(成都专用)中考数学真题模拟题分类汇编专题09 几何压轴题（2份，原卷版+解析版）

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（1）在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．
【拓展延伸】
（3）连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】见解析
【详解】解：（1）四边形和四边形是矩形，
，
，
，
，
在点的运动过程中，与始终保持相似关系；
（2）如图1，是线段中点，
，
设，，则，，，
由（1）知：，
，即，
，
，
，
，
当时，，
当时，；
综上，的值是．
（3）分两种情况：
①如图2，，
设，，
四边形是矩形，
，，
，
，
矩形矩形，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
；
②如图3，，
矩形矩形，
，，
，
，
，
，，共线，
，
，
，
，
，
，，
，
由①可知：，，，
由勾股定理得：，
，
（负值舍），
，
综上，的值是或．
2．（2021•成都）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，其中点，的对应点分别为点，．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长；
（3）如图3，连接，，直线交于点，点为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】解：（1），，，
，
，绕点顺时针旋转得到△，点落在的延长线上，
，，
△中，，
；
（2）过作交于，过作于，如图：
绕点顺时针旋转得到△，
，，
，
，
，
，
中，，，，，
，
中，，
同理，
，，
，
，
，
；
（3）存在最小值1，理由如下：
过作交延长线于，连接，如图：
绕点顺时针旋转得到△，
，，，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
在和△中，
，
△，
，即是中点，
点为的中点，
是△的中位线，
，
要使最小，只需最小，此时、、共线，的最小值为，
最小为．
3．（2020•成都）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
【答案】见解析
【详解】解：（1）四边形是矩形，
，
将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
又矩形中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
设，
平分，，，
，，
设，则，
，
，
解得．
．
．
4．（2019•成都）如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：；
（2）当时（如图，求的长；
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，
，
，，
，
．
（2）解：如图2中，作于．
在中，设，则，
由勾股定理，得到，
，
或（舍弃），
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．
理由：作于，于，于．则，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
，
，
，
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
5．（2018•成都）在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到△（点，的对应点分别为，，射线，分别交直线于点，．
（1）如图1，当与重合时，求的度数；
（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；
（3）在旋转过程中，当点，分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】解：（1）由旋转可得：，
，，，
，
，，
，
，
，
；
（2）为的中点，
，
由旋转可得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3），
最小，即最小，
，
法一：（几何法）取的中点，
，
，即，
当最小时，最小，
，即与重合时，最小，
，，
的最小值，；
法二（代数法）设，，
由射影定理得：，
当最小时，最小，
，
当时，“”成立，
，
的最小值，．
6．（2022•武侯区校级模拟）在菱形中，，，是射线上一点，连接，将沿折叠，得到△．
（1）如图，当点在左侧，且时，求的度数；
（2）当时，求线段的长；
（3）连接，当时，求线段的长．
【答案】见解析
【详解】解：（1）如图1中，设交于点．
由翻折的性质可知，，，
，
，
；
（2）如图2中，过点作于点．
四边形是菱形，
，
，
，
由翻折的性质可知，
，
，
，
，
在中，，，
，
；
（3）如图3中，连接，，过点作于，过点作于点，过点作于点，设交于点．
，
，
，
，
，，
，
，
，
可以假设，，
，，
，
，
在中，则有，
解得或（舍去），
，
，
，
设，则，，，
，
，
，
经检验，是分式方程的解，
．
如图4中，当点在的延长线上时，同法可得，，，
，
设，则，，，
，
，
，
经检验，是分式方程的解，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
7．（2022•武侯区模拟）如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，在线段上取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）如图1，若．
（ⅰ）当，且时，求的度数；
（ⅱ）试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若，当时，求的值．
【答案】见解析
【详解】解：（1）将线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
将线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
；
，理由如下：
过点作于，过点作于，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
；
（3）过点作于，过点作于，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
8．（2022•成华区模拟）在中，，，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，求的值；
（3）连接，是否存在点，使，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，，
，
，
沿直线折叠，点的对应点为，
，
，
；
（2）解：设，、交于点，过点作于点，如图：
，，
，，
，
