人教版数学七下期末提升训练专题04 二元一次方程组压轴题必练（含答案详解）

这是一份人教版数学七下期末提升训练专题04 二元一次方程组压轴题必练（含答案详解），共23页。试卷主要包含了已知，阅读材料并回答下列问题，阅读以下内容等内容，欢迎下载使用。
1．今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱去购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
2．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）
A．7，6，1，4B．6，4，1，7C．4，6，1，7D．1，6，4，7
3．小杨在商店购买了a件甲种商品，b件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件5元，乙种商品每件19元，那么a+b的最大值是
（ ）
A．37B．27C．23D．20
4.（2021秋•砚山县期末）已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．1D．﹣4
5.（2021秋•玉门市期末）如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值（ ）
A．1B．2C．﹣1D．0
填空题必练
6．已知：2+＝22×，3+＝32×，4+＝42×，5+＝52×，…，若10+＝102×符合前面式子的规律，则a+b＝ ．
7．由菜鸟网络打造的一个仓库有相同数量的工人和机器人，均为x名（其中x＞5），平时每天都只工作8小时，每名机器人每小时加工包裹（分、拣、包装一体化）的数量是每名工人每小时加工包裹数量的2倍．随着“春节”临近，人工短缺，寄年货的包裹增多，公司决定再增加2名机器人，且将机器人每天工作时间延长至12小时，并对每名机器人进行升级改造，让现在每名机器人每小时加工包裹的数量在原有基础上增加x个，结果现在所有机器人每天加工包裹的数量是所有工人平时每天加工包裹数量的6倍，则该仓库平时一天加工 个包裹．
8．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是 cm．
9．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了 朵．
10．已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
11．某旅行社安排一批游客乘坐景区观光车游览，若每辆观光车坐18人，剩余3人，若少安排一辆观光车，通过车辆包座（每辆观光车极限搭载26人），则所有游客正好平分乘坐到各车上．这次旅行共有客 人．
解答题必练
12．已知方程组，由于甲看错了方程（1）中的 a 得到方程组的解为，乙看错了方程（2）中的 b 得到方程组的解为．若按正确的 a、b 计算，求原方程组的解．
13．某商店从某公司批发部购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元．在商店零售时，每件A种商品加价15%，每件B种商品加价10%，这样全部卖出后共收入3140元，问A、B两种商品买入时的单价各为多少元？
14．阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．
15．阅读以下内容：
已知实数m，n满足m+n＝5，且求k的值，
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值、
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值
丙同学：先解方程组，再求k的值
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题
（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，x+y的值始终不变．
16．已知关于x、y的二元一次方程组．
（1）当k＝1时，解这个方程组；
（2）若﹣1＜k≤1，设S＝x﹣8y，求S的取值范围．
17．为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，佛山市掀起新一轮城市基础设施建设高潮，动工修建贯穿东西、南北的地铁2、3号线，已知修建地铁2号线32千米和3号线66千米共投资581.6亿元；且3号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.2亿元．
（1）求2号线、3号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
（2）除地铁1、2、3号线外，佛山市政府规划未来五年，还要再建168千米的地铁线网．据预算，这168千米地铁线网每千米的平均造价是3号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？
18．某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
19．如果关于x、y的二元一次方程组的解是，不求a，b的值，你能否求关于x、y的二元一次方程组的解？如果能，请求出方程组的解．
20．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
21．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，+1）为完美点．
（1）判断点A（2，3）是否为完美点．
（2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
22．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
专题04 二元一次方程组压轴题必练
选择题必练
1．今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱去购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】D
【解答】解：设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，由题意，得
7x+5y≤50，
