云南省昭通市2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份云南省昭通市2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷（解析版）-A4，共17页。
注意事项：
1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分共30分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，不合题意；
B、，当时，它不是一元二次方程，不合题意；
C、是二元一次方程，不合题意；
D、是一元二次方程，符合题意．
故选：D
2. 已知点在二次函数图象上，则a的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．直接将点P坐标代入求解即可．
【详解】解：∵点在二次函数图象上，
∴．
故选：B．
3. 一元二次方程的一次项系数是（ ）
A. B. 2xC. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式，找出一元二次方程的一次项，即可得系数值．
【详解】解：一元二次方程一次项的系数是2，
故选：C．
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数顶点式的顶点坐标为，求解即可．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为，
故选：D．
5. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 图象开口向上B. 图象的对称轴是直线
C. 图象与x轴只有一个交点D. 图象经过原点
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据二次项系数小于0可判断A；根据对称轴计算公式可判断B；求出，即可判断C；求出当时，可判断D．
【详解】解：A、∵二次项系数为，
∴函数图象开口向下，原说法错误，不符合题意；
B、对称轴为直线，原说法错误，不符合题意；
C、，则图象与x轴只有一个交点，原说法正确，符合题意；
D、当时，，则图象不经过原点，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
6. 的两条边a，b为方程的两个根，则第三条边c的值不可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系的应用，解题的关键是通过解方程求出a，b．先解一元二次方程求出a，b，再根据三角形三边关系求出第三条边c的取值范围，即可求解．
【详解】解：，
因式分解，得，
解得，，
a，b为方程的两个根，
，或，，
由三角形三边关系得，，即，
观察选项可知，只有A选项满足条件，
故选A．
7. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
8. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除；
故选．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．
9. 把函数的图象平移变换，得到函数的图象，需要（ ）
A. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
B. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
C. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
D. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，根据二次函数表达式，利用平移法则即可得到答案，熟记二次函数图象的平移法则是解决问题的关键．
【详解】解：把函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，即可得到函数的图象，
故选：A．
10. 某厂家2023年3～7月生产的机器数量如图所示，设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为x，则依据题意可列方程（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为，根据题意得
．
故选：D．
11. 关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不同的实数根，
∴，
解得：．
故选：B．
12. 若方程的一个根为2，则方程的另一个根是（ ）
A. 2B. C. D. -3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解与解一元二次方程．将代入方程，求出m的值，从而得到该方程，进而求解方程即可解答．
【详解】解：∵方程的一个根为2，
∴，
∴，
∴方程为，
解得，，
即方程的另一个解为．
故选：C
13. 二次函数图象上有三点、、，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数值比较大小，涉及二次函数图象与性质，先由二次函数图象与性质得到图象上的点离对称轴越近，相应的值就越小，在由已知点计算它们离对称轴距离即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：二次函数，
抛物线对称轴为，
抛物线开口向上，
图象上的点离对称轴越近，相应的值就越小，
、、三点在二次函数图象上，
离对称轴距离为、离对称轴距离为、离对称轴距离为，
，
故选：A．
14. 巴黎奥运会上，一个运动员踢足球．若球的飞行高度与水平距离之间的函数关系式为，则足球在飞行过程中的最大高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题求二次函数最大（小）值，就是要把二次函数写成顶点式，可以看出最大（小）值．
把函数表达式化为二次函数顶点式，开口向下，即可求出足球在飞行过程中的最大高度．
【详解】解：∵，抛物线开口向下，
当时，y有最大值为8．
则足球在飞行过程中的最大高度为．
故选：B．
15. 已知二次函数的图象如图所示，以下结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
【详解】解：A、对称轴为，
，
，故A选项错误，不符合题意；
B、抛物线的开口方向向下，
，
对称轴在轴右侧，
对称轴为，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
，
，故B选项错误，不符合题意；
C、由图象的对称性可知：当时，，故C选项错误，不符合题意；
D、由图象可知，该抛物线与轴有两个不同的交点，
，即；故D选项正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 已知抛物线与x轴交点的横坐标为1，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，解题关键明确交点坐标，代入函数解析式；
把代入中，即可求出
【详解】解：抛物线与x轴交点的横坐标为1，
把代入得，，
∴，
故答案为：
17. 二次函数在范围内的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的最值，解答本题的关键要明确：将一般式化为顶点式，结合二次函数的性质即可求出二次函数的最小值．注意，此题的自变量是有取值范围的．
先求得对称轴与顶点坐标，进而根据二次函数的性质，求得最小值，即可求解．
【详解】解：，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
，
当时，；当时，
．
二次函数在范围内的最小值为．
故答案为：．
18. 用公式法解一元二次方程，得：，则该一元二次方程是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据求根公式确定出方程即可．
