人教版数学七下期末提升训练专题07 一元一次不等式组（知识点梳理+经典例题+变式训练）（2份，原卷版+解析版）

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【知识梳理】


【典例剖析】
考点1 解一元一次不等式组
【典例1】（2022春•介休市期中）解下列不等式组，并在数轴上表示出不等式组的解集：
（1）； （2）．
【解答】解：（1）由1﹣3x＞﹣5，得：x＜2，
由x﹣1≤﹣2（x+2），得：x≤﹣1，
则不等式组的解集为x≤﹣1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
（2）由4（x+1）≤7x+13，得：x≥﹣3，
由x﹣4＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【变式1-1】（2022•雁塔区校级模拟）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．
【解答】解：由2x+5＞5x+2，得：x＜1，
由3（x﹣1）＜4x，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x＜1，
将解集表示在数轴上如下：
【变式1-2】（2022春•定陶区期中）（1）解不等式3（x﹣2）﹣4≤1﹣2（x﹣2），并求出它的正整数解．
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）去括号，得：3x﹣6﹣4≤1﹣2x+4，
移项，得：3x+2x≤1+4+6+4，
合并同类项，得：5x≤15，
系数化为1，得：x≤3，
∴不等式的正整数解为1、2、3；
（2）解不等式1﹣3（x﹣1）＜8﹣x，得：x＞﹣2，
解不等式≥x﹣3，得：x≤3，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
【变式1-3】（2022•南京一模）解不等式组并将解集在数轴上表示出来．
【解答】解：解不等式x+1≥0，得x≥﹣1，
解不等式﹣1＜，得x＜3，
∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
∴将不等式组的解集在数轴上表示出来：
【变式1-4】（2022•长安区二模）解不等式组：．
【解答】解：解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x＜2，
则不等式组的解集为1≤x＜2．
【变式1-5】（2022•长兴县模拟）解不等式组．
【解答】解：解不等式5+3x＜3得x＜﹣，
解不等式﹣＜2得x＞﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5＜x＜﹣．
考点2 根据实际问题列一元一次不等式组
【典例2】（2021春•重庆期末）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（ ）
A．8（x﹣1）＜5x+12＜8B．0＜5x+12＜8x
C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8D．8x＜5x+12＜8
【答案】C
【解答】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个，由题意得：
0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，
故选：C．
【变式2-1】（2021春•饶平县校级期末）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，植树的棵数为（7x+9）棵，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9≤8+9（x﹣1） B．7x+9≥9（x﹣1）
C． D．
【答案】D
【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9（x﹣1），
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为（7x+9）棵，
∴可列不等式组为：．
故选：D．
【变式2-2】（2020春•集贤县期末）八年级某班部分学生去植树，若每人平均植树4棵，还剩9棵，若每人平均植树5棵，则最后一名学生有但棵数不足2棵．若设同学人数x人，则下列列式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：设同学人数x人，则树有（4x+9）棵，由题意得：
，
故选：C．
【变式2-3】（2019春•磁县期末）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，
∴学生总人数为（4x+19）人，
∵一间宿舍不空也不满，
∴学生总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数在1和5之间，
∴列的不等式组为：
故选：D．
【变式2-4】（2015春•深圳校级期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：设所需甲种原料的质量为xkg，则需乙种原料（10﹣x）kg．
根据题意，得：，
故选：B
考点2 一元一次不等式组的应用-最值问题
【典例3】（2022春•西城区校级期中）为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求a，b的值；
（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由．
【解答】解：（1）依题意得：，
解得：．
答：a的值为100，b的值为150．
（2）总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，理由如下：
设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车（10﹣m）辆，
依题意得：，
解得：6≤m≤8．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，8．
