广东省广州市白云区2024-2025学年九年级上学期数学期末模考试卷-A4

这是一份广东省广州市白云区2024-2025学年九年级上学期数学期末模考试卷-A4，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图案中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2 . 把抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线为（ ）
A．B．
C．D．
如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，
点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）

A． B．C．D．
4 . 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则此方程的根是（ ）
A．B．C．D．
5． 如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．
若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（ ）

A．1.3mB．1.65mC．1.75mD．1.8m
6 . 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）

A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=
在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中
分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）
A．B．C．D．
8 . 如图，为的直径，弦和相交，若，则的大小是（ ）

A．B．C．D．
9 . 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，
点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）

A．B．2C．D．
10 . 抛物线（，，为常数，，）经过点，，有下列结论：
①一元二次方程的两个根为，；
②若点，在该抛物线上，则；
③对于任意实数，总有；
④．
其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为 ．
如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，
移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.
此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为 m.

如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，
然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，
求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为 ．

14 . 如图，圆锥底面圆的半径，母线长，则这个圆锥的侧面积为 ．

15. 如图所示，点B，A分别在反比例函数和的图象上，轴，
点C在x轴的负半轴上，若，则的值为 ．

16 . 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，
连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：
①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；
④平分正方形的面积；⑤，在以上5个结论中，
其中正确的有 ．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解下列方程：
(1)；
(2)．
18 . 如图，在中，，，以直角顶点C为旋转中心，
将旋转到的位置，其中，分别是A，B的对应点，
且点B在斜边上，直角边交AB于D，求的度数．

19．如图，在中，D为边上一点，．

求证：；
(2) 若，，求的长．
20 . 某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，
随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从
“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，
：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，
随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，
请结合统计图回答下列问题．

（1）本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，
请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率．
21 . 脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，
销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，
经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，
部分数据如表所示．
(1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
22 .如图，是的直径，弦与相交，

如图①，若,求和的度数；
如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点P,若,求的度数．
已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，
点坐标为．

求一次函数和反比例函数的解析式；
求的面积；
观察图象，直接写出不等式的解集；
若为直角三角形，直接写出值．
24 . 已知ΔABC中，，、是边上的点，将绕点旋转，得到，连结．

如图1，当，时，求的度数；
（2） 如图2，当时，求证：．
（3） 如图3，在（2）的结论下，当，与满足怎样的数量关系时，
△是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）
25 . 如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，
抛物线图象经过A，B，C三点．

求A，C两点的坐标；
(2) 求抛物线的解析式；
(3) 若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，
当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值．
2024-2025学年第一学期广东省广州市白云区九年级数学期末模考试卷解答
（ 试题范围：人教版九年级数学 第21章-27章 ）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图案中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．
可知A、B、D是中心对称图形；
选项C、绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合，不是中心对称图形．
故选：C．
2 .把抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像的平移规律进行求解即可：左加右减，上加下减．
【详解】解：把抛物线先向上平移2个单位长度，则所得抛物线为：，
再向左平移4个单位长度，所得抛物线为：，
故选：A．
3.如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，
点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，，，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得分别表示出和，即可作出判断．灵活运用旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
4 . 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则此方程的根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程，先利用根的判别式的意义得到，求出的值可得到方程为，然后利用因式分解法解方程．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
此时方程化为，
，
，
∴．
故选：B．
5．如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．
若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（ ）

A．1.3mB．1.65mC．1.75mD．1.8m
【答案】C
【详解】试题分析：根据比例的性质可得：
，解得：x=1.75，
故选C．
6 . 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=
【答案】C
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．
【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵=tan30°=，
∴，
∵×AD×DO=xy=3，
∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣．
故选C．
7 .在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中
分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用列表法进行计算即可．
【详解】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下：
共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，
∴；
故选B．
8 . 如图，为的直径，弦和相交，若，则的大小是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查圆的知识，连接，根据同弧所对的圆周角相等得，结合直径所对圆周角为直角即可求得答案．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
则，
故选：B．
9 .如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，
点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）

A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】设、，根据题意：利用函数关系式表示出线段，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设点A的坐标为，．则．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
故选：D．
10 . 抛物线（，，为常数，，）经过点，，有下列结论：
①一元二次方程的两个根为，；
②若点，在该抛物线上，则；
③对于任意实数，总有；④．其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据函数图像上点的坐标特征，可得，是一元二次方程的两个根，可判断①；又图像经过点和，从而抛物线对称轴是直线，结合，故当时，随的增大而减小，又点关于直线对称的点为点，且抛物线过点，进而可以判断②；依据题意，从而当时，函数有最大值，故对于任意实数，总有，进而可以判断③；抛物线经过点，则，对称轴是直线，再结合，可判断④．
【详解】解：∵抛物线（，，为常数，，）经过点，，
∴，，
∴一元二次方程的两个根为，，故结论①正确；
∵抛物线（，，为常数，，）经过点，，∴抛物线对称轴是直线，
又∵，
∴时，随的增大而减小，
∵点，在该抛物线上，且点关于直线对称的点为，，
∴，故结论②错误；
∵，
∴当时，函数有最大值，
∴对于任意实数，总有，
∴，故结论③正确；
∵抛物线经过点，
∴，
∵对称轴是直线，，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论④正确，
综上所述，正确的有个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的增长率问题，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出关于x的一元二次方程求解，最后把不符合的答案舍去即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得：，（舍去）
故，
则平均每次降价．
故答案为：．
12.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，
移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.
此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为 m.

