(湖南专用)中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-10解答题（中档题）（含答案）

这是一份(湖南专用)中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-10解答题（中档题）（含答案），共65页。试卷主要包含了，B两点，，请根据设计方案回答下列问题，，与y轴相交于点C，在抛物线上等内容，欢迎下载使用。
1．（2022•永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了24秒；第二次从滑雪道A端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒．
（1）求x的值；
（2）设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，请用含t的代数式表示v（不要求写出t的取值范围）．
二．二元一次方程组的应用（共2小题）
2．（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？
3．（2022•娄底）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg．
（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
三．一次函数的应用（共1小题）
4．（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhnRhn）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
四．反比例函数综合题（共2小题）
5．（2022•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
6．（2022•湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．
五．二次函数的应用（共1小题）
7．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
六．二次函数综合题（共3小题）
8．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．
10．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
七．平行四边形的性质（共1小题）
11．（2022•长沙）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．
八．菱形的性质（共1小题）
12．（2022•张家界）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ODE≌△FCE；
（2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．
九．菱形的判定（共1小题）
13．（2022•岳阳）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形．
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．
一十．圆周角定理（共1小题）
14．（2022•娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝θ．
（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．
（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．
一十一．直线与圆的位置关系（共1小题）
15．（2022•娄底）如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E．
（1）判定AC与⊙O的位置关系，为什么？
（2）若BC＝3，CD＝，
①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；
②试用sin∠DBC和cs∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α与sinα、csα的关系，并用α＝30°给予验证．
一十二．切线的判定与性质（共1小题）
16．（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
一十三．圆的综合题（共1小题）
17．（2022•株洲）如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．
①求证：△ABD∽△DBE；
②若AB•BE＝6，求⊙O的半径的长度．
一十四．作图-旋转变换（共1小题）
18．（2022•张家界）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．
（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；
（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．
一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
19．（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．
一十六．相似形综合题（共1小题）
20．（2022•郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
一十七．解直角三角形（共1小题）
21．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若CF＝2，sinC＝，求AE的长．
一十八．解直角三角形的应用（共3小题）
22．（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cs25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73）
23．（2022•娄底）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ＝3cm．开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB＝4cm，弹力大小是100N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为300N，已知∠PBC＝120°，求BC的长．
注：弹簧的弹力与形变成正比，即F＝k•Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx＝x﹣x0．
24．（2022•湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：≈1.732）
一十九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
25．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）
二十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
26．（2022•怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
二十一．条形统计图（共2小题）
27．（2022•益阳）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
28．（2022•邵阳）2021年秋季，全国义务教育学校实现课后服务全覆盖．为了促进学生课后服务多样化，某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类、体育类、阅读类、兴趣类四个社团（假设该校要求人人参与社团，每人只能选择一个）．为了了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题．
