(成都专用)中考数学真题模拟题分类汇编专题06 反比例函数综合题（2份，原卷版+解析版）

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（2）过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为：，点；（2）的长为或；（3）点，点
【详解】（1）一次函数的图象过点，
，
，
点，
反比例函数的图象过点，
；
反比例函数的解析式为：，
联立方程组可得：，
解得：，，
点；
（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，
，
，
，
当时，则，
点，
，
当时，则，
点，，
，
综上所述：的长为或；
（3）如图，当时，设直线与轴交于点，过点作轴于，设与轴的交点为，连接，交于点，
直线与轴交于点，
点，
点，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
点，
直线的解析式为：，
联立方程组得：，
解得：，，
点，
直线的解析式为：，
垂直平分，
设的解析式为，
，
，
点，，
点是的中点，点，
点．
2．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点的直线交反比例函数的图象于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）点的坐标为，直线的函数表达式为
【详解】（1）一次函数的图象经过点，
，
解得：，
，
将代入，
得：，
，
反比例函数的表达式为；
（2）如图，过点作轴于点，
在中，令，得，
解得：，
，
，
，
是以为底边的等腰三角形，
，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
，，
，
解得：，
直线的函数表达式为，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
点的坐标为．
3．（2020•成都）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）直线的函数表达式为：或
【详解】（1）反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）直线过点，
，
过点的直线与轴、轴分别交于，两点，
，，，
的面积为的面积的2倍，
，
，
当时，，
当时，，
直线的函数表达式为：或．
4．（2019•成都）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积．
【答案】（1）反比例函数的表达式是；（2）15
【详解】（1）由得，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式是；
（2）解得或，
，
由直线的解析式为得到直线与轴的交点为，
．
5．（2018•成都）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设是直线上一点，过作轴，交反比例函数的图象于点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数解析式为：；（2）点的坐标为，或，
【详解】（1）一次函数的图象经过点，
，得，
一次函数的解析式为，
一次函数的解析式为与反比例函数的图象交于，
，得，
，得，
即反比例函数解析式为：；
（2）点，
，
设点，点，，
当且时，四边形是平行四边形，
，
解得，或，
点的坐标为，或，．
6．（2022•武侯区校级模拟）如图，已知反比例函数的图象经过点，过作轴于点．点为反比例函数图象上的一动点，过点作轴于点，连接．直线与轴的负半轴交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若，求的面积；
（3）是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）6；（3）见解析
【详解】（1）反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数．
（2）轴，，
，
，
，
轴，
，，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为，
，，
，
．
（3）存在．如图，设交于．设，
，
四边形是平行四边形，
，且，
，
，即，解得，
．
7．（2022•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
（1）求点的坐标及反比例函数的表达式；
（2）点是反比例函数的图象上一点，连接，，若的面积为4，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，取位于点下方的点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．点是反比例函数的图象上一点，连接，若，求满足条件的点的坐标．
【答案】（1），反比例函数解析式；（2）或，；（3）或
【详解】（1）将点代入得，，
，
，
反比例函数解析式；
（2）直线与轴交于，
，
在点下方的轴上取点，使，则，
过点作，交双曲线于，
直线的解析式为，
，
解得，（舍，
，
当点在点上方时，同理可得，，
综上：或，；
（3）过点作轴，作于，于，连接，
，，
，，
，
，
，
，，
，
轴，
，
，
，
设直线交轴于，
，
直线的解析式为，
，
解得或，
或．
