内蒙古呼和浩特市实验中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题 （解析版）-A4

这是一份内蒙古呼和浩特市实验中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题 （解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了 下列函数关系式中， 若是方程的根，则的值为， 对于一元二次方程，下列说法等内容，欢迎下载使用。
满分 100分 考试时间：90分钟
一. 选择题（本题为单选题，包括8小题，1-6题每题2分，7，8题每题3分，共18分）
1. 下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意；
（2），不是二次函数，故不符合题意；
（3）二次函数，故符合题意；
（4）不是二次函数，故不符合题意；
（5）不是二次函数，故不符合题意；
（6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；
综上所述，二次函数有2个．
故选：B．
2. 若是方程的根，则的值为（ ）
A. 2025B. 2027C. 2029D. 2030
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，整体代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则b的值为（ ）
A. 4B. 5C. 0或4D. 0或5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的定义，根据判别式和一元二次方程的定义得到，据此求解即可；对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故选：B．
4. 用配方法解方程，方程变形为，则（ ）
A. 15B. 17C. 23D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得得值，再代值计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴，
∴，
故选：B．
5. 我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等． 问方(面)圆径各若干? ”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少? 设正方形田的边长为x，则可列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据正方形与圆的面积公式求得总面积，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设正方形田的边长为x，则圆的半径等于，则所列方程可以为，
，
故选：C．
6. 下列各图象中有可能是函数的图象（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从和两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，选出正确的答案．
【详解】解：当时，开口向上，顶点在轴的正半轴；
当时，开口向下，顶点在轴的负半轴，
故选：．
【点睛】本题考查的是二次函数系数与图象的关系，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．
7. 如图，四边形中，，，，设的长为，四边形的面积为，则与之间的函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．
【详解】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得： ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF
=×（a+4a）×4a
=10a2
=x2．
故选C．
【点睛】本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．
8. 对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若大是一元二次方程的根，则其中正确的是（ ）
A. 只有①②④B. 只有①②③C. 只有②③④D. 只有①②
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可．
【详解】解：①若，即，
则是原方程的解，即方程至少有一个根，
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：，
故①正确；
②∵方程有两个不相等的实根，
∴，
又∵方程的判别式为，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③是方程的一个根，
∴，
∴，
∴或，即有两种可能性，
故③错误；
④若是一元二次方程的根，
∴根据求根公式得：或，
∴或，
∴，
故④正确．
故选：A．
二. 填空题（本题包括8小题，每题3分，共24分）
9. 已知函数是二次函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；
【详解】解：∵函数是二次函数
∴，解得：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数，注意二次函数的二次项系数不能等于0．
10. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出___________个小分支．
【答案】8
【解析】
【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案．
【详解】解：设每个支干长出x根小分支，
根据题意可得：，
解得或（不符合题意，舍去），
∴每个支干长出8根小分支，
故答案是：8．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．
11. 若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，那么实数a的取值范围是____．
【答案】a≥－1．
【解析】
【详解】解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，
当a≠0时，方程是一元二次方程，
若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2－4a•a≥0，解得：a≥－1．
∴若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥－1．
故答案为：a≥－1．
12. 设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】结合勾股定理，运用换元法解方程即可．
【详解】设此直角三角形的斜边长为c．
根据题意得：
∴
∵ ∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理的知识和一元二次方程的解法，结合勾股定理、换元法用因式分解解方程是解题的关键．
13. 如图，抛物线y=ax2﹣4和y=﹣ax2+4都经过x轴上的A、B两点，两条抛物线的顶点分别为C、D．当四边形ACBD的面积为40时，a的值为_____．

【答案】0.16
【解析】
【分析】根据抛物线的解析式求得点A、B、C、D的坐标；然后求得以a表示的AB、CD的距离；最后根据三角形的面积公式求得S四边形ABCD=S△ABD+S△ABC，列出关于a的方程，通过解方程求得a值即可．
【详解】∵抛物线y=a−4和y=−a+4都经过x轴上的A. B两点，
∴点B、A两点的坐标分别是：、；
又∵抛物线y=a−4和y=−a+4的顶点分别为D、C.