，，
由折叠可知，，，
又，
，
又，
．
，
设，则，
，
，
，
，
解答，
，
，，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
答：的值为；
（3）解：存在点，使，理由如下：
①当在左侧时，过作于，如图：
沿直线折叠，点的对应点为，
，
，
，
△是等边三角形，
，
，
，，
，
，
在中，设，则，，
、是等腰直角三角形，
，
，，
；
②当在右侧时，过作于，如图：
同理可得，△是等边三角形，
，
，
、是等腰直角三角形，
，
在中，设，则，，
，
，，
，
综上所述，的值为或．
9．（2022•锦江区模拟）如图1，在矩形中，平分交于，过点作交的延长线于点，连接交于点，连接交于点．
（1）求证：①；②；
（2）求证：；
（3）如图2，将绕点旋转得到，连接，．若，，当有最大值时，求的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：①如图1中，
四边形是矩形，
，，
平分，
，
，
，
．
②证明：连接交于点，连接，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，，，五点共圆，
．
（2）证明：，
又，
，
，
，都是等腰直角三角形，
，，
，
，
；
（3）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
当，，共线时，的值最大，
如图中，当点在线段上时，在中，
，
；
如图中，当点在线段的延长线上时，同法可得，
综上所述，的长为或．
10．（2022•金牛区模拟）已知是矩形的对角线，将沿折叠得到，与交点为．
（1）如图1，求证：；
（2）连接交于点，连接交于点，连接，如图2，
①若，，求的值；
②若，求的值．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：将沿折叠得到，
，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
；
（2）解：①如图，连接，
将沿折叠得到，
，平分，
垂直平分，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
①设与相交于点，则，，
，，，
，
，
在中，，
，
的值为，
②由①知，是的中位线，
，，
设，，
则，
，
，
，
，
解得，
，，
．
11．（2022•天府新区模拟）如图1，和中，，，边与相交于点，且，连接，．
（1）求的值；
（2）如图2，连接，，将绕着点在平面内旋转，在旋转过程中是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，当，，三点在一条直线上时，求的长度．
【答案】见解析
【详解】解：（1）不妨设，，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
，
，
即：，
，
，
，
，
即：，
又，
，
；
（3）如图1，
当点在上是，
由（2）得，，
，
，
，
同理可得：，，
，
，
如图2，
当点在的延长线上，
，
综上所述：或．
12．（2022•青羊区模拟）在中，，，是边上一点，连接．
（1）如图1，是延长线上一点，与垂直，求证：；
（2）如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：；
（3）如图3，将（1）中的以点为中心逆时针旋转得△，，对应点分别是，，为上任意一点，为的中点，连接，若，，最大值为，最小值为，求的值．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：如图1，
设的延长线交于，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：如图2，
作交的延长线于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，
点运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设上的高是，垂足为，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环，
当点运动与小圆交于，此时最小，为，
，
延长交大圆于，最大，
，，，
，
，
，
．
13．（2022•高新区模拟）在中，，，点，分别是，边上的动点，连接，作关于对称的图形△．
（1）如图1，当点恰好与点重合，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上，且，求的长；
（3）如图3，若，连接，是的中点，连接，在点的运动过程中，求线段长度的最大值．
【答案】见解析
【详解】解：（1）由题意可得：，，
，
，
，
；
（2）如图，过点作于，延长交于点，
，，
，
，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
设，，
则，
，
，
，
，
，，
由题意可得：，
，
，
；
（3）如图，过点作于，取的中点，连接，，过点作于，
，
，
点是的中点，点是的中点，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点在的延长线上时，有最大值，
，点是的中点，
，，
，
又，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理可得：，
的最大值为．
14．（2022•双流区模拟）如图，在菱形中，过点作于点，菱形的对角线交于点，连接．已知，．
（1）求证：；
（2）连接交于点，求的值；
（3）已知点为折线上一动点，连接．当线段的长为何值时，与互为余角，并求此时直线与直线所夹锐角的正切值．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图1中，延长交于点，交的延长线于点．
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）如图2中，当点在上时，连接，连接交于点，设交于点．
与互为余角，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
如图3中，当点在上时，连接交于点，设交于点．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的直线与直线所夹锐角的正切值为或1．
15．（2022•温江区模拟）在中，，点为边上一动点（不与点、重合），连接，若，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接和，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，点在边上运动的过程中，求的最小值；
（3）试探究、、之间满足的数量关系（用含的式子表示），并证明．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
取的中点，连接，
，
，
设，，
，
，，，
，，
，
，
当时，的最小值为；
（3）解：．
证明：如图2，取的中点，