8．（2022•成华区模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，以为边作，使点在第二象限，，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求直线的表达式；
（3）过点的反比例函数与直线的另一个交点为，求的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）将代入得：，
，
，
将代入得：，
，
反比例函数的表达式为；
（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，
轴，
，，，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
点在第二象限，
，
设直线的表达式为：，代入，，得：
，
解得，
，
直线的表达式为；
（3）如图，设直线与轴的交点为，
，
当时，，
，
，
将代入得：
，
，
联立，
解得（不符合题意，舍去）或，
，
，
的面积为．
9．（2022•锦江区模拟）如图，点坐标为，过点作轴于点，作轴于点，点在第一象限内．
（1）如图1，反比例函数的图象经过点，点，且直线的表达式为，求线段的长；
（2）将线段从（1）中位置绕点逆时针旋转得到（如图，反比例函数的图象过点，交于点，交于点，连接，，．
①若，求的值；
②若时，设的坐标为，求的值．
【答案】（1）；（2）①；②
【详解】（1）反比例函数的图象经过点，点坐标为，
，
反比例函数的解析式为：，
点在双曲线和直线上，
联立和，
解得或，
点在第一象限内，
点，
；
（2）①函数的图象经过点，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
在，由勾股定理得：，
，
整理得，
解得或（舍，
；
②，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，，，，
，
解得（舍或，
的坐标为，
，
由（1）得，
，
，
．
10．（2022•金牛区模拟）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，与反比例函数交于点、，且点坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点在轴正半轴上，且与点，构成以为腰的等腰三角形，求点的坐标．
（3）点在第二象限的反比例函数图象上，若，求点的坐标．
【答案】（1）反比例函数为；（2）点的坐标为，或；（3）
【详解】（1）点在一次函数的图象上，
，
解得：，
，
将代入，得，
反比例函数为；
（2）如图1，过点作轴于，
在直线中，当时，则，
，
由（1）知，，
，
当时，，
，，
当时，点在的垂直平分线，
，
综上所述，点的坐标为，或
（3）作于，过作轴于，轴，交于，
则，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
，
直线的解析式为，
，
解得，，
点与不重合，
．
11．（2022•天府新区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上（点在点右侧），过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点，交于点，过点作轴交于点，连接．设点的横坐标为1，点的横坐标为．
（1）求点的坐标及直线的表达式（直线表达式用含的式子表示）；
（2）求证：四边形为矩形；
（3）若，求的值．
【答案】（1），直线的解析式：；（2）见解析；（3）
【详解】（1）点的横坐标为1，
将点横坐标代入反比例函数，
得，
，
的横坐标为，
代入反比例函数，
得，
，
轴，轴，
，
设的解析式：，
代入点坐标，得，
解得，
直线的解析式：；
（2）轴，轴，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
又轴，轴，
，
四边形为矩形；
（3）四边形为矩形，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
即，
解方程，得或或，
在点右侧，
．
12．（2022•青羊区模拟）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点在的左侧），与轴和轴分别交于，两点．
（1）当时，求，两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接并延长交反比例函数图象的另一支于点，连接交轴于点．若，求反比例函数的表达式．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）反比例函数的表达式为
【详解】（1）当时，反比例函数为，
解得或，
，；
（2）存在一点，使是以点为直角顶点的直角三角形，理由如下：
如图：
设，又，，
，，，
是以点为直角顶点的直角三角形，
，
即，
整理化简得：，
解得或（不符合题意，舍去），
；
（3）过作轴于，过作轴于，如图：
由、在直线上，设，，
由已知可得、关于原点对称，
，
，，
，，
，
，
，
①，
又，都在图象上，
②，
联立①②可解得（不符合题意，舍去）或，
，，，，
把，代入得：，
反比例函数的表达式为．
13．（2022•高新区模拟）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图1，过点的直线分别与轴，轴交于点，，若，连接，求的面积；
（3）如图2，以为边作平行四边形，点在轴负半轴上，点在反比例函数的图象上，线段与反比例函数的图象交于点，若，求的值．
【答案】（1）一次函数的解析式为；（2）7；（3）
【详解】（1）当时，反比例函数，
，
将点代入得，，
一次函数的解析式为；
（2）联立，
或，
，
