本选项不合题意；
B、∵∠1+∠2，
∴AD∥BC，故本选项符合题意；
C、∵∠B＝∠DCE，
∴AB∥DC，故本选项不合题意；
D、∵∠B+∠DCB＝180°，
∴AB∥DC，故本选项不合题意．
故选：B．
【变式1】（2021春•高州市期末）如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠2＝∠3D．∠4+∠5＝180°
【答案】C
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；
B、∵∠2+∠4＝180°，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；
C、∠2＝∠3，不能得出直线l1∥l2，故此选项符合题意；
D、∵∠2＝∠5，4+∠5＝180°，
∴4+∠2＝180°，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意．
故选：C．
【变式2】（2021春•高州市月考）如图所示，已知直线c与a，b分别交于点A、B且∠1＝120°，当∠2＝（ ）时，直线a∥b．
A．60°B．120°C．30°D．150°
【答案】B
【解答】解：∵∠1＝120°，∠1与∠3是对顶角，
∴∠1＝∠3＝120°，
∵∠2＝∠3＝120°，
∴直线a∥b，
故选：B．
考点6 平行线的性质
【典例6】（2020春•南宁期末）如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF＝135°，则∠A等于（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】C
【解答】解：∵∠CEF＝135°，
∴∠DEF＝180°﹣135°＝45°．
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DEF＝45°．
故选：C．
【变式1】（2020•陕西模拟）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝35°，则∠BED的度数是（ ）
A．60°B．68°C．70°D．72°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝35°，
∴∠ABC＝∠C＝35°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABC＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠ABE＝70°．
故选：C．
【典例7】（2020•广元）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为（ ）
A．115°B．120°C．145°D．135°
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，
∵∠1＝45°（已知），
∴∠3＝90°﹣∠1＝45°（三角形的内角和定理），
∴∠4＝180°﹣∠3＝135°（平角定义），
∵EF∥MN（已知），
∴∠2＝∠4＝135°（两直线平行，同位角相等）．
故选：D．
【变式1】（2020•枣庄）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，
∴∠1＝∠3，
∵∠3+∠2＝45°，
∴∠1+∠2＝45°
∵∠1＝20°，
∴∠2＝25°．
故选：B．
【变式2】（2020•乐山）含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠ACD＝∠A，则∠1＝（ ）
A．70°B．60°C．40°D．30°
【答案】B
【解答】解：∵∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝60°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CDB＝60°，
故选：B．
【典例8】（2021春•大冶市期中）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠后，ED与BF交于G点，若∠EFC＝130°，则∠BGE的度数为（ ）
A．105°B．100°C．110°D．130°
【答案】B
【解答】解：∵AE∥BF，
∴∠D′EF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣130°＝50°，∠BGE＝∠D′EG，
由折叠的性质得到∠GEF＝∠D′EF＝50°，
∴∠D′EG＝∠D′EF+∠GEF＝100°，
则∠BGE＝100°．
故选：B．
【变式1】（2022•珠海二模）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝60°，则∠AED′＝（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】C
【解答】解：如图，∵长方形纸片对边平行，
∴∠1＝∠EFB＝60°，
由翻折的性质得，∠2＝∠1＝60°，
∴∠AED′＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故选：C．
考点7 平移及其性质
【典例9】（2021春•乾安县期末）在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项错误；
B、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项错误；
C、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项错误；
D、是由“基本图案”经过平移得到，故此选项正确；
故选：D．
【变式1】（2022春•滑县月考）下列运动属于平移的是（ ）
A．球场上滚动的足球B．关闭教室门
C．国旗上升的过程D．时钟上分针的运动
【答案】C
【解答】解：A、球场上滚动的足球，不属于平移，故A不符合题意；
B、关闭教室门，不属于平移，故B不符合题意；
C、国旗上升的过程，属于平移，故C符合题意；
D、时钟上分针的运动，属于旋转，故D不符合题意；
故选：C．
【变式2】（2021春•官渡区期末）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：由图可知，ABC利用图形的翻折变换得到，D利用图形的平移得到．
故选：D．
【典例10】（2020•镇海区模拟）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．48B．96C．84D．42
【答案】A
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，S△ABC＝S△DEF，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S△DEF﹣S△EOC＝S△ABC﹣S△EOC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48．
故选：A．
【变式1】（2021秋•钢城区期末）如图，在一块长AB＝15m，宽BC＝10m的长方形草地上，修建三条宽均为1m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 117 m2．
【答案】117
【解答】解：由题意得：
（15﹣2）×（10﹣1）
＝13×9
＝117（平方米），
∴这块草地的绿地面积为 117m2，
故答案为：117．
【变式2】（2021春•番禺区期末）如图是一个会场台阶的截面图，要在上面铺上地毯，则所需地毯的长度是 m．
【答案】3.2
【解答】解：楼梯的长为2m，高为1.2m，则所需地毯的长度是2+1.2＝3.2（m）．
故答案为：3.2．
【变式3】（2018春•柳州期末）如图，将△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，若△ABC的周长等于9，则四边形ABFD的周长等于（ ）
