2024-2025学年陕西省宝鸡市陈仓区九年级(上)期中质量检测数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年陕西省宝鸡市陈仓区九年级(上)期中质量检测数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）
1. 下列方程中为一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A． 是一元二次方程，符合题意；
B． ，整理得，x-2=0，是一元一次方程，故不符合题意；
C． 中的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
D． 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
故选A．
2. 一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球．由此估计盒子中的白球大约有( )
A. 10个B. 15个C. 18个D. 30个
【答案】B
【解析】解：∵共试验400次，其中有240次摸到白球，
∴白球所占的比例为，
设盒子中共有白球x个，则，
解得：x=15.
故选B．
3. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )
A. 15°B. 25°
C. 35°D. 45°
【答案】C
【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，
∴∠A=35°．
∵D为线段AB的中点，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=35°．
故选C．
4. 用配方法解方程时，应将其变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：，
，
，
，
故选：C．
5. 如图，正方形的边长为2，是的中点，，与交于点，则的长为（ ）

A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF＝∠B＝90°，BC＝AB＝AD＝2，
∴∠BAE＋∠2＝90°，
∵AB＝2，E是BC的中点，
∴BE＝1，
∴AE＝，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠1＋∠ADF＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF≌△BAE（ASA），
∴DF＝AE＝；
故选：A．
6. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】A
【解析】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得，
故选：A．
7. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选：D．
8. 如图，已知▱ABCD的顶点C（4，0），D（7，4），点B在x轴负半轴上，点A在y轴正半轴上，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交CB、CD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线CG交边AD于点M．则点M的坐标为（ ）
A. （1，4）B. （2，4）C. （3，4）D. （1.5，4）
【答案】B
【解析】解：根据尺规作图可得CM平分∠DCB，
∴∠MCB=∠MCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BCAD，
∴∠MCB=∠DMC，
∴∠MCD=∠DMC，
∵C（4，0），D（7，4），
∴CD=，
∴DM=CD=5，
∴M（2,4），
故选B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 某鱼塘养了200条鲤鱼、150条鲢鱼和若干条草鱼，通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若随机在鱼塘中捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为_________．
【答案】
【解析】解：设鱼塘养了x条草鱼，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴捞到鲤鱼的概率为；
故答案为．
10. 如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．
【答案】10
【解析】解：根据折叠的性质得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解之得：，
∴，
∴，
故答案为：10．
11. 已知m是一元二次方程一个根，则代数式的值________．
【答案】2018
【解析】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
则．
故答案为：2018．
12. 如图，矩形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，，垂足为点H，若，则AD的长为_______________．

【答案】
【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，
，
，，
∴
在中，
，
，
，
，
故答案为：．
13. 如图，中，，D是上一点，于点E，于点F，连接，则的最小值为________．
【答案】
【解析】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，最短，从而最短；
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分）
14. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）
因式分解，得，
∴或，
解得，；
（2）移项并整理，得，
因式分解，得，
∴或，
解得，．
15. 如图，在中，，，在AB边上求作一点，使CD等于AB的一半．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
解：如图，分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点；
连接，交于点；
∴即为所求；
根据作图可知，垂直平分，
∴为中点，
∴．
16. 在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据．
（1）表中a的值等于________；
（2）估算口袋中白球的个数；
解：（1）根据题意得，；
（2）根据题意得，黑球的频率将稳定在0.25，
∴估计摸到黑球的概率为0.25，
∴求的总个数为（个）
∴白球的个数为（个）．
17. 关于x的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得和互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，，
∴，
∴，
∴；
（2）不存在实数k，使得和互为相反数，理由如下：
∵关于x的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵和互为相反数，
∴，
解得，
又∵，
∴不存在实数k，使得和互为相反数．
18. 如图：已知菱形的周长，，求菱形的面积？
解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵菱形的周长，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴菱形的面积为．
19. 中，，，，点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：
（1）填空：________，________（用含t的代数式表示）
（2）经过几秒，的面积等于？
解：（1）根据题意得，，．
故答案为：，；
（2），
解得：，．
∵，当点Q运动到点C时，两点停止运动，，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
∴，即，
则秒．
20. 如图，现有长的篱笆，要利用一面长的墙围成一个养鸡场，鸡场的一边靠墙，其它三边及中间的隔栏都用篱笆围成．

（1）若鸡场总面积为，求鸡场垂直于墙的边长．
（2）根据现有条件，能否围成总面积为的养鸡场？请说明理由．
解：（1）设鸡场垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，
依题意，，
整理得，
解得或，
当时，则，故舍去，
当时符合题意；
所以鸡场垂直于墙的边长为；
（2）不能围成总面积为的养鸡场．理由如下：
设鸡场垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，
依题意：，
整理得，
此时，
即原方程无实数根，
故根据现有条件，不能围成总面积为的养鸡场．
21. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明．
解：（1）证明：∵，
∴，，
∵是外角的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：当时，四边形为正方形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∴
∴，
∵四边形为矩形，
∴四边形为正方形．
22. 如图，在ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F，连接EF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AB=8，AD=4，求BF的长．
解：（1）证明：∵DEBC，DFAB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵DEBC，
∴∠CBD＝∠EDB．
∴∠ABD＝∠EDB．
∴EB＝ED．
∴平行四边形BFDE是菱形；
（2）解：∵EDBF，∠C＝90°，
∴∠ADE＝90°．
设BF＝x，
∴DE＝BE＝x．
∴AE＝8﹣x．
在RtADE中，AE2＝DE2+AD2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴BF＝3．
23. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
解：设该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低x元，
（1-x）（200+400x）-24=200
-400x2+200x-24=0
即
x1=02，x2=0.3
答：该经营户要想每天盈利200元，应降价0.2元/千克或0.3元/千克.
24. 中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了____________名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.
解：（1）（名），
即在这次调查中，一共抽取了200名学生，
故答案为：200；
（2）参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60（名），
补全条形统计图如图：
（3）（名），
答：估计参加B项活动的学生数有512名；
（4）画树状图如图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，
所以他们参加同一项活动的概率为．
25. 如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F．
（1）求证：PA＝PF；
（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．
（3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由．
解：（1）证明：连接PC，如图所示：
∵ABCD为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴；
（2）PQ的长不变．
理由：连接AC交BD于点O，如图所示：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵四边形ABCD为正方形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴；
（3）如图所示：过点P作，，垂足分别为M，N．
∵四边形ABCD为正方形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵BD平分，，，
∴．
在RT和RT中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
摸到黑球的次数m
26
37
49
124
200
摸到黑球的频率
0.26
0.247
0.245
0.248
a