24 第3章 第4课时　利用导数证明不等式-2025年高考数学一轮复习课件

这是一份24 第3章 第4课时　利用导数证明不等式-2025年高考数学一轮复习课件，共19页。PPT课件主要包含了典例精研核心考点，课时分层作业二十，利用导数证明不等式等内容，欢迎下载使用。
第4课时　利用导数证明不等式
[解]　(1)f ′(x)＝aex－1，当a≤0时，f ′(x)＜0，所以函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，令f ′(x)＞0，得x＞－ln a，令f ′(x)＜0，得x＜－ln a，所以函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．综上可得，当a≤0时，函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
名师点评　一般地，待证不等式的两边含有同一个变量时，可以直接构造“左减右”(或“右减左”)的函数，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值进行证明．提醒：对复杂的式子可以先进行变形，再移项构造函数进行证明．
[跟进训练]1．证明：当x∈[0，2]时，x2e2x-2≥－2x2＋8x－5.[证明]　令g(x)＝x2e2x-2＋2x2－8x＋5，x∈[0，2]，则g′(x)＝2e2x-2(x2＋x)＋4x－8，x∈[0，2].令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝2e2x-2(2x2＋4x＋1)＋4>0，所以g′(x)在[0，2]上单调递增，且g′(1)＝0，所以g(x)在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)＝0，所以g(x)≥0，即x2e2x-2≥－2x2＋8x－5.
名师点评　在同时含ln x与ex的不等式证明中，常采用把对数单独分离的方式，把待证不等式分离．如本例中直接构造函数，求导运算比较复杂，此时把指数与对数分离两边，构造两个函数，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．
考点三　放缩法证明不等式 [典例3]　(12分)设函数f (x)＝ex＋a sin x＋b(a，b为实数)，且曲线y＝f (x)在x＝0处的切线方程为x－y－1＝0.(1)求a，b的值；(2)求证：当x∈(0，＋∞)时，f (x)＞ln x.[规范解答]　(1)f ′(x)＝ex＋a cs x，且f (0)＝1＋b.由题意得f ′(0)＝e0＋a＝1⇒a＝0.············· · ····2分又点(0，1＋b)在切线x－y－1＝0上，所以0－1－b－1＝0⇒b＝－2. ···················4分
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