当时，，
，
，
过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
；
（3）设，
四边形是平行四边形，
，，
，
过作轴的平行线，过点、作的垂线，垂足分别为，，
，，
，
，
，，
点，
点、都在反比例函数上，
，
解得，
．
14．（2022•双流区模拟）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，．已知与的面积满足．
（1）求的面积和的值；
（2）求直线的表达式；
（3）过点的直线分别交轴和轴于，两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3），或，
【详解】（1）一次函数与轴交于，
，
，
，
．
，
点在反比例函数上，
；
（2）点在反比例函数上，
，
，
将代入一次函数得，
，
，
一次函数；
（3）设，当点在轴正半轴上时，
作轴于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
点为的平分线上一点，，
点到轴和轴的距离相等为，
，，
当点在轴负半轴上时，如图，
同理可得，，，
，
点为的平分线上一点，，
点到轴和轴的距离相等为，
，，
当点在轴负半轴上时，不合题意，舍去．
综上：，或，．
15．（2022•温江区模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象向下平移3个单位长度得到，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，，且．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点在轴上，连接，，，直线与反比例函数的图象交于另一点，求的面积．
【答案】（1）一次函数表达式为，反比例函数表达式为；（2）的面积为或
【详解】（1）一次函数的图象由正比例函数的图象向下平移3个单位长度得到，
一次函数表达式为：，
令，则，
，
作轴于，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数表达式为；
（2）点在轴上，设，
，，，
，
，
或4，
当时，即，，
设直线的函数表达式为，
则，
解得．，
直线的解析式为，
当时，或，
，
直线与轴交点，
，
当时，同理可得，，
综上：的面积为或．
16．（2022•新都区模拟）如图，点在反比例函数图象上，四边形是矩形，点和点在轴上，连接，交反比例函数图象于点，并延长交轴于点，连接．
（1）若点坐标是，求反比例函数的表达式；
（2）在（1）小题的条件下，若所在直线的表达式是，求点的坐标；
（3）若的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）
【详解】（1）点在反比例函数图象上，
，
反比例函数表达式为；
（2）由得：，
，
，
，
，；
（3）如图，连结，
四边形是矩形，
轴，，
，
又，
，
，
，
，
，
．
17．（2022•青羊区校级模拟）如图，已知直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与轴交于点，与轴交于点；
（1）如图1，当点坐标为时，
求直线的解析式；
ⅱ若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为2时，求点的坐标；
（2）将直线向右平移2个单位得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值．
【答案】（1）；ⅱ，或，；（2），
【详解】（1）．将代入得，
直线解析式为．
ⅱ．，
，
联立，
解得，，
点坐标为，
，
把代入得，
把代入得，
点坐标为，点坐标为，为等腰直角三角形，
过点作的平行线交轴于点，作于点，
则，
，
，，，
，
为等腰直角三角形，
，
点坐标为，
设解析式为，
将代入得，
解得，
直线解析式为，
令，
解得，，
把代入得，
把代入得，
点坐标为，或，．
（2）将直线向右平移2个单位后解析式为，
直线，，反比例函数关于直线对称，
如图，作直线，交双曲线于点，交直线于点，交直线于点，
令，
解得，
点坐标为，，
令，
解得，
点坐标为，，
令，
解得（舍或，
点坐标为，，
由题意可得点，关于点对称，即为点，的中点，
，
解得，．
18．（2022•龙泉驿区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求反比例函数解析式和点坐标；
（2）如图1，连接，为线段上一点，使得，求点坐标；
（3）在反比例函数图象上是否存在一点（不与重合），直线分别与轴，轴交于点，两点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时直线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）反比例函数解析式为：，点；（2）点；（3）见解析
【详解】（1）直线与轴、轴分别交于，两点，
点，点，
直线与反比例函数的图象交于点，
，，
反比例函数解析式为：，
，
，，
点；
（2）如图，设点的坐标为，
点，点，点，
，，
，
，
，
点；
（3）如图，过点作于，
当时，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点，，
设直线的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
直线的解析式为．
19．（2022•锦江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，轴交反比例函数于点．