（1）求抽取参加调查的学生人数．
（2）将以上两幅不完整的统计图补充完整．
（3）若该校有1600人参加社团活动，试估计该校报兴趣类社团的学生人数．
二十二．加权平均数（共1小题）
29．（2022•株洲）某校组织了一次“校徽设计”竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：
（专业评委给分统计表）
记“专业评委给分”的平均数为．
（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；
（2）对于该作品，问的值是多少？
（3）记“民主测评得分”为，“综合得分”为S，若规定：
①＝“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×（﹣1）分；
②S＝0.7+0.3．
求该作品的“综合得分”S的值．
二十三．列表法与树状图法（共4小题）
30．（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角α＝ 度；
（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
31．（2022•张家界）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：
频数分布统计表
根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布统计表中的m＝ ，n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？
（4）若E组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
32．（2022•长沙）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
（1）表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
33．（2022•衡阳）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是 人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；
（2）图②中扇形C的圆心角度数为 度；
（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；
（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．
湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-10解答题（中档题）
参考答案与试题解析
一．一元一次方程的应用（共1小题）
1．（2022•永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了24秒；第二次从滑雪道A端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒．
（1）求x的值；
（2）设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，请用含t的代数式表示v（不要求写出t的取值范围）．
【解答】解：（1）由题意得：24（x+2）＝20（x+3），
解得：x＝3，
答：x的值为3；
（2）从滑雪道A端滑到B端的路程为：24×（3+2）＝120（米），
∵小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，
∴v＝．
二．二元一次方程组的应用（共2小题）
2．（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？
【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．
根据题意得：，
解得：，
答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．
（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳（46﹣a）根，
由题意得：30（46﹣a）+50a≤1780，
解得：a≤20，
答：至多可以购买B种跳绳20根．
3．（2022•娄底）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg．
（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
【解答】解：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为ymg，
由题意得：，
解得：，
答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg；
（2）50000×40＝2000000（mg）＝2kg，
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．
三．一次函数的应用（共1小题）
4．（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhnRhn）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进价为y元/个，
由题意可得：，
解得，
答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进价为64元/个；
（2）设冰墩墩购进a个，则雪容融购进（40﹣a）个，利润为w元，
由题意可得：w＝28a+20（40﹣a）＝8a+800，
∴w随a的增大而增大，
∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，
∴a≤1.5（40﹣a），
解得a≤24，
∴当a＝24时，w取得最大值，此时w＝992，40﹣a＝16，
答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．
四．反比例函数综合题（共2小题）
5．（2022•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
【解答】解：（1）设反比例函数y2＝，把A（2，2）代入，得：2＝，
解得：k＝4，
∴y2＝，
由，解得：，，
∴B（﹣2，﹣2），
由图象可知：当y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜2；
注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（2，2），
∴AE＝OE＝2，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴∠AOE＝45°，OA＝AE＝2，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，OC＝OD，
∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，
∵∠DFO＝90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴DF＝OF，
∵菱形ACBD的周长为4，
∴AD＝，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
∴DF＝OF＝1，
∴D（1，﹣1），
由菱形的对称性可得：C（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
则，
解得：，
∴AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4；