，
，
，，
，
，
，，
为的中点，
，，
在中，，
．
16．（2022•新都区模拟）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度先沿方向运动到点，再沿方向向终点运动，以、为邻边构造，设点运动的时间为秒．
（1）当点落在边上时，求和的面积；
（2）当点在边上时，设的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）连接，直接写出将分成的两部分图形面积相等时的值．
【答案】见解析
【详解】解：（1）当点落在边上时，，
，
，
，
，
为的中位线，
，
；
（2）①如图1，当时，作于，
则，，
；
②如图，当时，作于，
则，，
同法可得；
综上：；
（3）当点落在直线上时，将分成的两部分面积相等，有两种情况：
①当点在上，且点在上时，如图，
过点作于，过点作于，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
，
，
解得，
当点在上时，此时点在上符合题意，作于，
，
，
，
，
，，
，
解得，
综上：或．
17．（2022•青羊区校级模拟）（1）如图①，在三角形纸片中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长；
（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；
（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
（ⅰ）求线段的长；
（ⅱ）若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．
【答案】见解析
【详解】解：（1），，，
，
将折叠，使点与点重合，
，
，
，，
，
，
；
（2）如图②中，
，
，
由题意垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）（ⅰ）如图③中，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（ⅱ）如图③中，
，，
，
，
，
，
点在线段上运动，，，
，
．
18．（2022•龙泉驿区模拟）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
问题情景：数学课上，老师让同学们以等腰三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，已知为等腰三角形，，，为边上一点（不与，重合），将沿翻折后得到，连接．
操作发现：
（1）如图1，与交于点，求证：；
探究发现：
（2）如图2，当时，探究线段，，之间的数量关系；
探究拓广：
（3）若，当时，求的面积．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，
，
将沿翻折后得到，
，
，
，
，
，
；
（2）延长到，使，连接，过点作于点，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
将沿翻折后得到，
，
又，，
，
，
又，
△，
，
又，
，
，
即，
，
即；
（3）①在上截取，使，连接，过点作于，
设，
，
，
，
，
解得，
，，
，
，，
，
折叠，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是直角三角形，，
，，
，
，
，
，
；
②如图，
在上截取，使，连接，过点作于点，
同理求出，，
，
是直角三角形，，
，
．
19．（2022•锦江区校级模拟）（1）模型研究如图①，在中，，为边延长线上一点，且．则 ；
（2）模型应用如图②，在中，．若，，求的长；
（3）模型迁移如图③，点为边上一点，，，交的延长线于．若，，求的面积．
【答案】见解析
【详解】解：（1）在中，
，，
，
是的外角，
，
故答案为：；
（2）如图1，
以为圆心，长为半径画弧交于，作于，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，
作交延长线于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作于，
，，，
设，则，，
，
由（1）知：，
，
，
由（2）模型知：，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
20．（2022•新都区模拟）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，把绕点旋转，点为射线与的交点．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：；
（2）若，，
①如图2，当点在延长线上时，求的长；
②在旋转过程中，当四边形为正方形时，直接写出线段长度的值．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：和是等腰直角三角形，，
，，，
，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：①和是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
又，，，
，，
，
；
②当四边形为正方形时，点在线段上，
，，，
，
；
如图，当点在线段的延长线上时，
同理．
综上所述可得的长为或．
21．（2022•锦江区校级模拟）如图1，在正方形中，，点是射线上一动点，连接，以为边在上方作正方形，连接，，交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，延长，交于点．若，求线段的长；
（3）在点的运动过程中，求的最小值．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：作于，
，，，
，
，，
设，
，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
；
（3）解：四边形是正方形，
，
作点关于的对称点，连接，
则的最小值为的长，
由勾股定理得，，
的最小值为．
22．（2022•高新区校级模拟）（1）问题探究：如图1，在正方形中，点，分别在边、上，于点，点，分别在边、上，．
①判断与的数量关系： ；
②推断：的值为 ；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，四边形中，，，，，点、分别在边、上，求的值．
【答案】见解析
【详解】解：（1）①证明：四边形是正方形，
，．
．
，
．
．
，
．
故答案为：．
②结论：．
理由：，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：1．
（2）结论：．
理由：如图2，作于．
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
．
（3）如图3，过点作，交的延长线于点，过点作，连接，
，，，
四边形是矩形，
，，，
，，，
，
，
