东北三省精准教学2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份东北三省精准教学2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数（i为虚数单位）,则( )
A.2B.C.D.1
2．已知,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知向量,,且,则( )
A.3B.C.D.
4．已知函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.直线是图象的一条对称轴
B.图象的对称中心为,
C.在区间上单调递增
D.将的图象向左平移个单位长度后,可得到一个偶函数的图象
5．正四棱台在古代被称为“方亭”,在中国古代建筑中有着广泛的应用.例如,古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构,台上建有屋宇,称为“榭”,这种结构不仅美观,还具有广瞻四方的功能,常用于观赏和娱乐.在正四棱台中,,,,则( )
A.2B.C.D.3
6．已知等比数列的前n项和为,且,其中.若在与之间插入3个数,使这5个数组成一个公差为d的等差数列,则( )
A.2B.3C.D.
7．已知双曲线的右焦点为F,O为坐标原点,过点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P,Q两点.点P为线段FQ的中点,且,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.2D.3
8．已知是定义在R上的函数,且,,则( )
A.-2B.-3C.D.
二、多项选择题
9．已知,,且,则下列不等式恒成立的有( )
A.B.C.D.
10．如图,菱形ABCD的边长为2,,E为边AB的中点.将沿DE折起,折叠后点A的对应点为A′,使得平面平面,连接,,则下列说法正确的是( )
A.D到平面的距离为
B.四面体的外接球表面积为
C.BC与所成角的余弦值为
D.直线与平面所成角的正弦值为
11．已知函数为R上的奇函数,当时,,且的图象关于点中心对称,则下列说法正确的是( )
A.
B.直线与图象有8个交点
C.是周期为2的周期函数
D.方程所有根的和为
三、填空题
12．已知等差数列,,则_____________.
13．已知集合,,且的非空子集的个数为3,则整数b的一个可能取值为________.
14．已知函数,若恒成立,则a的取值范围是___________.
四、解答题
15．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,的周长为18,b,c,a成递增的等差数列,.点D,E和F分别在BC,AC和AB上,满足,,.
(1)求a,b,c的值;
(2)求证：AD,BE和CF三线交于一点K.
16．如图,在四棱锥中,,,,,平面平面,点E是PC的中点.
(1)证明：平面;
(2)当平面时,求二面角的余弦值.
17．城市活力是城市高质量发展的关键表征,其反映了城市空间治理能力现代化的水平.城市活力由人群活动和实体环境两方面构成,通过数学建模研究表明：一天中,区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富,活动地点总数越多,区域之间人口流动越频繁,城市活力度越高.Q市基于大数据测算城市活力度,发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数来近似刻画,其中正午12点的城市活力度为20,是工作日内活力度的最高值;24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值.
(1)分别求m,n的值;
(2)求该工作日内,Q市活力度不大于10的总时长.
18．已知函数,其中,是自然对数的底数,是的导函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当存在极值时,证明：的极值小于或等于1.
19．记数列的前n项和为,已知.
(1)求的通项公式;
(2)记数列的前n项和为.
（ⅰ）求;
（ⅱ）证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：,.
故选：C.
2．答案：A
解析：因为,所以,即,,
则.当时,,,,
则.故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．答案：B
解析：由可得,解得,故,
故.
故选：B.
4．答案：D
解析：由图易知,,得.
因为,,所以.
因为点在曲线上,所以,所以,又,
所以,,所以函数图象的对称轴应满足,
得,,故直线不是图象的一条对称轴,选项A错误;
由,得,,函数图象的对称中心为,,选项B错误;
由,,得,,当时,,选项C错误;
将的图象向左平移个单位长度后得,平移后的函数是偶函数,选项D正确.
故选：D.
5．答案：B
解析：在正四棱台中,,,,
可得在侧面中,,故,
.
故选：B.
6．答案：B
解析：因为,所以当时,,两式相减得,
即,所以公比为2,,又当时,,得,
所以等比数列的通项公式为,,所以,,公差为.
故选：B.
7．答案：C
解析：方法一：,且P为线段FQ的中点,,,
直线FQ的方程为,与渐近线方程联立,得Q的坐标,
,化简可得即,
双曲线C的离心率.
方法二：因为P为FQ中点,,所以,
又直线OP与直线OQ分别为双曲线C的两条渐近线,得,
所以,故.
故选：C.
8．答案：C
解析：因为,所以当时,,
又,所以.
又由,可得,
所以,
,函数是以4为周期的函数,
所以.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：对于A,,恒成立,选项A正确;
对于B,由基本不等式可得,因为,所以取不到等号,即,选项B正确;
对于C,由,,可得,由指数函数性质易得,选项C正确;
对于D,令,,,选项D错误.
故选：ABC.
10．答案：BCD
解析：因为菱形ABCD中,E为AB的中点,所以,即将沿DE折起后,,,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,则EB,ED,EA′两两垂直,
以E为坐标原点,EB,ED,EA′所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Exyz,
则,,,,,,,.
