26 第3章 第6课时　利用导数解决函数的零点问题-2025年高考数学一轮复习课件

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第6课时　利用导数解决函数的零点问题
名师点评　利用导数求函数的零点个数的常用方法(1)数形结合法．利用导数研究函数的性质，画出相应函数的图象，数形结合求解．(2)零点存在定理法．先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点．(3)分离参数法．转化为一条直线与一个复杂函数图象交点个数问题．
考点二　已知函数零点个数求参数的取值范围[典例2]　(2022·全国乙卷)已知函数f (x)＝ln (1＋x)＋axe－x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若f (x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．[思维流程]　
②若－1g(0)＝1＋a>0，即f ′(x)>0，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，f (x)>f (0)＝0，故f (x)在(0，＋∞)上没有零点，不合题意．③若a0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(0)＝1＋a0，所以存在m∈(0，1)，使得g(m)＝0，即f ′(m)＝0，当x∈(0，m)时，f ′(x)0，f (x)单调递增，所以当x∈(0，m)时，f (x)0，所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故f (x)至多存在一个零点，不合题意．当a>0时，由f ′(x)＝0可得x＝ln a．当x∈(－∞，ln a)时，f ′(x)0．所以f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．故当x＝ln a时，f (x)取得最小值，最小值为f (ln a)＝－a(1＋ln a)．
名师点评　与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
微点突破3　隐零点问题在解导数综合题时，经常会碰到这种情形：导函数存在零点，但是不能求出具体的解，这种零点我们称之为隐零点，相应的问题称为隐零点问题．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．
[典例]　已知函数f (x)＝xex－ln x－1，若f (x)≥mx恒成立，求实数m的取值范围．
名师点评　函数零点存在但不可求时，常虚设零点，利用零点存在定理估计所设零点所在的一个小范围(区间长度小于1个单位)，然后利用零点所满足的关系进行代换化简．
2．设函数f (x)＝ex－x－2，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f ′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
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课时分层作业(二十二)
利用导数解决函数的零点问题