（1）求、的值；
（2）如图1，若点为线段上一点，设的横坐标为，过点作，交反比例函数于点．若，求的值．
（3）如图2，在（2）的条件下，连接并延长，交轴于点，连接，在直线上方是否存在点，使得与相似（不含全等）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）见解析
【详解】（1）作轴于，如图
，，
，
直线经过点，
，
解得，
直线解析式为：，
，
，
，，
点坐标为，
将点坐标代入，
得．
（2）轴，
点的纵坐标为3，代入，
得，
点坐标为，
将点横坐标代入，
得，
，
点纵坐标为，
代入，
得，
点坐标为，，
，
，
解方程得或（舍，
．
（3）存在，理由如下：
如图2，过点作轴于点，
由（2）知，，
直线的解析式为：，，，
，
，
．
，．
Ⅰ、当时，如图2所示，设与交于点，
由（2）知，轴，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，，解得；
；
，，
直线的解析式为：；
①若，则，不符合题意，舍去；
②若，
，即，
解得，
设，
，
解得，负值舍去，
；
Ⅱ、当时，
①若，如图4，
，，
，即点在上，，
，
，
，直线的解析式为：；
②若，
，即，
解得，
设，
，
解得，负值舍去，
，；
Ⅲ、当时，，
直线的解析式为：；
①若，则，不符合题意，舍去；
②若，如图5，
，即，
解得，
设，
，
解得，正值舍去，
，；
综上，符合题意的点的坐标为：或或，或，．
20．（2022•新都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
（3）点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3）或
【详解】（1）反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）观察图象，不等式的解集为：或．
（3）连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
21．（2022•锦江区校级模拟）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴于点，连接．
（1）求，的值和点坐标；
（2）将沿轴向右平移，对应得到△，当反比例函数图象经过的中点时，求的面积；
（3）在第一象限内的双曲线上求一点，使得．
【答案】（1），，点的坐标为；（2）；（3），．
【详解】（1）点在的图象上，
，
反比例函数的解析式为：①，
将点的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
故一次函数表达式为：②，
联立①②并解得：或，
点的坐标为；
（2）设向右平移了个单位，如图所示：
轴，
，
点、的坐标分别为、，
点是的中点，
点，，
将点的坐标代入①式并解得：，
点，
过点作轴的平行线交于点，
由点、的坐标，得直线的表达式为：，
当时，，
点，
的面积；
（3）如图，作轴于点，将沿对折，得到，连接交于，作轴于点，
，，
，
，，
，，
，
，
则，，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，，
设直线的解析式为，
将，点坐标代入，得
，解得，
直线为，
联立，
解得，
在第一象限，
，，
点坐标，．
22．（2022•高新区校级模拟）如图1，点、点在直线上，反比例函数的图象经过点．
（1）求和的值；
（2）将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，连接、．
①如图2，当时，过作轴于点，交反比例函数图象于点，求的值；
②在线段运动过程中，连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的值．
【答案】（1），= 8；（2）①；②是以为腰的等腰三角形，满足条件的的值为4或5
【详解】（1）点在直线上，
，
，
直线的解析式为，
将点代入直线的解析式中，得，
，
，
将代入反比例函数解析式中，得；
（2）①由（1）知，，，
反比例函数解析式为，
当时，
将线段向右平移3个单位长度，得到对应线段，
，
即：，
轴于点，交反比例函数的图象于点，
，
，，
；
②如图，将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，
，，
，，
，，
是以为腰的等腰三角形，
Ⅰ、当时，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
Ⅱ、当时，
，，
，
，
，
即：是以为腰的等腰三角形，满足条件的的值为4或5．
23．（2022•郫都区模拟）如图，矩形在平面直角坐标系中，且．，．是边上一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．
（1）当点运动到边的中点时，直接写出的值；
（2）在（1）的条件下，求直线的解析式；
（3）若将沿折叠，点恰好落在边上的点处，求的坐标．
【答案】（1）6；（2）；（3），
【详解】（1），，
，，
是的中点，
，
在反比例函数的图象上，
；
（2）设直线的解析式为：，
由（1）可知，反比例函数的解析式为，
点的纵坐标为3，
点的坐标为，
则，
解得：，
直线的解析式为：；
（3）过点作于，
点的横坐标为4，
，
，
的纵坐标为3，
，，
，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，
，
点的坐标为，．
24．（2022•成都模拟）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式；