∴点D、C的坐标分别是(0,4)、(0,−4)；
∴CD=8,AB=，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△ABC=AB⋅OD+AB⋅OC=AB⋅CD=×8×=40,即×8×=40，
解得：a=0.16；
故答案是：0.16.
【点睛】本题考查了二次函数的综合题．解得该是题时，须牢记：函数与x轴的交点的纵坐标是0，与y轴的交点的横坐标是0.
14. 下列说法：
①方程是关于的一元二次方程；
②方程的常数项是4；
③当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解；
④若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根．其中正确的是___________．
【答案】④
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的有关概念，解题的关键是理解一元二次方程的有关概念．根据一元二次方程的有关概念进行分析即可．
【详解】解：对于方程，若，则该方程不是关于的一元二次方程，故说法①错误；
方程整理为一般形式为，其常数项是，故说法②错误；
当一次项系数为0时，该方程不一定有解，故说法③错误；
若一元二次方程的常数项为，则必是它的一个根，说法④正确．
故答案为：④．
15. 如图，、、、是矩形的四个顶点，，，动点从点出发，以的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，以的速度向点运动，当时间为__时，点和点之间的距离是．
【答案】或
【解析】
分析】过点作于点，设当t秒时PQ=10cm，利用勾股定理得出即可．
【详解】解：设当时间为时，点和点之间的距离是，
过点作于点，如图：
则，，
故，
解得：，，
即当时间为或时，点和点之间的距离是，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理和矩形的性质，能构造直角三角形是解此题的关键，用了方程思想．
16. 已知关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为为，（其中）， 若是关于的函数， 且，当时，的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，即可得出结论．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，
由求根公式，得，
∴或，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：
三. 解答题（本题包括7小题，共58分）
17. 解方程：
（1）；（公式法）
（2）；（因式分解法）
（3）．
【答案】（1），；
（2），；
（3）
【解析】
【分析】本题考查是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）利用公式法，求出，即可解方程；
（2）先移项，再提公因式，即可解方程；
（3）利用换元法设，将原方程化为，再利用因式分解法求出的值，进而求出的值，即可解方程．
【小问1详解】
解：，
其中，，，
，
，
解得，；
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
解得：，；
【小问3详解】
解：，
设，那么原方程可化为，
，
或，
解得：，
当时，，则，解得：；
当时，，则，解得：；
故原方程的解为．
18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
【答案】（1）m≤
（2）-1
【解析】
【分析】（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【18题详解】
解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
【19题详解】
根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，
∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=．也考查了根的判别式．
19. 某旅行社有客房120间，每间客房的住宿费60元/日，每天都客满，该旅行社在装修后要提高客户住宿费，经市场调查，如果每间客房的住宿费每增加5元/日，那么每天的客房相应空出6间（不考虑其他因素）
（1）旅行社每间客房的住宿费提高到多少元时，客房日总住宿费收入不变？
（2）旅行社将每间客房的住宿费提高，客房日总住宿费收入能否达到7710元？说明理由？
【答案】（1）旅社将每间客房的住宿费提高到100元时，客房日总住宿费收入不变；（2）客房日总住宿费收入不能达到7710元，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设旅社将每间客房的住宿费提高元/日时，则每天的客房会空出间，依题意列方程得：，进行计算即可得；
（2）设旅社将每间客房的住宿费提高元/日时，则每天的客房会空出间，依题意列方程得：，进行计算即可得．
【详解】解：（1）设旅社将每间客房住宿费提高元/日时，则每天的客房会空出间，
依题意列方程得：
解得：（舍去），，
（元），
∴旅社将每间客房的住宿费提高到100元/日时，客房日总住宿费收入不变．
（2）客房日总住宿费收入不能达到7710元，理由如下：
设旅社将每间客房的住宿费提高元/日时，则每天的客房会空出间，
依题意列方程得：
，
，方程无实数根，
∴客房日总住宿费收入不能达到7710元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程．
20. 一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．
（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？
