25 第3章 第5课时　利用导数解决恒(能)成立问题-2025年高考数学一轮复习课件

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第5课时　利用导数解决恒(能)成立问题
法三(数形结合法)：通过变形原不等式等价于证明：x ln x≥a(x－1)＋(2－e)，x∈(0，＋∞)．若令g(x)＝x ln x和h(x)＝a(x－1)＋(2－e)，则只需证明函数g(x)的图象在直线h(x)的上方．首先分析g(x)＝x ln x的图象．可知当x∈(0，e-1)时，g(x)单调递减；当x∈(e-1，＋∞)时，g(x)单调递增，且g(x)min＝g(e-1)＝－e-1.其次分析h(x)＝a(x－1)＋(2－e)的图象．因为a≥0，所以h(x)表示过定点(1，2－e)的非减函数，且g(x)min＝－e-1>2－e.两个函数的图象大致如图1所示，所以如果能说明当g(x)和h(x)相切时二者只有一个切点，如图2，就能求出a的最大值．
名师点评　应用导数研究不等式恒成立问题，基本解题方法是：最值分析、参变分离、数形结合等．在求解过程中，力求“脑中有‘形'，心中有‘数'”．依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界点．提醒：数形结合法，图象是辅助找方法，找思路的步骤．解题时，作图要规范步骤要完整．
[解]　(1)当a＝1时，f (x)＝ex＋x2－x，f ′(x)＝ex＋2x－1.令g(x)＝f ′(x)＝ex＋2x－1(x∈R)，则g′(x)＝ex＋2>0恒成立，∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，又∵g(0)＝0，即f ′(0)＝0，∴当x∈(－∞，0)时，f ′(x)0.综上所述，当a＝1时，f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
考点二　单变量不等式能成立问题[典例2]　(2024·山东青岛模拟节选)已知函数f (x)＝ex－a－ln x，若存在x0∈[e，＋∞)，使f (x0)＜0成立，求实数a的取值范围．
名师点评　能成立问题一般是通过分离参数或移项作差构造函数来解决，能成立问题中的等价转化有以下几种形式：(1)存在x∈[a，b]，f (x)≥a成立⇔f (x)max≥a.(2)存在x∈[a，b]，f (x)≤a成立⇔f (x)min≤a.(3)存在x1∈[a，b]，对任意x2∈[a，b]，f (x1)≤g(x2)成立⇔f (x)min≤g(x)min.
[解]　(1)因为f ′(x)＝a－ex，x∈R，当a≤0时，f ′(x)0时，令f ′(x)＝0，得x＝ln a.由f ′(x)>0，得f (x)的单调递增区间为(－∞，ln a)；由f ′(x)0时，f (x)的单调递增区间为(－∞，ln a)，单调递减区间为(ln a，＋∞)．
名师点评　“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转换，常见的等价转换有(1)∀x1，x2∈D，f (x1)>g(x2)⇔f (x)min>g(x)max.(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f (x1)>g(x2)⇔f (x)min>g(x)min.(3)∃x1∈D1，∀x2∈D2，f (x1)>g(x2)⇔f (x)max>g(x)max.
[解]　(1)因为f (x)＝x sin x＋cs x，所以f ′(x)＝sin x＋x cs x－sin x＝x cs x.当x∈(0，π)时，f ′(x)与f (x)的变化情况如表所示：
巩固课堂所学 · 激发学习思维夯实基础知识 · 熟悉命题方式自我检测提能 · 及时矫正不足
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课时分层作业(二十一)
利用导数解决恒(能)成立问题