（2）将直线向上平移6个单位长度后与轴交于点，与反比例函数的图象在第四象限的交点为点，连接，，求点的坐标及的面积；
（3）在（2）的条件下，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时的取值范围．
【答案】（1）反比例函数解析式：，一次函数解析式为：；（2）6；（3）或
【详解】（1）将点代入反比例函数，
得，
反比例函数解析式：，
将点代入反比例函数，
得，
，
将，点坐标代入一次函数，
得，
解得，
一次函数解析式为：．
（2）如图所示：
根据题意，的解析式为：，
联立，
解得或，
反比例函数的图象在第四象限的交点为点，
，
设直线与轴的交点为，则点坐标为，
平移距离是6，
，，
，
，
．
（3）在（2）的条件下，反比例函数与直线的另一个交点坐标是，
根据图象可知，反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围是：或．
25．（2022•青羊区校级模拟）如图，点是反比例函数图象上的任意一点，过点作轴，交轴于点，交另一个反比例函数的图象于点．
（1）若点坐标为，且，求，的值；
（2）若，且，求点的坐标；
（3）若不论点在何处，反比例函数图象上总存在一点，使得四边形为平行四边形，求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】（1）点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
则点的坐标为，，
轴，
点的纵坐标为4，
，
点的横坐标为，
，
综上所述，，；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
由勾股定理得：，，
，
，即，
解得：，（不合题意，舍去），
点的坐标为；
（3）由题意可知，当四边形为平行四边形时，点在点的上方，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
四边形为平行四边形，
，，
点的坐标为，，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：．
26．（2022•锦江区校级模拟）直线与双曲线交于，两点，是第一象限内的双曲线上点右侧任意一点；
（1）如图1，求，两点坐标；
（2）如图2，连接，若，求点的坐标；
（3）如图3，设直线，分别与轴相交于，两点，且，，求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）2
【详解】（1）当时，
解得，
，；
（2）过点作，交直线于，过作轴的平行线，作于，于，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
直线的解析式为，
，
解得，（舍去），
当时，，
；
（3）作轴于，于，，交的延长线于，
设，
，
，
同理得，，
．
27．（2022•郫都区模拟）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与反比例函数的图象交于点、点．
（1）直接写出点的坐标；
（2）作轴于，作轴于．连接，求证：；
（3）若点在轴上，且满足的点有且只有一个，求的值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）时，存在唯一的点，满足．
【详解】（1）解：当时，，
，
；
（2）证明：连接，，
，，
，
；
（3）解：直线与双曲线的交点为，点，
，
，
设、两点的横坐标为、，
则，，
作轴于，轴于，
，
当时，，
，
，
设，
则，，，，
，
，
当△，
时，存在唯一的点，满足．
28．（2022•双流区校级模拟）已知平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的表达式和直线的表达式；
（2）若在轴上有一异于原点的点，使为等腰三角形，求点的坐标；
（3）若将线段沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线上，当线段与轴有交点时，求的取值的最大值．
【答案】（1）反比例函数的表达式为，直线的解析式为；（2）为等腰三角形时，点的坐标为，或；（3）当线段与轴有交点时，的取值的最大值为
【详解】（1）反比例函数的图象经过点和点，
，
，，
反比例函数的表达式为，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）设，
则，
，
，
为等腰三角形，
或或，
当时，，
，
解得：，
，；
当时，，
，
△，
此方程无解；
当时，，
，
解得：，，
直线与轴交于点，
点，
当时，与点重合，不能构成三角形，舍去，
；
综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为，或；
（3）当点落到轴上时，的取值的最大，如图，
设直线的解析式为，
点的坐标为，
，即．
直线的解析式为．
点始终在直线上，
直线与直线垂直．
．
．
，
由于，因此直线可设为．
点的坐标为，
，即．
直线解析式为．
当时，．则有．
点的坐标为，．
的中点坐标为，即，，
点，在直线上，
．
解得：．
故当线段与轴有交点时，的取值的最大值为．
29．（2022•简阳市模拟）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴和轴上，顶点的坐标为，反比例函数的图象经过对角线的中点，与矩形的边，分别交于点，，设直线的函数表达式为．
（1）求，，的值；
（2）利用图象，直接写出当时的取值范围；
（3）若点在矩形的边上，且为等腰三角形，求点的坐标．