对于A,设平面的法向量为,取,,D到平面的距离为,选项A错误;
对于B,取CE中点F,连接DF,,,
过F作直线平面,则四面体的外接球球心O在直线l上,
设,该外接球的半径为R,由,得,
解得,,四面体的外接球的表面积为,选项B正确;
对于C,BC与所成角的余弦值为,选项C正确;
对于D,设平面的法向量为,
取,,,选项D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：对于A,的图象关于点中心对称,,当时,,可得,又,,选项A正确;
对于B,因为为R上的奇函数,且为直线与图象的一个交点,所以直线与图象交点为奇数个,选项B错误;
对于C,由的图象关于点中心对称,
,,,
,所以是周期为2的周期函数,选项C正确;
对于D,因为为R上的奇函数,所以当时,,由的周期为2,
可得,函数图象如图所示,当时,令,解得,
当时,有最小值,因为函数为奇函数且图象关于中心对称,所以图象也关于中心对称,当,有两个解,且关于对称,
所以当时,所有根的和为,
结合正弦型函数的周期性和的图象,所有根的和为,选项D正确.
故选：ACD.
12．答案：21
解析：设等差数列的公差为d,由,
可得,即,.
故答案为：21.
13．答案：-5/-6/-7
解析：由可知其图象是以原点为圆心,
以5为半径的右半圆（含（0,））,如图,
的非空子集的个数为3等价于直线与半圆有2个公共点,当直线经过点时,,
当直线与半圆相切时,可得,解得或（舍）,故.
故整数b的可能取值为-5,-6,-7.
故答案为：-5/-6/-7.
14．答案：
解析：由题意,得,恒成立即,恒成立.
,恒成立,化简可得,,
,,
令,,故单调递增,
,,令,,
当时,,当时,,时,取最大值,
,即.
故答案为：.
15．答案：(1),,
(2)证明见解析
解析：(1)因为的周长为18,所以,
由于b,c,a是递增的等差数列,故,
所以,①,
又②,
由①②,解得,,.
(2)由题意可得,,,
所以,,
设BE和CF交于点K,由B,K,E三点共线,得,
由C,K,F三点共线,得,
所以解得
所以,
又,所以,
所以AD过点K,即AD,BE和CF三线交于一点K.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由勾股定理,,
满足,所以.
因为平面平面,平面平面,平面,,
所以平面,
又平面,所以.
因为,平面且,所以平面.
(2)方法一：取AD的中点O,作交BC于M,连接OP,则,
因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,
以O为原点,OA,OM,OP 所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,
所以,,,,设,,,
则,,,.
易知平面PAD的一个法向量为,因为平面,
所以,解得.
因为,所以,解得或（舍）,即.
设平面PBC的一个法向量为,
则,令,得,,可得,
易知平面ABC的一个法向量,
则,
因为二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值为.
方法二：取AD的中点O,连接OP和OC,再取OC的中点Q,连接QE,
在平面ABCD内过点Q作BC的垂线,垂足为点N,连接EN,
因为,且O是AD的中点,所以.
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面.
因为EQ是的中位线,则,
所以平面.
因为平面,所以.
因为,,平面且,
所以平面,又平面,所以,
由二面角的平面角的定义可知,即为二面角的平面角.
连接BQ,并延长BQ交CD于点T.
由,平面,平面,所以平面.
当平面时,,平面且,
所以平面平面.
由平面与平面平行的性质定理可知.
记AC交BT于F,因为点Q是OC的中点,,所以F是AC的中点,
由此可知,,
因为,所以,且.
由,可知,
由得,所以,
,因此,
,
所以二面角的余弦值为.
17．答案：(1),
(2)14小时
解析：(1)由正午12点的城市活力度为20,知,
代入数据得,解得,
24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值,
故,代入数据得,解得.
(2)由(1)知
当时,令,解得,
当时,令,则,
,,
解得,故一日内只有时活力度大于10,
即该工作日内有14个小时活力度不大于10.
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)对求导可得,当时,,
故,,
故曲线在点处的切线方程为,
化简得.
(2)由第(1)问得,求导得,
当时,单调递增,故不存在极值,
当时,存在,使得,且,
此时在上,,单调递减,在上,,单调递增,此时存在极值,
由计算得,
设,,则,
当时,,,
当时,,
所以当时,取得最大值,
故,即的极值小于或等于1.
19．答案：(1),
(2)（ⅰ）,;（ⅱ）证明见解析
解析：(1)当时,,解得,
当时,,所以,
即,是首项和公比均为2的等比数列,,.
(2)方法一：（ⅰ）由,
得,
故.
（ⅱ）因为,故.
方法二：（ⅰ）设数列的通项公式为,则,
当n为6的倍数时,
当n除6余1时,,
当n除6余2时,,
当n除6余3时,,
当n除6余4时,,
当n除6余5时,,
综上所述：
（ⅱ）