【详解】解：根据题意得：，，，
则该一元二次方程是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用公式法额一元二次方程方程，掌握求根公式：是解本题的关键．
19. 如图，二次函数与一次函数的交点A，B的坐标分别为，，则不等式的解集为____________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方或二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知当二次函数图象在一次函数图象上方或二者交点处时自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 按要求解方程：
（1）用配方法解；
（2）用因式分解法解．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程解法，涉及配方法及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解法是解决问题的关键．
（1）先移项得到，再由配方法化简，最后直接开平方即可得到答案；
（2）先因式分解得到，从而确定或，计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：移项得：，
配方得：，即：，
∴，
，；
【小问2详解】
解：因式分解得：，
∴或，
，．
21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、．
（1）求a的取值范围；
（2）若，用公式法求该方程的解．
【答案】（1）且
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程及其解，解答本题的关键在于熟练掌握一元二次方程有关知识点和解法．
（1）方程有两个不相等的实数根用根的判别式即可求出a的取值范围，
（2）根据公式法即可求解方程．
【小问1详解】
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴．解得：．
∵方程是关于x的一元二次方程．
∴，
∴且．
【小问2详解】
∵，，，
∴．
∴．
即，．
22. 如图，某商业区为了规范电动车停放，利用一面20米的墙建一个长方形电动车保管站，其余三面用总长54米的铁质栏杆围起来，其中一侧留有一个2米宽的门（不用铁栏杆），当电动车保管站面积为320平方米时，和的长为多少米？
【答案】16米；20米
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．根据题意设的长为米，则根据图并利用长宽面积，建立方程并求解即可．
【详解】解：设的长为x米，则长为米，
依题意列方程：．
解得：，，
∵，
∴舍去．
∴．
∴长：．
答：当电动车保管站面积为320平方米时，的长为16米，的长为20米．
23. 已知二次函数．
（1）若，则当时，随的增大而______，当时，随的增大而______；（均填“增大”或“减小”）
（2）若该函数图象经过点、，求的值．
【答案】（1）增大，减小
（2）1；
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及二次函数增减性、待定系数法确定函数解析式等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由已知可求得二次函数对称轴为，又，则可知函数图象开口向下，由此即可求解；
（2）将点，代入得，解方程组即可得到，．
【小问1详解】
解：，
二次函数可以看作是二次函数图象沿着轴上下平移得到，
二次函数的对称轴为，
，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
故答案为：增大，减小；
【小问2详解】
解：二次函数图象经过点、，
，解得．
24. 近年来，云南在公路与隧道建设方面成绩显著，已建成通车的公路隧道数量及长度均居全国第一．现有一座隧道的截面由抛物线和长方形构成．在长方形中，长为，长为，隧道最高点位于的中央且距地面，以为轴，为轴建立如图所示的坐标系，若一辆货车高，宽，能否从隧道通过？为什么？
【答案】能，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，确定抛物线解析式为解题关键．设抛物线的方程为，利用待定系数法解得该抛物线解析式，令，解得的值，即可获得答案．
【详解】解：由题意可知抛物线的顶点坐标，设抛物线的方程为，
又∵点在抛物线上，
∴可有，解得，
∴该抛物线的解析式为，
令，则有，
解得，，
∵，
∴该货车可以通过．
25. 抛物线与x轴交干A、B两点，点A在点B的左侧，C是抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若抛物线上有一点P，且，则这样的点P有几个？试求出它们的坐标．
【答案】（1），，
（2）3个；，，
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数面积综合题等知识．
（1）令，解出，，即可得出点A和点B的坐标，根据对称轴直线可求出点C的横坐标， 把点C的横坐标代入二次函数解析式即可得出点C的纵坐标．
（2）可根据列出等量关系，得出，然后分当点P在x轴上方和下方时，分别求出点P的纵坐标即可．
【小问1详解】
解：令，有：，
解得：，，
∴，B4,0．
对称轴直线为：．
∴．
∴．
【小问2详解】
解：满足条件的点P有3个；
根据题意有：，
由（1）知：二次函数解析式为：，．
∴满足时．，
设，
当点P在x轴上方时，，
令，
解得：，
点P在x轴下方时，，
令，
解得，；
∴满足条件的所有点P的坐标为，，
26. 自夏季伊始，我国南方地区由于强降雨或持续降雨的影响，多地出现洪涝、山体滑坡、泥石流等严重灾害．某商家为支援灾区，决定将一个月获得的利润全部捐出，已知该商家购进一批产品，成本为20元/件．原定的售价为每件40元，每月可销售300件，市场调查发现：若这种产品在原定售价的基础上每增加1元，则每月的销量将减少10件，商家决定该产品每件的售价高于40元但不超过50元，设每件产品售价为x元，每月的销售利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）该产品的销售单价定为多少时，能使每月售出产品的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）（）
（2）45元；6250元
【解析】
【分析】本题考查二次函数解决实际问题，解题的关键是列出二次函数，并根据二次函数的性质解答．
（1）设每件产品售价为x元，则每月销售量为件，单件利润为元，根据“每月的销售利润＝单件利润×销售量”即可解答；
（2）根据二次函数的性质即可解答．
小问1详解】
解：由题意，每月销售量为件，即件，单件利润为元，
则，
∴w与x的函数关系式是（）．
【小问2详解】
解：∵，
∴当时，w有最大值，为，
∴该产品的销售单价定为45元时，能使每月售出产品的利润最大，最大利润是6250元．
27. 我们定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标是横坐标的平方，则这个点称为平方点，如．已知某抛物线解析式为．
（1）若该抛物线经过平方点，求b的值；
（2）在（1）的条件下，抛物线经过，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数解析式，利用平方差公式进行因式分解等知识．熟练掌握二次函数解析式，利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．
（1）将点−1,1代入得：，计算求解即可；
（2）由题意知，，将点代入得，即．两边平方得：，则，进而结论得证．
【小问1详解】
解：将点−1,1代入得：，
解得：．
∴b的值为；
【小问2详解】
证明：由题意知，，
将点代入得：，
∴．
两边平方得：，
∴
，
∵左边=右边，