56 第7章 第4课时　空间直线、平面的平行-2025年高考数学一轮复习课件

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第4课时　空间直线、平面的平行
从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
1．线面平行的判定定理和性质定理
2．面面平行的判定定理和性质定理
[常用结论]1．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β ，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.2．与平行关系有关的性质(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　　)(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　)(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　)(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α．(　　)
二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P142练习T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD　[若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C.故选D.]
2．(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列命题中正确的是(　　)A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥αD　[A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]3．(人教A版必修第二册P170复习参考题8T7改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______________．平行四边形　[∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．]
4．(人教A版必修第二册P134例1改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件____________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件_____________________时，四边形EFGH为正方形．
AC＝BD且AC⊥BD　
考点一　直线与平面平行的判定与性质考向1　直线与平面平行的判定[典例1]　如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE. [四字解题]
法二(应用面面平行的性质定理)：如图，设G为CD的中点，连接FG，AG.∵F，G分别为PD，CD的中点，∴FG∥PC.又E为AB中点，四边形ABCD为平行四边形，∴AE綉GC，∴四边形AECG为平行四边形，AG∥EC，又FG⊄平面PCE，AG⊄平面PCE.PC⊂平面PCE，EC⊂平面PCE，∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE.又FG，AG⊂平面AFG，FG∩AG＝G，∴平面AFG∥平面PCE.又AF⊂平面AFG，∴AF∥平面PCE.
考向2　线面平行性质定理的应用[典例2]　如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B.[证明]　在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.
名师点评　判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．提醒：应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
[跟进训练]1．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
[解]　(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE.又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.
考点二　平面与平面平行的判定与性质[典例3]　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明]　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.
2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
[证明]　如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.
名师点评　证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．
[跟进训练]2．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l.
[证明]　(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
【教师备选资源】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
[证明]　(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，由题意得平面A1C1G∩BC＝H，即平面A1C1G∩平面ABC＝GH，∴A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
[解]　(1)证明：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，∴NQ∥CD，MQ∥PC.∵NQ∩MQ＝Q，CD∩PC＝C，且NQ，MQ⊂平面MNQ，CD，PC⊂平面PCD，∴平面MNQ∥平面PCD.
名师点评　三种平行关系的转化线线平行 线面平行 面面平行提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明．
[跟进训练]3．如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
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本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？
课时分层作业(四十四)