同理可得BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y＝x+，BD所在直线的解析式为y＝x﹣．
6．（2022•湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．
【解答】解：（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，
则四边形OCPD是矩形，
∵以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，
∴PC＝PD，
∴矩形OCPD是正方形，
设PD＝PC＝x，
∵A（3，0）、B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴BD＝4﹣x，
∵PD∥OA，
∴△PDB∽△AOB，
∴，
∴，
解得x＝，
∴P（，），
设过点P的函数表达式为y＝，
∴k＝xy＝＝，
∴y＝；
（2）方法一：∵将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，
∴ON＝NM，MN⊥AB，
由勾股定理得，AB＝5，
∴S△AOB＝S△AON+S△ABN，
∴＝+，
解得，ON＝，
∴N（0，），
设直线AN的函数解析式为y＝mx+，
则3m+＝0，
∴m＝﹣，
∴直线AN的函数解析式为y＝﹣x+．
方法二：利用△BMN∽△BOA，求出BN的长度，从而得出ON的长度，
与方法一同理得出答案．
五．二次函数的应用（共1小题）
7．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，
即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．
六．二次函数综合题（共3小题）
8．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将C（0，﹣3），B（3，0）代入得，
，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴直线MN的解析式为y＝x，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，
把x＝1代入y＝x，得y＝1，
∴D（1，1），
方法一：
设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，
将C（0，﹣3），D（1，1）代 入得，
，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，
当y＝0时，4x﹣3＝0，
∴x＝，
∴E（，0），
∴OE＝．
方法二：
由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3，
∵BC∥MN，
∴△DEO∽△CEB，
∴，
设OE＝x，则BE＝3﹣x，
∴，
解得x＝，
∴OE＝．
②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（Ⅰ）若平行四边形以BC为边时，
由BC∥FD可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），
由点D在直线MN上，设D（t，t），
如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），
∵BC∥MN，
∴∠OBC＝∠DOB，
∵GD∥x轴，
∴∠GDF＝∠DOB，
∴∠OBC＝∠GDF，
又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，
∴△DGF≌△BOC（AAS），
∴GD＝OB，GF＝OC，
∵GD＝t﹣1，OB＝3，
∴t﹣1＝3，
∴t＝4，
∴D（4，4），
如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，
同理可证△DKF≌△COB（AAS），
∴KD＝OC，
∵KD＝1﹣t，OC＝3，
∴1﹣t＝3，
∴t＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣2）；
（Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时，
由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，
如图，四边形BFCD为平行四边形，
设D（t，t），F（1，n），
同理可证△DHC≌△BPF（AAS），
∴DH＝BP，HC＝PF，
∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，
∴，
∴，
∴D（2，2），F（1，﹣5），
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）；
当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）．
9．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），
设直线OA的解析式为y＝kx，
则5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×（m﹣2）×5＝15，
解得：t＝8，
∴点B的坐标为（2，8）；
（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，
当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12），
此时，PA﹣PB＝AB＝＝3．
10．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
【解答】解：在直线y＝2x+2中，
当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），
把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝AO＝1，
此时点P的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝OB＝2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）如图，
点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，
∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为1．
七．平行四边形的性质（共1小题）
11．（2022•长沙）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴OD＝2EF＝3，
由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4．
八．菱形的性质（共1小题）
12．（2022•张家界）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ODE≌△FCE；
（2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．
【解答】（1）证明：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
又∵CF∥BD
∴∠ODE＝∠FCE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）解：四边形ODFC为矩形，证明如下：
∵△ODE≌△FCE，
∴OE＝FE，
又∵CE＝DE，
∴四边形ODFC为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠DOC＝90°，
∴四边形ODFC为矩形．
九．菱形的判定（共1小题）
13．（2022•岳阳）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形．