当m＝6时，10﹣m＝10﹣6＝4，购买总费用为100×6+150×4＝1200（万元）；
当m＝7时，10﹣m＝10﹣7＝3，购买总费用为100×7+150×3＝1150（万元）；
当m＝8时，10﹣m＝10﹣8＝2，购买总费用为100×8+150×2＝1100（万元）．
答：总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．
【变式3-1】“一方有难，八方相助”是中华民族的优良传统．“新冠肺炎”疫情期间，我市向某市捐赠A型医疗物资290件和B型医疗物资100件．计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆运送过去．经了解，甲种汽车每辆最多能载A型医疗物资40件和B型医疗物资10件，乙种汽车每辆最多能载A型医疗物资30件和B型医疗物资20件．
（1）请你帮助设计所有可能的租车方案；
（2）如果甲种汽车每辆的运费是600元，乙种汽车每辆的运费是500元，这次运送的费用最少需要多少钱？
【解答】解：（1）设租用甲种型号的汽车x辆，则租用乙种型号的汽车（8﹣x）辆，
依题意得：，
解得：5≤x≤6．
又∵x为整数，
∴x可以为5，6，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用甲种型号的汽车5辆，乙种型号的汽车3辆；
方案2：租用甲种型号的汽车6辆，乙种型号的汽车2辆．
（2）选择租车方案1所需运送费用为600×5+500×3＝4500（元）；
选择租车方案2所需运送费用为600×6+500×2＝4600（元）．
∵4500＜4600，
∴这次运送的费用最少需要4500元钱．
【变式3-2】（2021春•江都区校级期末）现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地，已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨．
（1）装货时如何安排A、B两种货车的辆数，共有哪些方案？
（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元，上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？
【解答】解：（1）设安排A种货车x辆，则安排B种货车（50﹣x）辆，
依题意得：，
解得：28≤x≤30，
又∵x为整数，
∴x＝28或29或30，
∴共有3种安排方案，
方案1：安排A种货车28辆，B种货车22辆；
方案2：安排A种货车29辆，B种货车21辆；
方案3：安排A种货车30辆，B种货车20辆．
（2）选择方案1所需运费为600×28+800×22＝34400（元），
选择方案2所需运费为600×29+800×21＝34200（元），
选择方案3所需运费为600×30+800×20＝34000（元）．
∵34400＞34200＞34000，
∴选择方案3运费最省，最省的运费是34000元．
【变式3-3】（2021秋•海曙区期末）为坚决阻断新冠肺炎疫情传播途径，有效遏制疫情扩散和蔓延，宁波全市自12月7日起启动Ⅰ级应急响应，同时对镇海区临时实施封闭管理．某地红十字会计划将一批物资打包成箱捐赠给疫情严重的蛟川街道，其中口罩200箱，防护服120箱．
（1）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批口罩和防护服全部运往蛟川街道．已知甲种货车最多可装口罩40箱和防护服10箱，乙种货车最多可装口罩和防护服各20箱．安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（2）在第（1）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费2000元，乙种货车每辆需付运输费1800元，应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
【解答】解：（1）设租用甲种货车x辆，则租用乙种货车（8﹣x）辆，
依题意得：，
解得：2≤x≤4．
又∵x为正整数，
∴x的值可以为2，3，4，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用2辆甲种货车，6辆乙种货车；
方案2：租用3辆甲种货车，5辆乙种货车；
方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车．
（2）选择方案1所需总运输费为2000×2+1800×6＝14800（元）；
选择方案2所需总运算费为2000×3+1800×5＝15000（元）；
选择方案3所需总运输费为2000×4+1800×4＝15200（元）．
∵14800＜15000＜15200，
∴选择方案1：租用2辆甲种货车，6辆乙种货车时，总运算费最少，最少总运输费是14800元
考点3 元一次不等式组的应用-方案问题
【典例4】（2022春•湖口县期中）某市民政部门将租用甲、乙两种货车共16辆，把粮食266吨、副食品169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨；一辆乙种货车同时可装粮食16吨、副食品11吨．
（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付燃油费1500元；乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的费用最少？最少费用是多少元？
【解答】解：（1）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆，
根据题意得：，
解得：5≤x≤7，
∵x为正整数，
∴x＝5或6或7，
因此，有3种租车方案：
方案一：租甲种货车5辆，乙种货车11辆；
方案二：租甲种货车6辆，乙种货车10辆；
方案三：租甲种货车7辆，乙种货车9辆；
（2）方案一所付的费用为：5×1500+11×1200＝20700（元）；
方案一所付的费用为：6×1500+10×1200＝21000（元）；
方案一所付的费用为：7×1500+9×1200＝21300（元）；