（2）小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位）？
（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程s，时间t的关系为．）
【答案】（1）（m／s）；（2）小球滚动到5 m约用了1.2 s
【解析】
【分析】（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间；
（2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为xs，根据题意列出方程：求解即可．
【详解】解：（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，
即5÷4＝（m/s），
故小球滚动速度平均每秒减少m/s；．
（2）设小球滚动到5m用了 s，
即，
解得（舍），．
答：小球滚动到5 m约用了1.2 s．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度＝（初始速度−末速度）÷时间．
21. 实验中学九年级（）班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数 的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．
（1）函数 的自变量的取值范围是 ；
（2）①列表：下表是的几组对应值，其中 ， ；
②描点：根据表中的数值描点， 请补充描出点， ；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整；
（3）下列关于该函数的说法，错误的是（ ）
． 函数图象是轴对称图形
． 当x>0时，函数值随自变量的增大而增大
． 函数值都是非负数
． 若函数图象经过点与， 则．
（4）点与在函数图象上， 且， 则与的大小关系是 ．
【答案】（1）全体实数;
（2）①，；②画图见解析；③画图见解析；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】（）根据函数解析式即可求解；
（）①把x=-1和x=1代入函数解析式即可求出的值；②根据的值描点即可；③根据表中的对应值及所描点连线即可；
（）根据函数图象逐项判断即可；
（）根据图象可知，当时，函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大，据此即可求解；
本题考查了画二次函数的图象，二次函数的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【小问1详解】
解：函数 的自变量的取值范围全体实数，
故答案为：全体实数；
【小问2详解】
解：①当x=-1时，，
∴，
当x=1时，，
∴，
故答案为：，；
②补充描点如下：
③图象补充完整如下：
【小问3详解】
解：、由函数图象可知，函数图象是轴对称图形，该选项说法正确，不合题意；
、由函数图象可知，当时，函数值随自变量的增大而减小；当x>2时，函数值随自变量的增大而增大，该选项说法错误，符合题意；
、由函数图象可知，取任意实数，函数值，该选项说法正确，不合题意；
、∵函数图象关于轴对称，
∴若函数图象经过点与， 则，该选项说法正确，不合题意；
故选：．
【小问4详解】
解：由函数图象可知，当时，函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大，
∵，
∴，
故答案为：．
22. 已知是关于的一元二次方程的两实数根．
（1）求的取值范围；
（2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积．
【答案】（1）且
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解；
（2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解；
（3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：，且，
化简得：，
解得：且；
【小问2详解】
由题意知：恰好是等腰的腰长，
∴，
∵是关于的一元二次方程的两实数根，
∴，
解得，
∴，
解得，
∵，
∴的周长为：；
【小问3详解】
由(2)知：的三边长为，
∴5，
∴，
过分别作，，，垂足分别为，
∵是△ABC角平分线的交点，
∴，
∴
，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为．
（1）当时， 求A，B两点的坐标；
（2）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标； 若不是，请说明理由．
【答案】（1）点A的坐标为， 点B的坐标为；
（2）经过，．
【解析】
【分析】（1）根据题意得，得出，求解即可；
（2）设，，则，根据题意得，整理得到，从而得出m，n是的两个根，由一元二次方程根与系数的关系得出，，待定系数法求出直线的解析式为，即可得解．
【小问1详解】
解：根据题意得，
整理得到 ，
解得，，
当时，，当时，，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为， 点B的坐标为；
【小问2详解】
解：直线一定过定点
理由如下：
∵A，B是抛物线图象上的点，
∴设，，则，
根据题意，得，
整理得到
∴m，n是的两个根，
∴，，
设直线的解析式为，
根据题意得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
故直线一定过定点．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数、一元二次方程根与系数的关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
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