，且，
，且，
，
，
，，
，
，
（不合题意，舍去），，
，
由（2）的结论可知：．
23．（2022•郫都区模拟）在四边形中，点，分别是边，上的点，连接、并延长，分别交，的延长线于点、．
（1）如图1，若四边形是正方形，，连接，求证：；
（2）如图2，若四边形是菱形，，，设，，求与的函数关系式；
（3）如图3，若四边形是矩形，，，，求的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
同理，
，，
，，
，，
，，
；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
同理，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，取中点，过点作，交于点，交于点，连接，
，
，且是中点，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，且，
四边形是平行四边形，且，，
四边形是正方形，
，
四边形是正方形，且，由（2）可得：，
，
，，
，，
，
，
故的长为．
24．（2022•成都模拟）如图，在矩形中，，，平分交于点．连接，点是上一动点，过点作交于点．将绕点旋转得到△．
（1）如图1，连接，，求证：；
（2）当点恰好落在直线上时，若，求的值；
（3）如图3，连接，当与交于点时，猜想与的数量关系，并证明．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
即，
；
（2）如图1，
四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
综上所述：；
（3）如图2，
，理由如下：
于，
（1）得，，
，，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
25．（2022•青羊区校级模拟）【探究发现】
（1）如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合）．连接，作点关于直线的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接，．
①小明探究发现：当点在上移动时，，并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．
证明：延长交于点．
②进一步探究发现，当点与点重合时，的度数为 ．
【类比迁移】
（2）如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，作点关于直线的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接，，，当，，时，求的长；
【拓展应用】
（3）如图③，已知四边形为菱形，，，点为线段上一动点，连接，作点关于直线的对称点，若恰好落在菱形的边上（不与顶点重合），求的长．
【答案】见解析
【详解】（1）①证明：如图①，延长由对称可知，，
，
，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
．
②解：如图1，当点与点重合时，由对称可知，
四边形是正方形，
，
，
由①得到，
，
故答案为：．
（2）解：如图2，延长交于点，
由对称可知，点是的中点，，
，
，
是的中位线，
点是的中点，
，
，
由（1）①得，，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
．
（3）解：如图3，当落在上时，延长交于点，
四边形是菱形，，
，，，
，
同理证得，
，
，
；
如图4，当落在上时，延长交于点，
由轴对称的性质得出，，
，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
又，，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
综上所述，或．
26．（2022•锦江区校级模拟）取一张矩形纸片，为边上一动点，将沿直线折叠得．
（1）如图1，连接，，，当时，试判断的形状；
（2）如图2，连接，当，的最大值与最小值的和为20时，求线段的值；
（3）如图3，当点落在边上，分别延长，交于点，将绕点逆时针旋转得△，分别连接，，取中点连接，试探究线段与的数量关系．
【答案】见解析
【详解】解：（1）结论：是等边三角形．
理由：如图1中，
由翻折变换的性质可知，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）如图2中，连接，
由题意，的最大值为线段的长，设，则最小值为，
当，，共线时，的值最小，
，
，
，
，
，
；
（3）结论：．
理由：如图3中，延长到，使得，连接，，．
，，，
△，
，，
由翻折的性质可知，
，
，
，
，
，
又，
，
，
△，
，，
，
，
，
，，
△是等腰直角三角形，
．
27．（2022•郫都区模拟）如图，矩形 中，点为对角线上一点，过点作交边于点．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，连接，探究线段、、的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若面积的最大值为6，求的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：如图1，
连接，
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
在四边形中，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，
作于，作于，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
即：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，设，，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）如图3，
作于，
设，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
28．（2022•双流区校级模拟）如图1，在菱形中，是对角线，，点、分别是边、上的动点，且满足，连接与相交于点．
（1）求的度数．
（2）如图2，作交于点，若，，求的值．
（3）如图3，点为线段中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当构成等腰三角形时，请直接写出的长．
【答案】见解析
【详解】解：（1）四边形是菱形，，
，
，是等边三角形．
，
，
，
，
；
（2）如图2中，延长至点使得．
，
，
，
，
，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，，
；
（3）如图中，当时，连接交于点，连接，．
，
点在的垂直平分线上，
垂直平分线段，
点在上，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
