2025高考数学一轮复习-4.2-同角三角函数的基本关系式与诱导公式-专项训练模拟练习【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-4.2-同角三角函数的基本关系式与诱导公式-专项训练模拟练习【含解析】，共11页。
一、单选题
1．已知cs θ＝－eq \f(12,13)，若θ是第二象限角，则tan(π＋θ)的值为( )
A．eq \f(5,12) B．eq \f(12,5)
C．－eq \f(5,12) D．－eq \f(12,5)
2．已知α是第四象限角，tan α＝－eq \f(8,15)，则sin α等于( )
A．eq \f(15,17) B．－eq \f(15,17)
C．eq \f(8,17) D．－eq \f(8,17)
3．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且cs α＝－eq \f(5,13)，则eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))),csα＋π)等于( )
A．eq \f(12,13) B．－eq \f(12,13)
C．eq \f(13,12) D．－eq \f(13,12)
4．sin eq \f(29π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(29π,3)))－tan eq \f(25π,4)＝( )
A．0 B．eq \f(1,2)
C．1 D．－eq \f(1,2)
5．已知α是第四象限的角，化简eq \r(\f(1＋sin α,1－sin α))＋eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))的结果是( )
A．eq \f(2,sin α) B．－eq \f(2,sin α)
C．－eq \f(2,cs α) D．eq \f(2,cs α)
6．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值是( )
A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)
7．已知tan θ＝2，则eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ)＋sin2θ的值为( )
A．eq \f(19,5) B．eq \f(16,5)
C．eq \f(23,10) D．eq \f(17,10)
8．已知eq \f(1,tan \f(θ,2))－tan eq \f(θ,2)＝2sin θ，则cs θ＝( )
A．eq \f(\r(5)－2,4) B．eq \f(2－\r(5),2)
C．eq \f(1－\r(5),2) D．eq \f(\r(5)－1,2)
二、多选题
9．已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin(－x)＝sin x B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))＝cs x
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝－sin x D．cs(x－π)＝－cs x
10．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，则下列结论正确的是( )
A．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B．cs θ＝－eq \f(3,5)
C．tan θ＝eq \f(3,4) D．sin θ－cs θ＝eq \f(7,5)
11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝eq \f(π,2)，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－eq \f(1,4)，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin β＝eq \f(\r(15),4) B．cs(π＋β)＝eq \f(1,4)
C．tan β＝eq \r(15) D．tan β＝eq \f(\r(15),5)
三、填空题
12．若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \f(sin θ,cs2θ)＝eq \f(sin θ－cs θ,1－sin 2θ)，则tan θ＝ .
13．设f(tan α)＝sin αcs α，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(11π,6)))＝ .
14．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝ .
15．已知sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，则eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)的值为 .
四、解答题
16．已知eq \f(1＋2sin αcs α,cs2α－sin2α)＝2.
(1)求tan α的值；
(2)求2sin2α＋3sin αcs α－cs2α的值．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．(多选题)在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sineq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))
D．cs(A＋B)＝cs C
2．已知eq \f(sin α,1＋cs α)＝－eq \f(2,3)，则eq \f(sin α,1－cs α)的值是( )
A．eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)
C．eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
3．已知曲线f(x)＝eq \f(2,3)x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则eq \f(sin2α－cs2α,2sin αcs α＋cs2α)＝( )
A．eq \f(1,2) B．2
C．eq \f(3,5) D．－eq \f(3,8)
4．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”．任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串．重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)π＋\f(π,3)))＝( )
A．eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
5．已知x∈(－π，0)，sin x＋cs x＝eq \f(1,5).
(1)求sin x－cs x的值；
(2)求eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)的值．
6．已知第二象限角α满足sin α，cs α是关于x的方程25x2－5x－12＝0的两个实根．
(1)求tan α＋eq \f(1,tan α)的值；
(2)求eq \f(2sin α＋cs α,sin2α2cs α－sin α)的值．
参考答案
【A级 基础巩固】
一、单选题
1．( C )[解析] 由题意求出sin θ，又tan(π＋θ)＝tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)，再将sin θ，cs θ的值代入即可得出答案．∵θ是第二象限角，又cs θ＝－eq \f(12,13)，∴sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(5,13)，∴tan(π＋θ)＝tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(5,12).故选C．
2．( D )[解析] ∵tan α＝－eq \f(8,15)，∴eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(8,15)，
∴sin α＝－eq \f(8,15)cs α代入sin2α＋cs2α＝1，cs2α＝eq \f(225,289)，
∵α是第四象限角，
∴cs α＝eq \f(15,17)，
∴sin α＝－eq \f(8,15)×eq \f(15,17)＝－eq \f(8,17)，故选D．
3．( C )[解析] 由已知得sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(12,13)，
∴eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))),csα＋π)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))·csα＋π)
＝eq \f(cs α,－sin α·－cs α)＝eq \f(1,sin α)＝eq \f(13,12).