（1）你添加的条件是 ①或③ （填序号）；
（2）添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．
【解答】（1）解：添加的条件是∠1＝∠2或∠3＝∠4，
故答案为：①或③；
（2）证明：添加①，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，
∴▱ABCD为菱形；
添加③，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AD＝CD，
∴▱ABCD为菱形．
一十．圆周角定理（共1小题）
14．（2022•娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝θ．
（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．
（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形BCFG，四边形BCDE都是菱形，
∴CF∥BG，CD∥BE，CB＝CF＝CD＝BG＝BE，
∵D，C，F共线，
∴G，B，E共线，
∴DF∥EG，DF＝GE，
∴四边形DEGF是平行四边形，
∴EF与BC互相平分．
当EF⊥FG时，∵GF＝BG＝BE，
∴EG＝2GF，
∴∠GEF＝30°，
∴θ＝90°﹣30°＝60°；
（2）解：当tan∠ABC＝2时，EF垂直平分线段AC．
理由：如图（2）中，设AC交EF于点J．
∵四边形BCFG是菱形，
∴∠G＝∠FCO＝90°，
∵EF与BC互相平分，
∴OC＝OB，
∴CF＝BC，
∴FC＝2OC，
∴tan∠FOC＝tan∠ABC，
∴∠ABC＝∠FOC，
∴OJ∥AB，
∵OC＝OB，
∴CJ＝AJ，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠OJC＝90°，
∴EF垂直平分线段AC．
一十一．直线与圆的位置关系（共1小题）
15．（2022•娄底）如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E．
（1）判定AC与⊙O的位置关系，为什么？
（2）若BC＝3，CD＝，
①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；
②试用sin∠DBC和cs∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α与sinα、csα的关系，并用α＝30°给予验证．
【解答】解：（1）AC是⊙O切线，理由如下：
如图，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠OBD＝∠DBC，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴OD∥BC，
∴∠ODA＝∠C＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且AC⊥OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）①在Rt△DBC中，∵BC＝3，CD＝，
∴BD＝＝＝，
∴sin∠DBC＝＝＝，
如图2，连接DE，OD，过点O作OG⊥BC于G，
∴∠ODC＝∠C＝∠CGO＝90°，
∴四边形ODCG是矩形，
∴OG＝CD＝，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴cs∠DBE＝cs∠CBD，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴OB＝BE＝，
∴sin∠ABC＝＝＝；
②∵2sin∠DBC•cs∠DBC＝2××＝，
∴sin∠ABC＝2sin∠DBC•cs∠DBC；
猜想：sin2α＝2sinαcsα，理由如下：
当α＝30°时，sin2α＝sin60°＝，
2sinαcsα＝2××＝，
∴sin2α＝2sinαcsα．
一十二．切线的判定与性质（共1小题）
16．（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
【解答】解：（1）直线BE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵AD∥OE，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴AB＝2r＝6，
∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，
由（1）得：△DOE≌△BOE，
∴DE＝BE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，
∴82+BE2＝（4+DE）2，
∴64+DE2＝（4+DE）2，
∴DE＝6，
∴DE的长为6．
一十三．圆的综合题（共1小题）
17．（2022•株洲）如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．
①求证：△ABD∽△DBE；
②若AB•BE＝6，求⊙O的半径的长度．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOD＝2∠BAC＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OBC＝180°﹣∠BOD＝90°，
∴OB⊥BC，
又OB是⊙O的半径，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）①证明：由（1）知∠BOD＝90°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴∠BDE＝45°＝∠BAD，
∵∠DBE＝∠ABD，
∴△ABD∽△DBE；
②解：由①知：△ABD∽△DBE，
∴＝，
∴BD2＝AB•BE，
∵AB•BE＝6，
∴BD2＝6，
∴BD＝，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴OB＝BD•sin∠BDO＝×＝，
∴⊙O的半径的长度是．
一十四．作图-旋转变换（共1小题）
18．（2022•张家界）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．
（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；
（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．
【解答】解：（1）如图，△A1O1B1即为所求；
（2）如图，△A2O2B2即为所求；
（3）在Rt△AOB中，，
∴．
一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
19．（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB；
（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∵AB是⊙O的直径，AD＝3，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝6，
∴⊙O的半径为3．
一十六．相似形综合题（共1小题）
20．（2022•郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠CED+∠DCE＝90°，
∵EF⊥CE，
∴∠CED+∠AEF＝90°，
∴∠DCE＝∠AEF，
∴△AEF∽△DCE；
（2）解：①连接AM，如图2，
∵BG⊥CF，
∴△BGC是直角三角形，
∵点M是BC的中点，
∴MB＝CM＝GM＝，
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GM＞AM，
当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，