【答案】7
【详解】设树的高度为m，由相似可得，解得，所以树的高度为7m
13.如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，
然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，
求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为 ．

【答案】（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，
根据题意得：（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．
故答案是：（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．
14 . 如图，圆锥底面圆的半径，母线长，则这个圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求得扇形的面积即可．
【详解】解：圆锥的底面半径为，
圆锥的底面圆的周长，
圆锥的侧面积．
故答案为：．
15.如图所示，点B，A分别在反比例函数和的图象上，轴，
点C在x轴的负半轴上，若，则的值为 ．

【答案】6
【分析】设A、B点的坐标，利用纵坐标相等和列等式计算即可．
【详解】解：设A点坐标为，B点坐标为，
∴
∵轴，
∴
∵
∴，
∵点在上，
∴
，
，
∵点B，A分别在反比例函数和的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴．
故答案为：6．
16 . 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，
连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：
①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；
④平分正方形的面积；⑤，在以上5个结论中，
其中正确的有 ．

【答案】①②③⑤
【分析】由折叠的性质可得°，由“”可证，可得，由平角的性质可求，故①和②正确；通过证明，可得，可得，故⑤正确；如图1，设．则，通过证明，可得，可求，可得，故③正确；当点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴是直角三角形，
故①②正确，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，故⑤正确，
如图1中，当M与C重合时，

设．则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴，故③正确，
如图2中，

当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，
综上所述，正确的有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）提取公因式即可得到，再解两个一元一次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
或，
．
18 .如图，在中，，，以直角顶点C为旋转中心，
将旋转到的位置，其中，分别是A，B的对应点，
且点B在斜边上，直角边交AB于D，求的度数．

【答案】
【分析】由内角和定理求出，由旋转的性质得到，，得到，再由三角形内角和定理求出，由三角形外角的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴．
19．如图，在中，D为边上一点，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案；
（2）根据相似三角形的性质即可求出的长度．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20 . 某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，
随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从
“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，
：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，
随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，
请结合统计图回答下列问题．

（1）本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，
请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率．
【答案】（1）200，72；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）根据B的人数以及百分比得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（2）求出C组的人数即可补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．
【详解】解：（1）本次调查的学生人数为（名，
扇形统计图中，项对应的扇形圆心角是，
故答案为：200；72；
（2）选项的人数为（名，
补全条形图如下：
（3）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个，
甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为．
21 .脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，
销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，
经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，
部分数据如表所示．
(1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y=-2x+160；
(2)销售单价定为55元时，该商品每天获得的利润最大，最大利润是1250元
【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=kx+b，用待定系数法求解即可；
（2）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【详解】（1）解：设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=kx+b，
将点（30，100）、（40，80）代入一次函数关系式得：
，
解得：．
∴函数关系式为y=-2x+160；
（2）解：由题意得：
w=（x-30）（-2x+160）
=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴当x=55时，w有最大值，此时w=1250．
∴销售单价定为55元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1250元．
22 .如图，是的直径，弦与相交，

(1)如图①，若,求和的度数；
(2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点P,若,求的度数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据是的直径，得到，
结合，可求；结合,可求．
（2）连接，则，根据得，
继而得到，根据得到，继而得到求得，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】（1）∵是的直径，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴．
连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵
∴．
已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，
点坐标为．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)观察图象，直接写出不等式的解集；
(4)若为直角三角形，直接写出值．
【答案】(1)，
(2)
(3)不等式的解集为：或
(4)n的值为：-6，6，，
【分析】（1）根据待定系数求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，根据的坐标待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）求得直线与轴交于点，根据求解即可
（3）由图象可得，直线在双曲线上方部分时，求得的取值范围；
（4）分分别为直角三角形的斜边，三种情况讨论，根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）把代入，得，
所以反比例函数解析式为，
把代入，得，
解得，
把和代入，得，
解得，
所以一次函数的解析式为；
（2）设直线与轴交于点，
中，令，则，
即直线与轴交于点，
∴；
（3）由图象可得，不等式的解集为：或.
（4）
，， ，
，，
①当是斜边时，
解得: 或.
①当是斜边时，
解得:
①当是斜边时，
解得:
的值为：-6，6，，.
24 . 已知ΔABC中，，、是边上的点，将绕点旋转，得到，连结．

（1）如图1，当，时，求的度数；
（2）如图2，当时，求证：．
（3）如图3，在（2）的结论下，当，与满足怎样的数量关系时，
△是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）
【答案】（1）60º；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由旋转得，，根据，即可得到的度数；
（2）证明即可推出；
（3）由（2）的条件求得，，根据△是等腰直角三角形得到，再由得到.
【详解】（1）解：绕点旋转得到，
，，
，，
，
，
（2）证明：在和△中，
，
△，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
由（2），
绕点旋转得到，
，
．
25 .如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，
抛物线图象经过A，B，C三点．

(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，
当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)，的最大值为
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）设抛物线的表达式为：，再把点代入，即可求解；
（3）先求出直线的表达式，然后过点P作y轴的平行线交于点H，根据，可得，设点 ，则点，可得的长，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴点；
（2）解：设抛物线的表达式为：，
把点代入得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（3）解：∵直线过点，
∴可设其函数表达式为：，
将点代入得：
解得：，
故直线的表达式为：，
过点P作y轴的平行线交于点H，
∵，
，
∵轴，
，
∴，
∵，
∴，
设点 ，则点，
∴，
∵ ，
∴有最大值，当时，其最大值为，
此时点．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70