∵x≥3，y≥3，
∴当x＝3，y＝3时，
7×3+5×3＝36＜50，
当x＝3，y＝4时，
7×3+5×4＝41＜50，
当x＝3，y＝5时，
7×3+5×5＝46＜50，
当x＝3，y＝6时，
7×3+5×6＝51＞50舍去，
当x＝4，y＝3时，
7×4+5×3＝43＜50，
当x＝4，y＝4时，
7×4+5×4＝48＜50，
当x＝4，y＝5时，
7×4+5×5＝53＞50舍去，
当x＝5，y＝3时，
7×5+5×3＝50＝50，
综上所述，共有6种购买方案．
故选：D．
2．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）
A．7，6，1，4B．6，4，1，7C．4，6，1，7D．1，6，4，7
【答案】B
【解答】解：依题意，得
，
解得．
∴明文为：6，4，1，7．
故选：B．
3．小杨在商店购买了a件甲种商品，b件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件5元，乙种商品每件19元，那么a+b的最大值是
（ ）
A．37B．27C．23D．20
【答案】A
【解答】解：由题意得，5a+19b＝213，
∴a＝，
∴a+b＝+b＝，
∵a+b是关于b的一次函数且a+b随b的增大而减小，
∴当b最小时，a+b取最大值，
又∵a，b是正整数，
∴当b＝2时，a+b的最大值＝37．
故选：A．
4.（2021秋•砚山县期末）已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．1D．﹣4
【答案】B
【解答】解：把方程组的解代入方程组得，
解得，
∴m﹣n＝﹣4+1＝﹣3，
故选：B．
5.（2021秋•玉门市期末）如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值（ ）
A．1B．2C．﹣1D．0
【答案】A
【解答】解：∵方程组与的解相同，
∴方程组的解与方程组的解相同，
∴方程组，
①+②得，b（x+y）+a（x+y）＝7，
∴7a+7b＝7，
∴a+b＝1，
故选：A．
填空题必练
6．已知：2+＝22×，3+＝32×，4+＝42×，5+＝52×，…，若10+＝102×符合前面式子的规律，则a+b＝ ．
【答案】109
【解答】解：根据题中材料可知＝，
∵10+＝102×，
∴b＝10，a＝99，
a+b＝109．
7．由菜鸟网络打造的一个仓库有相同数量的工人和机器人，均为x名（其中x＞5），平时每天都只工作8小时，每名机器人每小时加工包裹（分、拣、包装一体化）的数量是每名工人每小时加工包裹数量的2倍．随着“春节”临近，人工短缺，寄年货的包裹增多，公司决定再增加2名机器人，且将机器人每天工作时间延长至12小时，并对每名机器人进行升级改造，让现在每名机器人每小时加工包裹的数量在原有基础上增加x个，结果现在所有机器人每天加工包裹的数量是所有工人平时每天加工包裹数量的6倍，则该仓库平时一天加工 个包裹．
【答案】864
【解答】解：设工人每小时加工y个包裹，则改造前机器人每小时加工2y个包裹，改造后机器人每小时加工（2y+x）个包裹，
依题意，得：12（x+2）（2y+x）＝6×8xy，
∴x2+4y﹣2xy+2x＝0，
∴y＝＝＝+＝+＝+3+，
∵x是大于5的整数，y是整数，
∴x＝6，y＝6，
∴该仓库平时一天加工6×6×8+6×12×8＝864（个），
故答案为864．
8．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是 cm．
【答案】20
【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．
因为两根铁棒之和为55cm，故可列x+y＝55，
又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x＝y，
据此可列：，
解得：，
因此木桶中水的深度为30×＝20cm．
故填20．
9．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了 朵．
【答案】4380
【解答】解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．
由题意，有，
由①得，3x+2y+2z＝580，③
由②得，x+z＝150④，
③+④，得4x+2y+3z＝＝730，
∴黄花一共用了：24x+12y+18z＝6（4x+2y+3z）＝6×730＝4380．
故答案为：4380．
10．已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】
【解答】解：方程组转化为；
∴由恒等式意义，得

∴x＝3，y＝9
∴方程组的解为
故答案为
11．某旅行社安排一批游客乘坐景区观光车游览，若每辆观光车坐18人，剩余3人，若少安排一辆观光车，通过车辆包座（每辆观光车极限搭载26人），则所有游客正好平分乘坐到各车上．这次旅行共有客 人．
【答案】75或147或399
【解答】解：设原计划安排x辆车，根据题意，得
为整数，且≤26，
＝＝18+，
∴x﹣1＝1，3，7，21，
经检验x﹣1＝1，不符合题意，舍去，
∴x﹣1＝3，7，21，
∴x＝4，8，22，
所以这次的游客人数为：
18×4+3＝75，
或18×8+3＝147，
或18×22+3＝399，
经检验可知，游客为75人或147人或399人都符合题意．
故答案为75或147或399．
解答题必练
12．已知方程组，由于甲看错了方程（1）中的 a 得到方程组的解为，乙看错了方程（2）中的 b 得到方程组的解为．若按正确的 a、b 计算，求原方程组的解．
【解答】解：把代入（2）得：﹣12﹣b＝﹣2，
解得：b＝﹣10，
把代入（1）得：a+10＝15，
解得：a＝5，
即方程组为：，
（1）×2﹣（2）得：6x＝32，
解得：x＝，
把x＝代入（1）得：+5y＝15，
解得：y＝﹣，
即原方程组的解为：
13．某商店从某公司批发部购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元．在商店零售时，每件A种商品加价15%，每件B种商品加价10%，这样全部卖出后共收入3140元，问A、B两种商品买入时的单价各为多少元？
【解答】解：设A商品买入时的单价为x元，B商品买入时的单价为y元，
由题意得，，
解得：．
答：A商品买入时的单价为12元，B商品买入时的单价为20元．