【答案】（1），，；（2）当或时，；（3）点的坐标为，或，或，
【详解】（1）过点作于点，如图：
，，
，
点为对角线的中点，
，
，
，，
，
反比例函数的图象经过点，
，即，
，
点，分别在矩形的边，上，
设，，
点，在上，
，，
，，
，，
将，分别代入得：
，解得，
，
，，；
（2）由图象可知：当或时，；
（3）设，
，，
，，，
当时，，
解得：或（此时不在边上，舍去），
，；
当时，，
解得，
，，
当时，
，
解得（此时不在边上，舍去）或
，，
综上，点的坐标为，或，或，．
30．（2022•青羊区校级模拟）如图，直线与反比例函数的图象相交于点、点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）直接写出不等式的解集．
（3）点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以点．，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的关系式为；（2）不等式的解集为或；（3）以点．，，为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或
【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数中得：
，
反比例函数的关系式为；
（2）点的横坐标为，
，
．
由图象可知，不等式的解集为或；
（3）①当以为一边时，如图，
则；
②当以为一条对角线时，如图，
此时点与原点重合，，
综上，以点．，，为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或．
31．（2022•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点在轴上运动，直线与反比例函数的图象另一交点为点，连接，，当的周长最小时，求点的坐标；
（3）若是轴上一点，是反比例函数图象上第三象限内一点，当四边形是平行四边形时，求点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为：；（2）点，；（3）点
【详解】（1）一次函数的图象与轴交于点，
点，
，
的面积为1，
，
，
当时，，
点，
设反比例函数的解析式为：，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的解析式为：；
（2）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
，
，，
点，
如图，
的周长，且为定值，
当有最小值时，的周长有最小值，
作点关于轴的对称点，连接，
，则当点，点，点三点共线时，有最小值，即的周长有最小值，
点，点，
直线的解析式为：，
当时，，
点，，
点，
直线的解析式为：，
，
解得：，，
点，；
（3）设点，点，
四边形是平行四边形，
与互相平分，
，，
，，
点．
32．（2022•郫都区模拟）如图，一次函数的图象经过点和点，与轴交于点，反比例函数经过点和点，．
（1）求反比例函数和直线的解析式；
（2）点为轴上一动点，且为钝角，求点的纵坐标的取值范围；
（3）点在直线上且在第二象限反比例函数图象的上方运动，过点作轴，轴的垂线分别交反比例函数的图象于点，，直线分别交轴，轴于点，，设点的横坐标为，求的值．
【答案】（1）反比例函数解析式为，直线的解析式为；（2）当时，是钝角；
（3）
【详解】（1）如图，过点作于，连接，
点，
，
，
，
，
点，
，
反比例函数解析式为，
点是反比例函数图象上，
，
，
点，
则，
解得：，
直线的解析式为；
（2）如图，取中点，以直径作，交轴于，
点和点，
，点，
是直径，
，
，
，
或，
当时，是钝角；
（3）点的横坐标为，
设点，
过点作轴，轴的垂线分别交反比例函数的图象于点，，
点，，点，
，，
，
，
，
，
，
点在直线上，
，
，
．
33．（2022•青白江区模拟）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标为，．
（1）求反比例函数及正比例函数的解析式；
（2）点是反比例函数第三象限图象上一点．且，过点的直线与线段相交，点，点到直线的距离分别为，，试求的最大值；
（3）点，在轴上取一点，，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，线段经轴对称变换后得到，当与双曲线有交点时，求的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；正比例函数的解析式为；（2）；（3）
【详解】（1）把，代入，得，
解得：，
反比例函数的解析式为；
把，代入，得，
解得：，
正比例函数的解析式为；
（2）由反比例函数和正比例函数图象的对称性可知：，两点关于原点对称，
，
设，过点作轴于点，过点作于点，如图1，
则，，，，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
解得：（舍去），，
，
，
如图1，过点作于点，过点作于点，于点，
则，
四边形是矩形，
，，
，
当和重合时，的值最大，
，，
最大值是；
的最大值为；
（3）如图2，连接，过作轴于，设直线与交于点，
，，，
轴，即，，，
，
，，
，
，，
，
，，
，，
根据对称性可知点在直线上，
设直线的解析式是，把，，代入，
得，
解得：，
①，
反比例函数的解析式为②，
①②联立得，，
即③，
与双曲线有交点，
△，
解得：，．
又，根据对称性得点横坐标是，
当点为直线与双曲线的交点时，
由③得，，
代入，得，
解得，
而当线段与双曲线有交点时，
或，
，
综上所述，的取值范围是．