4．( A )[解析] 原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(5π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－10π＋\f(π,3)))－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(π,4)))＝sin eq \f(5π,6)＋cs eq \f(π,3)－tan eq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－1＝0.
5．( D )[解析] 原式＝eq \r(\f(1＋sin α2,1－sin α1＋sin α))＋eq \r(\f(1－sin α2,1＋sin α1－sin α))＝eq \r(\f(1＋sin α2,cs2α))＋eq \r(\f(1－sin α2,cs2α))＝eq \f(1＋sin α,|cs α|)＋eq \f(1－sin α,|cs α|)＝eq \f(2,|cs α|)，
因为α是第四象限的角，所以cs α>0，
所以原式化简的结果是eq \f(2,cs α).故选D．
6．( B )[解析] 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3).
7．( C )[解析] 原式＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ)＋eq \f(sin2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ)＋eq \f(tan2 θ,tan2θ＋1)，将tan θ＝2代入上式，则原式＝eq \f(23,10).
8．( D )[解析] 利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简已知等式可得cs θ＝sin2θ>0，进而可得cs2θ＋cs θ＝1，解方程即可求解cs θ的值．因为eq \f(1,tan \f(θ,2))－tan eq \f(θ,2)＝2sin θ，所以eq \f(cs \f(θ,2),sin \f(θ,2))－eq \f(sin \f(θ,2),cs \f(θ,2))＝eq \f(cs2\f(θ,2)－sin2\f(θ,2),sin \f(θ,2)cs \f(θ,2))＝eq \f(cs θ,\f(1,2)sin θ)＝2sin θ，可得cs θ＝sin2θ>0，所以cs2θ＋cs θ＝1，解得cs θ＝eq \f(\r(5)－1,2)(负值舍去)．故选D．
二、多选题
9．( CD )[解析] sin(－x)＝－sin x，故A不成立；
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))＝－cs x，故B不成立；
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝－sin x，故C成立；
cs(x－π)＝cs(π－x)＝－cs x，故D成立．
10．( BD )[解析] 因为sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，所以(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝eq \f(1,25)，
可得2sin θcs θ＝－eq \f(24,25)，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cs θ0，
所以tan2θ－tan θ－1＝0，解得tan θ＝eq \f(\r(5)＋1,2).
13．[解析] 因为f(tan α)＝sin αcs α＝eq \f(sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan α,1＋tan2α)，所以f(x)＝eq \f(x,1＋x2)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(11π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(－\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝－eq \f(2,5).
14．[解析] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))
＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－1＝－eq \f(2＋\r(3),3).
15．[解析] ∵sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，
∴－sin α＝－2cs α，即sin α＝2cs α，
∴tan α＝2，∴eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)＝eq \f(tan α－4,5tan α＋2)＝－eq \f(1,6).
四、解答题
16．[解析] (1)eq \f(1＋2sin αcs α,cs2α－sin2α)
＝eq \f(sin α＋cs α2,cs α－sin αcs α＋sin α)
＝eq \f(sin α＋cs α,cs α－sin α)＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，
解得tan α＝eq \f(1,3).
(2)2sin2α＋3sin αcs α－cs2α＝
eq \f(2sin2α＋3sin αcs α－cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan2α＋3tan α－1,tan2α＋1)＝
eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＋3×\f(1,3)－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＋1)＝eq \f(1,5).
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．( ABC )[解析] 在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．
sineq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cseq \f(A,2)，B正确．
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))，C正确．
cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，D错误．故选ABC．
2．( D )[解析] ∵eq \f(sin α,1＋cs α)×eq \f(sin α,1－cs α)＝eq \f(sin2α,1－cs2α)＝eq \f(sin2α,sin2α)＝1，∴eq \f(sin α,1－cs α)＝－eq \f(3,2).
3．( C )[解析] 由f′(x)＝2x2，得tan α＝f′(1)＝2，所以eq \f(sin2α－cs2α,2sin αcs α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－1,2tan α＋1)＝eq \f(3,5).
4．( A )[解析] 根据“数字黑洞”的定义，任取数字2 021，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即a＝123，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)π＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(82π＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，故选A．
5．[解析] (1)由sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，
平方得sin2x＋2sin xcs x＋cs2x＝eq \f(1,25)，
整理得2sin xcs x＝－eq \f(24,25).
∴(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(49,25).
由x∈(－π，0)，2sin xcs x＝－eq \f(24,25)0知sin x