39 第4章 第9课时　正弦定理、余弦定理的应用举例-2025年高考数学一轮复习课件

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第9课时　正弦定理、余弦定理的应用举例
能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是(　　)A．a，c，α　　B．b，c，α　　C．c，a，β　　D．b，α，γ2．(人教A版必修第二册P51练习T1改编)一艘轮船以18 n mile/h的速度沿北偏东40°的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20°方向上10 n mile处有一灯塔，继续行驶20 min后，轮船与灯塔的距离为(　　)A．17 n mile　　B．16 n mile　　C．15 n mile　　D．14 n mile
4．(人教A版必修第二册P53T8改编)如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝________m.
考点一　测量距离问题[典例1]　如图，线段CD是某铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，在四边形ABCD中，测得AB＝50 m，∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°.(1)试求B，D之间的距离及B，C之间的距离；(2)求应开凿的隧道CD的长．
名师点评　距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．
[跟进训练]1．(2024·河南郑州模拟)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.
名师点评　解决高度问题的三个注意事项(1)要理解仰角、俯角的定义．(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．(3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
[跟进训练]2．(2024·湖南长郡中学模拟)如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶P的仰角依次为30°，45°，60°，其中AB＝a，BC＝b(0＜a＜3b)，则此山的高度为(　　)
名师点评　解决角度问题的三个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦值或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．提醒：理解仰角、俯角、方向角、方位角，正确画图是解题的关键．
[跟进训练]3．(1)如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cs ∠DEF＝________．(2)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cs θ的值为________．
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课时分层作业(三十一)
正弦定理、余弦定理的应用举例