此时，AG+GM取得最小值，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，
∴AG+GM的最小值为5．
②方法一：
如图3，过点M作MN∥AB交FC于点N，
∴△CMN∽△CBF，
∴，
设AF＝x，则BF＝4﹣x，
∴MN＝BF＝（4﹣x），
∵MN∥AB，
∴△AFG∽△MNG，
∴，
由（2）可知AG+GM的最小值为5，
即AM＝5，
又∵GM＝3，
∴AG＝2，
∴，
解得x＝1，
即AF＝1，
由（1）得，
设DE＝y，则AE＝6﹣y，
∴，
解得：y＝3+或y＝3﹣，
∵0＜6，0＜3﹣＜6，
∴DE＝3+或DE＝3﹣．
方法二：
如图4，过点G作GH∥AB交BC于点H，
∴△MHG∽△MBA，
∴，
由（2）可知AG+MG的最小值为5，
即AM＝5，
又∵GM＝3，
∴，
∴GH＝，MH＝，
由GH∥AB得△CHG∽△CBF，
∴，
即，
解得FB＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝1．
由（1）得，
设DE＝y，则AE＝6﹣y，
∴，
解得：y＝3+或y＝3﹣，
∵0＜6，0＜3﹣＜6，
∴DE＝3+或DE＝3﹣．
一十七．解直角三角形（共1小题）
21．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若CF＝2，sinC＝，求AE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠BAC＝2∠OAE，
∵∠FOE＝2∠OAE，
∴∠FOE＝∠BAC，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
方法二：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠OAE＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠OEA，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接EF，
∵CF＝2，sinC＝，
∴，
∵OE＝OF，
∴OE＝OF＝3，
∵OA＝OF＝3，
∴AC＝OA+OF+CF＝8，
∴AB＝AC•sinC＝8×＝，
∵∠OAE＝∠BAE，
∴cs∠OAE＝cs∠BAE，
即，
∴，
解得AE＝（舍去负数），
∴AE的长为．
一十八．解直角三角形的应用（共3小题）
22．（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cs25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【解答】解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．
根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），
∵HG∥BC，
∴∠EGM＝∠ECB＝36°，
在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，
∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），
在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，
∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，
EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），
∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），
∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），
∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．
∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．
23．（2022•娄底）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ＝3cm．开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB＝4cm，弹力大小是100N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为300N，已知∠PBC＝120°，求BC的长．
注：弹簧的弹力与形变成正比，即F＝k•Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx＝x﹣x0．
【解答】解：由题意可得，
x0＝3cm，
100＝k（4﹣3），
解得k＝100，
∴F＝100Δx，
当F＝300时，300＝100×（PC﹣3），
解得PC＝6cm，
由图可得，
∠PAB＝90°，∠PBC＝120°，
∴∠APB＝30°，
∵PB＝4cm，
∴AB＝2cm，PA＝＝2（cm），
∵PC＝6cm，
∴AC＝＝2（cm），
∴BC＝AC﹣AB＝（2﹣2）cm，
即BC的长是（2﹣2）cm．
24．（2022•湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：≈1.732）
【解答】解：作BE⊥AH于点E，
∵∠BAC＝120°，AH平分∠BAC，
∴∠BAE＝60°，
∴AE＝AB•cs60°＝20×＝10（cm），
BE＝AB•sin60°＝20×＝10≈17.32（cm），
∵BD＝CD，∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝45°，
∴DE＝BE＝17.32cm，
∴AD＝AE+DE＝10+17.32＝27.32（cm），
∵，
即，
解得AH≈72，
∴最少需要准备72cm长的伞柄．
一十九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
25．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）
【解答】解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡度为i1＝1：1，
∴＝1，
∴CD＝BD＝20米，
在Rt△ACD中，
∵AC的坡度为i2＝1：，
∴＝，
∴AD＝CD＝20（米），
∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），
∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．
二十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
26．（2022•怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
【解答】解：过A点作AD⊥BC于D点，
由题意知：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝45°，
∴BD＝AD，CD＝AD，
∵BC＝2.4km＝2400m，
∴AD+AD＝2400，
解得：AD＝1200（﹣1）≈876＞800，
故该公路不能穿过纪念园．
二十一．条形统计图（共2小题）
27．（2022•益阳）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
【解答】解：（1）由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），
∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），
答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
（2）由题意知，a＝＝8；
b＝9；c＝8；