∵20700＜21000＜21300，
∴选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是20700元．
【变式4-1】（2021秋•临湘市期末）列不等式（组）解应用题：
一工厂要将100吨货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆一次将货物全部运动，已知每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，租金800元，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨，租金850元，若此工厂计划此次租车费用不超过5000元，通过计算求出该公司共有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用．
【解答】解：设租用甲型汽车x辆，则租用乙型汽车（6﹣x）辆，
依题意得：，
解得2≤x≤4，
∵x的值是整数
∴x的值是2，3，4．
∴该公司有三种租车方案：
①租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆，费用为5000元；
②租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆，费用为4950元；
③租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆，费用为4900元．
∴最低的租车费用为4900元．
【变式4-2】（2022春•雨花区校级期中）2021年12月31日，财政部、工信部、科技部和发改委联合发布2022年新能源汽车补贴方案，明确了2022年新能源汽车购置补贴政策将于2022年12月31日终止．目前，新能源汽车销售形势越发见好．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为39万元，本周已售出3辆A型车和2辆B型车，销售额为66万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元；
（2）某公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共22辆，且A型号车不超过13辆，购车费不超过300万元，则该公司有哪几种购车方案？
【解答】解：（1）设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆A型车的售价为12万元，每辆B型车的售价为15万元．
（2）设购进m辆A型号车，则购进（22﹣m）辆B型号车，
依题意得：，
解得：10≤m≤13．
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，13，
∴该公司共有4种购车方案，
方案1：购进10辆A型号车，12辆B型号车；
方案2：购进11辆A型号车，11辆B型号车；
方案3：购进12辆A型号车，10辆B型号车；
方案4：购进13辆A型号车，9辆B型号车．
【典例5】（2022•凤山县模拟）某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元；若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．
（1）求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？
（2）若该文具店准备拿出1000元全部来购进这两种钢笔，考虑客户需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过160支，那么该文具店共有几种进货方案？
【解答】解：（1）设购进甲种钢笔每支需x元，购进乙种钢笔每支需y元，
根据题意得：
解得．
答：购进甲种钢笔每支需5元，购进乙种钢笔每支需10元；
（2）设购进甲种钢笔m支，则购进乙种钢笔＝（100﹣m）支，
依题意得，
解得：150≤m≤160．
又∵m，（100﹣m）均为正整数，
∴m可以为150，152，154，156，158，160，
∴该文具店共有6种购进方案．
【变式5-1】（2022•任城区一模）某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件50元，乙种奖品每件32元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了1284元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买甲种奖品的件数超过乙种奖品件数的一半，总花费又不超过1200元，那么该公司共有几种不同的购买方案？哪种方案花费最少？最少花费是多少元？
【解答】解：（1）设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，
依题意得：，
解得：．
答：购买甲种奖品18件，乙种奖品12件．
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（30﹣m）件，
依题意得：，
解得：10＜m≤．
又∵m为正整数，
∴m可以为11，12，13，
∴该公司共有3种购买方案，
方案1：购买甲种奖品11件，乙种奖品19件，总花费为50×11+32×19＝1158（元）；
方案2：购买甲种奖品12件，乙种奖品18件，总花费为50×12+32×18＝1176（元）；
方案3：购买甲种奖品13件，乙种奖品17件，总花费为50×13+32×17＝1194（元）．
∵1158＜1176＜1194，
∴方案1花费最少，最少花费是1158元．
【变式5-2】（2021秋•鸡冠区校级期末）在今年的新冠疫情期间，政府紧急组织一批物资送往武汉．现已知这批物资中，食品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110箱．
（1）求食品和矿泉水各有多少箱？
（2）现计划租用A、B两种货车共10辆，一次性将所有物资送到群众手中，已知A种货车最多可装食品40箱和矿泉水10箱，B种货车最多可装食品20箱和矿泉水20箱，试通过计算帮助政府设计几种运输方案？