14．阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．
【解答】解：（1）点A是爱心点，点B不是爱心点，理由如下：
∵，
∴，
∵2×6＝8+4，
∴点A是爱心点；
∵，
∴，
∵2×5≠8+10，
∴点B不是爱心点；
（2）∵点C为爱心点，
∴，
∴n＝﹣18，
又∵2m＝8+n，
∴2m＝8+（﹣18），
解得m＝﹣5，
∴﹣5﹣1＝a，即a＝﹣6；
（3）解方程组得 ，
又∵点B是爱心点满足：，
∴，
∵2m＝8+n，
∴2 p﹣2q+2＝8+4q﹣2，
整理得：2 p﹣6q＝4，
∵p，q是有理数，
∴p＝0，﹣6q＝4，
∴p＝0，q＝﹣．
15．阅读以下内容：
已知实数m，n满足m+n＝5，且求k的值，
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值、
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值
丙同学：先解方程组，再求k的值
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题
（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，x+y的值始终不变．
【解答】解：（1），
①+②得到，17（m+n）＝11k﹣3，
∵m+n＝5，
∴17×5＝11k﹣3
解得k＝8．
（2）
①×3+②得到：4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴不论a取什么实数，x+y的值始终不变．
16．已知关于x、y的二元一次方程组．
（1）当k＝1时，解这个方程组；
（2）若﹣1＜k≤1，设S＝x﹣8y，求S的取值范围．
【解答】解：（1）k＝1时，方程组为，
②×2得，2x+6y＝10③，
③﹣①得，11y＝11，
解得y＝1，
将y＝1代入②得，x+3＝5，
解得x＝2，
所以，方程组的解是；
（2），
①﹣②得，x﹣8y＝﹣3k﹣3，
∵﹣1＜k≤1，
∴﹣3≤﹣3k＜3，
﹣6≤﹣3k﹣3＜0，
∴S的取值范围是﹣6≤S＜0．
17．为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，佛山市掀起新一轮城市基础设施建设高潮，动工修建贯穿东西、南北的地铁2、3号线，已知修建地铁2号线32千米和3号线66千米共投资581.6亿元；且3号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.2亿元．
（1）求2号线、3号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
（2）除地铁1、2、3号线外，佛山市政府规划未来五年，还要再建168千米的地铁线网．据预算，这168千米地铁线网每千米的平均造价是3号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？
【解答】解：（1）设2号线每千米的平均造价是x亿元，3号线每千米的平均造价是y亿元，
由题意得出：，
解得：，
答：2号线每千米的平均造价是5.8亿元，3号线每千米的平均造价是6亿元；
（2）由（1）得出：
168×6×1.2＝1209.6（亿元），
答：还需投资1209.6亿元．
18．某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，
据题意：，
解得：，
答：每辆小客车能坐20人，每辆大客车能坐45人；
（2）①由题意得：20m+45n＝400，
∴n＝，
∵m、n为非负整数，
∴或 或，
∴租车方案有三种：
方案一：小客车20车、大客车0辆，
方案二：小客车11辆，大客车4辆，
方案三：小客车2辆，大客车8辆；
②方案一租金：150×20＝3000（元），
方案二租金：150×11+250×4＝2650（元），
方案三租金：150×2+250×8＝2300（元），
∴方案三租金最少，最少租金为2300元．
19．如果关于x、y的二元一次方程组的解是，不求a，b的值，你能否求关于x、y的二元一次方程组的解？如果能，请求出方程组的解．
【解答】解：根据题意可得，
解得：．
20．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
答：图甲中a与b的值分别为：60、40；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×30＝60，裁法二产生A型板材为：1×4＝4，
所以两种裁法共产生A型板材为60+4＝64（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×30＝30，裁法二产生A型板材为，2×4＝8，
所以两种裁法共产生B型板材为30+8＝38（张），
故答案为：64，38；
②根据题意竖式有盖礼品盒的x个，横式无盖礼品盒的y个，
则A型板材需要（4x+3y）个，B型板材需要（2x+2y）个，
所以，
解得．
21．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，+1）为完美点．
（1）判断点A（2，3）是否为完美点．
（2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
【解答】解：（1）a﹣1＝2，可得a＝3，+1＝3，可得b＝4，
∵2a﹣b≠6，
∴A（2，3）不是完美点．
（2）∵，
∴，
3+m＝a﹣1，可得a＝m+4，
3﹣m＝+1，可得b＝4﹣2m，
∵2a﹣b＝6，
∴2m+8﹣4+2m＝6，
∴m＝，
∴当m＝时，点B（x，y）是完美点．
22．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，新工人每月分别安装y辆电动汽车，
根据题意得，
解之得．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；
（2）设调熟练工m人，
由题意得，12（4m+2n）＝240，
整理得，n＝10﹣2m，
∵0＜n＜10，
∴当m＝1，2，3，4时，n＝8，6，4，2，
即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人．