如图中，当点与重合时，，
延长交于点，设，，，
，，
，
，
，
，，
在中，，，
在中，，
，
整理得，，
解得或（舍弃），
，
．
综上所述，或．
29．（2022•简阳市模拟）已知在正方形中，是边上一动点，作点关于的对称点，交于点，连结．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，过点作交的延长线于点，连结，．若，试探究四边形的形状，并说明理由；
（3）如图3，连结，在上截取，点，分别是，上的动点．若正方形的面积为32，直接写出周长的最小值．
【答案】见解析
【详解】解：（1）如图1，连结，
点、关于对称，
，
四边形是正方形，
，．
．
，．
在四边形中，
，
．即；
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
如图2，连接．
，
．
，
．
在中，，
，
又四边形是正方形，
，
，
又，
．
．
，
．
．
又．
四边形是平行四边形；
（3）周长的最小值为．
如图3，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连结，，．连结交于点，交于点，连结．，则周长的最小值为的长，
由对称知．．．，
．．
．
，．
．，
．
，
．
于点，
点在以为直径的圆弧上运动，
取中点，则．
当、、三点共线时最小．
最小值为，
最小值为．
周长的最小值为．
30．（2022•武侯区校级模拟）在矩形中，点为射线上一动点，连接．
（1）当点在边上时，将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点．
①如图1，若，求的度数；
②如图2，当，且时，求的长．
（2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长．
【答案】见解析
【详解】解：（1）①四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
是等边三角形，
，
；
②由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，即，
解得：（负值已舍去），
即的长为；
（2）当点，，三点共线时，分两种情况：
、如图3，由②可知，，
四边形是矩形，
，，，，
，，
由折叠的性质得：，，
，，
△，
，
，
；
、如图4，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
综上所述，的长为或．
31．（2022•青羊区校级模拟）在中，，，点为线段上一动点（点不与、重合），连接，分别以，为斜边向右侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接．
（1）当点在的外部时，求证：；
（2）如图1，当，，三点共线时，求的面积；
（3）如图2，当点在的延长线上时，其它条件不变，连接，若，求的长．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）和是等腰直角三角形，
，，
，
即，
在中，，
在中，，
，
；
（2），，三点共线，
，
，
，
过点作于点，如图1，
，，
，
在中，，
在中，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
；
（3）过作于点，过作于点，如图2，
由（2）可得：，
在中，，
，，，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
32．（2022•成都模拟）如图，在等腰中，，，点在上，点在上，过点作分别交，于点，，连接，，且满足．
（1）求证：；
（2）当时，求的值；
（3）当点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图1，
作于，
，，
，
，
在中，，
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
（3）解：如图2，
存在点，使得，
连接并延长交于，延长至，使，
，
，
，
由（2）至：，
，
，
，
，
，
设，，
则，，，
，
点，，，共圆，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，（已证），
，
，
，
，
，（舍去），
．
33．（2022•郫都区模拟）（1）如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，延长交于点，连接，．求证：；
（2）如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接，，．如果，，，求的长；
（3）如图③，已知四边形为方形，，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上时（顶点除外），如果，请直接写出此时的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：如图①，延长由对称可知，，
，
，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
．
（2）解：如图2，延长交于点，
由对称可知，点是的中点，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中位线，
点是的中点，
，
，
由（1）得，，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
．
（3）解：以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点，
①如图3，当点在上时，延长交于点，
由（1）可得，，
四边形为菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图4，当点在上时，延长交于点，则，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
综上所述，的长为或．
34．（2022•青白江区模拟）（1）如图1，在正方形中，点、分别在边和上，于点，求证：；
（2）如图2，在矩形中，将矩形折叠，得到四边形，交于点，点落在边上的点处，折痕交边于，交边于，连接交于点；
①若，且，，求与的长；
②先阅读下面内容，再解决提出的问题，当时，我们可以利用配方法求出此时的取值范围．由题意可知，即，显然此时或，所以或，如图3，若，，请根据前述方法直接写出的最大值及此时的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：在正方形中，，
，
，
又，，
，
；
（2）解：①作于，作于，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，，
，，
，
，，
又，
，
，
，；
②设，，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
设，由，
，
化简得，
由△，
即，
或，
（舍或，
的最大值为2，
此时，，．