答：a，b，c的值分别为8，9，8；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．
28．（2022•邵阳）2021年秋季，全国义务教育学校实现课后服务全覆盖．为了促进学生课后服务多样化，某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类、体育类、阅读类、兴趣类四个社团（假设该校要求人人参与社团，每人只能选择一个）．为了了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题．
（1）求抽取参加调查的学生人数．
（2）将以上两幅不完整的统计图补充完整．
（3）若该校有1600人参加社团活动，试估计该校报兴趣类社团的学生人数．
【解答】解：（1）5÷12.5%＝40 （人），
答：此次共调查了40人；
（2）体育类有40×25%＝10（人），
文艺类社团的人数所占百分比：15÷40×100%＝37.5%，
阅读类社团的人数所占百分比：10÷40×100%＝25%，
将统计图补充完整如下：
（3）1600×12.5%＝200（人），
答：估计喜欢兴趣类社团的学生有200人．
二十二．加权平均数（共1小题）
29．（2022•株洲）某校组织了一次“校徽设计”竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：
（专业评委给分统计表）
记“专业评委给分”的平均数为．
（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；
（2）对于该作品，问的值是多少？
（3）记“民主测评得分”为，“综合得分”为S，若规定：
①＝“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×（﹣1）分；
②S＝0.7+0.3．
求该作品的“综合得分”S的值．
【解答】解：（1）该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数：50﹣40＝10（张），
答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张；
（2）＝（88+87+94+91+90）÷5＝90（分）；
答：的值是90分；
（3）①＝40×3+10×（﹣1）＝110（分）；
②∵S＝0.7+0.3
＝0.7×90+0.3×110
＝96（分）．
答：该作品的“综合得分”S的值为96分．
二十三．列表法与树状图法（共4小题）
30．（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 200 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角α＝ 54 度；
（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【解答】解：（1）①此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），
故答案为：200；
②C组的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），
补全条形统计图如下：
③扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°，
故答案为：54；
（2）3200×＝1120（名），
答：估计该校参加D组（阅读）的学生人数为1120名；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为＝．
31．（2022•张家界）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：
频数分布统计表
根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布统计表中的m＝ 18 ，n＝ 8 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？
（4）若E组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
【解答】解：（1）抽取的总人数为：14÷28%＝50（人），
∴m＝50×36%＝18，
∴n＝50﹣6﹣14﹣18﹣4＝8，
故答案为：18，8；
（2）频数分布直方图补全如下：
（3）（人），
答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人；
（4）列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽取的两名同学恰好是一男一女的概率＝＝．
32．（2022•长沙）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
（1）表中a＝ 30 ，b＝ 0.3 ，c＝ 0.4 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
【解答】解：（1）由题意得：a＝150﹣15﹣45﹣60＝30，b＝45÷150＝0.3，c＝60÷150＝0.4，
故答案为：30，0.3，0.4；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为＝．
33．（2022•衡阳）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是 120 人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；
（2）图②中扇形C的圆心角度数为 90 度；
（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；
（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．
【解答】解：（1）调查学生总数为36÷30%＝120（人），
选择“E．数学园地设计”的有120﹣30﹣30﹣36﹣6＝18（人），
故答案为：120，补全统计图如下：
（2）360°×＝90°，
故答案为：90；
（3）1200×＝300（人），
答：参加成果展示活动的1200名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有300人；
（4）在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：
共有20种可能出现的结果，其中恰好选中B，E这两项活动的有2种，
所以恰好选中B，E这两项活动的概率为＝．
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
c
1.16
（2）班
a
b
8
1.56
专业评委
给分（单位：分）
①
88
②
87
③
94
④
91
⑤
90
组别
时间x（分钟）
频数
A
0≤x＜20
6
B
20≤x＜40
14
C
40≤x＜60
m
D
60≤x＜80
n
E
80≤x＜100
4
成绩x/分
频数
频率
60≤x＜70
15
0.1
70≤x＜80
a
0.2
80≤x＜90
45
b
90≤x＜100
60
c
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
c
1.16
（2）班
a
b
8
1.56
专业评委
给分（单位：分）
①
88
②
87
③
94
④
91
⑤
90
组别
时间x（分钟）
频数
A
0≤x＜20
6
B
20≤x＜40
14
C
40≤x＜60
m
D
60≤x＜80
n
E
80≤x＜100
4
男1
男2
女1
女2
男1
（男1，男2）
（男1，女1）
（男1，女2）
男2
（男2，男1）
（男2，女1）
（男2，女2）
女1
（女1，男1）
（女1，男2）
（女1，女1）
女2
（女2，男1）
（女2，男2）
（女1，女2）
成绩x/分
频数
频率
60≤x＜70
15
0.1
70≤x＜80
a
0.2
80≤x＜90
45
b
90≤x＜100
60
c