（3）在（2）条件下，A种货车每辆需付运费600元，B种货车每辆需付运费450元，政府应该选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？
【解答】解：（1）设食品有x箱，矿泉水有y箱，
依题意，得：，
解得：．
答：食品有260箱，矿泉水有150箱．
（2）设租用A种货车m辆，则租用B种货车（10﹣m）辆，
依题意，得：，
解得：3≤m≤5，
又∵m为正整数，
∴m可以为3，4，5，
∴共有3种运输方案，方案1：租用A种货车3辆，B种货车7辆；方案2：租用A种货车4辆，B种货车6辆；方案3：租用A种货车5辆，B种货车5辆．
（3）选择方案1所需运费为600×3+450×7＝4950（元），
选择方案2所需运费为600×4+450×6＝5100（元），
选择方案3所需运费为600×5+450×5＝5250元）．
∵4950＜5100＜5250，
∴政府应该选择方案1，才能使运费最少，最少运费是4950元．
【典例6】（2022•长垣市一模）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．
（1）求毛笔和宣纸的单价；
（2）某超市给出以下两种优惠方案：
方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．
学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（超过200张）．选择哪种方案更划算？请说明理由．
【解答】解：（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元．
（2）设购买宣纸m（m＞200）张．
选择方案A所需费用为50×6+0.4×（m﹣50）＝0.4m+280（元）；
选择方案B所需费用为50×6+0.4×200+0.4×0.8×（m﹣200）＝0.32m+316．
当0.4m+280＜0.32m+316时，解得：m＜450，
∴当200＜m＜450时，选择方案A更划算；
当0.4m+280＝0.32m+316时，解得：m＝450，
∴当m＝450时，选择方案A和方案B所需费用一样；
当0.4m+280＞0.32m+316时，解得：m＞450，
∴当m＞450时，选择方案B更划算．
答：当购买的宣纸数量超过200张不足450张时，选择方案A更划算；当购买的宣纸数量等于450张时，选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过450张时，选择方案B更划算．
【变式6-1】（2021秋•温州校级期中）某商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案可供选择．
方案一：每台按售价的九折销售；
方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．
已知A型号笔记本电脑的原售价是5000元/台，某公司一次性从该商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）若方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式．
（2）若公司买12台笔记本，你会选择哪个方案？请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得，5000×5+5000×80%（x﹣5）＜5000×90%x；
（2）选择方案二，
理由：方案一：5000×12×90%＝54000（元），
方案二：5000×5+5000×80%×（12﹣5）＝53000（元），
∵54000＞53000，
∴选择方案二．
【变式6-2】（2021春•祁阳县期末）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了一系列活动，其中共青团开展了“学党史、强信念、跟党走”教育活动．为奖励优秀学生，该校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买3个文具袋和2个圆规需46元，购买5个文具袋和10个圆规需110元．
（1）求文具袋和圆规的单价．
（2）学校准备购买文具袋20个，圆规100个，文具店给出两种优惠方案：
方案一：每购买一个文具袋赠送1个圆规．
方案二：购买10个以上圆规时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折．学校选择哪种方案更划算？请说明理由．
【解答】解：（1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元．
依题意，得，
解得．
答：文具袋的单价为12元，圆规的单价为5元．
（2）方案一：总费用为20×12+5×（100﹣20）＝640（元），
方案二：总费用为20×12+10×5+5×80%×（100﹣10）＝650（元），
∵640＜650，
∴选择方案一更划算．
【变式6-3】（2021春•和平区月考）甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠，现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．
（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；
（2）顾客到哪个厂家购买更划算？
【解答】解：（1）到甲厂家购买所需费用为800×3+80（x﹣3×3）＝（80x+1680）元；
到乙厂家购买所需费用为（800×3+80x）×0.8＝（64x+1920）元．
（2）当到甲厂家购买划算时，80x+1680＜64x+1920，
解得：x＜15；
当到甲、乙两厂家购买费用相同时，80x+1680＝64x+1920，
解得：x＝15；
当到乙厂家购买划算时，80x+1680＞64x+1920，
解得：x＞15．
答：当9≤x＜15时，到甲厂家购买更划算；当x＝15时，到两个厂家购买费用相同；当x＞15时，到乙厂家购买更划算．
原料
甲
乙
维生素
600单位
100单位
原料价格
8元
4元
A型
B型
价格（万元/台）
a
b
年载客量（万人/年）
60
100