2024-2025学年江苏省南京市六校高一(上)12月联合调研数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年江苏省南京市六校高一(上)12月联合调研数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】要是函数式子有意义，则需要，解之可得，
函数的定义域为.
故选：C.
2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，，（为坐标原点），
则，所以.
故选：A.
3. 若扇形面积为，圆心角为，那么该扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由扇形的面积公式可得，解得，
所以弧长为.
故选：C.
4. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数，可得，故函数的定义域为，
又，所以是偶函数，
其图象关于轴对称，因此错误；
当0时，，所以错误．
故选：.
5. 设，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，，，
所以的大小关系为.
故选：C.
6. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，即，解得，
所以函数fx的定义域为，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
因为为减函数，所以在上单调递减.
故选：B.
7. 已知函数，且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或1
【答案】B
【解析】当时，，解得（舍去）或，
此时；
当时，，解得，此时.
综上所述，.
故选：B.
8. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递减，
所以，又，所以，
因为函数的图象关于轴对称，
所以为偶数，所以，
函数的定义域为，
且函数在和0,+∞上单调递减，
当时，，当时，，
所以不等式可化为或或，
所以或，所以的取值范围为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题，则命题的否定是
B. 与不是同一个函数
C. 定义在上的函数为奇函数的充要条件是
D. “且”是“”的充分不必要条件
【答案】BD
【解析】A选项：命题，
则命题的否定是，A选项错误；
B选项：定义域：，定义域：，定义域不同，
与不是同一个函数，B选项正确；
C选项：定义在上的奇函数在0处函数值为0，但在0处函数值为0的函数不一定是奇函数；所以他们不是充要条件的关系，C选项错误；
D选项：当且时，成立，满足充分条件；
当时，且不成立，例如，，不满足必要条件；
所以“且”是“”的充分不必要条件，D选项正确.
故选：BD.
10. 若，，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值是 B. 的最大值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
【答案】ACD
【解析】对A：因为，
即（当且仅当即时取“”），故A项正确；
对B：因为，
当且仅当即时取“”，故B项错误；
对C：因为，
所以1a2+4b2≥12（当且仅当即时取“”），故C项正确；
对D：由，所以，
由B知：成立，故D项正确.
故选：ACD.
11. 若定义在上不恒为的，对于都满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 为奇函数
C. D. 在上单调递减
【答案】ABD
【解析】对于A：令，则，所以，故正确；
对于B：令，则，所以，
且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故正确；
对于CD：，则，
因为，所以，所以，所以，
因为，
且，
所以，所以，即，
因为时，，所以，
所以，所以在上单调递减，故D正确；
又因为，且，所以，故C错误.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，则角是第__________象限角.
【答案】三
【解析】因为，所以是第二象限角或者第三象限角，
或者终边在轴的非正半轴，
当时，则是第一象限角或者第三象限角，故是第三象限角.
13. 若函数，且的图象恒过定点，则______.
【答案】
【解析】因为函数的图象恒过定点，
所以，，所以，，
所以.
14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根x1、、、，且，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】作出函数y=fx和函数的图象如下图所示，
则两个函数的图象共有4个交点，且横坐标分别为x1、、、，
且，
，由，得，
则有，所以，
，化简得，，，
由于二次函数图象对称轴为直线，
则点两点关于直线对称，所以，且由图象可知，
所以，又，
由二次函数的性质可得，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，
（1）当时，求与；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1），
当时，，，
所以=，.
（2）因为，所以，
若，，满足题意，
若，，，
由，得，
综上：或.
16. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为.
（1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集；
（2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值.
解：（1）函数定义域为，且在上单调，
由函数在区间上的最大值与最小值之和为，
得，即，解得，
于是；
，
解，得或；
解，即，得或，
因此或，
所以不等式的解集或.
（2）由（1）知，
，
令，由，得，，
当时，，此时；当时，，此时，
所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时.
17. 为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下：
（i）函数的部分图象接近图示；
（ii）每天阅读时间为分钟时，当天得分为分；
（iii）每天阅读时间为分钟时，当天得分为50分；
（iiii）每天最多得分不超过分.
现有以下三个函数模型供选择：
①；
②；
③.
（1）请你根据函数图像性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由；
（2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型，给出函数的解析式；
（3）已知学校要求每天的得分不少于分，求每天至少阅读多少分钟？
解：（1）从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选.
（2）将，代入解析式，得到，解得，，
即
令，可得，解得x=150，
所以函数的解析式为.
（3）由，即，
即，解得，
所以每天得分不少于分，至少需要阅读分钟.
18. 已知定义在上的函数是奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若存在，使得关于的不等式能成立，求实数的取值范围.
解：（1）∵是定义在上的奇函数，∴，∴，
此时，，
∴是奇函数，满足题意，∴.
（2）是上的减函数.
∵，且，
则，
∵，∴，，，∴，
即，∴是上的减函数.
（3）∵是上的奇函数，
∴不等式即为，
∵是上的减函数，∴在时能成立；
令，则，当且仅当时取等号，
故在时能成立，
所以，
令，∵在上均单调递增，
∴在上单调递增，∴，故.
19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数m，n，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
（1）若是由“基函数和”生成的，求的值；
（2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且.
①求函数解析式；
②已知，对于上的任意值，，记，求的最大值.（注：.）
解：（1）由已知，可得，
则，
则，解得，所以实数的值为.
（2）①设，
因为偶函数，所以，
由，可得，
整理可得，即，所以，
所以对任意恒成立，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
故函数的解析式为.
②由①知.
在内任取，且，
则，
因为
，，
所以，，所以，
所以，即，
所以，即，
所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.
设，
则，
所以
，
当且仅当或时，有最大值，
故的最小值为.