A．9B．1C．11D．12
【答案】C
【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，
∴AD＝CF＝1，AC＝DF，
∵△ABC的周长等于9，
∴四边形ABFD的周长等于9+1+1＝11．
故选：C．
考点8 有关平行线证明的解答题
【典例11】（2021春•兖州区期末）按要求完成下列证明：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
求证：DE∥BC．
证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+ ＝90°（ ）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴ ＝∠2（ ）．
∴DE∥BC（ ）．
【答案】∠EDC；垂直定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【解答】证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠EDC＝90°（ 垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠EDC＝∠2（ 同角的余角相等）．
∴DE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠EDC；垂直定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【变式1】（2020春•原州区期末）完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ ）
∴∠ABD＝2∠α （ ）
∵DE平分∠BDC（ 已知）
∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
【答案】已知，角平分线的定义，2∠β，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【解答】证明：BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知，角平分线的定义，2∠β，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【典例12】（2020春•南充期末）已知如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．
【答案】略
【解答】解：BF与AC的位置关系是：BF⊥AC．
理由：∵∠AGF＝∠ABC，
∴BC∥GF（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠3，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴BF∥DE，
∵DE⊥AC，
∴BF⊥AC．
【变式1】（2020秋•兰州期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，
（1）证明：EF∥AB．
（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由．
【答案】（1） 略 （2）∠AED与∠C相等
【解答】解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE，
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）；
（2）∠AED与∠C相等．
∵EF∥AB，
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
【变式2】（2020秋•开江县期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝112°，求∠1的度数．
【答案】(1)略 (2)56°
【解答】（1）证明：∵FG∥AE，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝112°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝68°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠4＝∠ABD＝34°，
∵FG⊥BC，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠1＝90°﹣34°＝56°．
考点9 平行线的性质合判定综合题
【典例13】（2020春•新田县期末）如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C＝∠OAB＝108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．
（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．
【答案】(1)与∠AOC相等的角是∠ABC，∠BAM (2)不变 (3)不存在
【解答】解：（1）∠ABC，∠BAM．理由如下：
∵OM∥CN，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣108°＝72°，
∠ABC＝180°﹣∠OAB＝180°﹣108°＝72°，
又∵∠BAM＝∠180°﹣∠OAB＝180°﹣108°＝72°，
∴与∠AOC相等的角是∠ABC，∠BAM；
（2）不变．理由：
∵OM∥CN，
∴∠OBC＝∠AOB，∠OFC＝∠AOF，
∵OB平分∠AOF，
∴∠AOF＝2∠AOB，
∴∠OFC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝；
（3）不存在．理由：
∵∠OEC＝∠EOA＝2∠BOF+∠EOF
∵OM∥CN，∠C＝∠OAB＝108°，
∴∠ABC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∴∠OBA＝∠BOC
2∠OBA＝2∠BOC＝2（∠BOF+2∠EOF）
∵2∠BOF+∠EOF≠2（∠BOF+2∠EOF）
∴在平行移动AB的过程中，不存在某种情况，使∠OEC＝2∠OBA，
故不存在此情况．
【变式1】（2021春•宣化区期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
【答案】（1）60° （2）∠APB：∠ADB=2：1 （3）∠ABC＝30°
【解答】解：
（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝60°，
∴∠ABC＝30°．
【变式2】（2021秋•商河县期末）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【答案】（1）AB∥CD (2) 略 (3)45°
【解答】解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°．
又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）∠HPQ的大小不会发生变化，利用如下：
∵∠PHK＝∠HPK
∴∠PKG＝2∠HPK
∵GH⊥EG
∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK
∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK
∵PQ平分∠EPK
∴∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK
∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°
∴∠HPQ的大小不会发生变化，其值为45°．