58 第7章 第6课时　空间向量的运算及其应用-2025年高考数学一轮复习课件

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第6课时　空间向量的运算及其应用
了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
1．空间向量及其有关定理
2．空间向量的数量积非零向量a，b的数量积a·b＝__________________．3．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
|a||b|cs〈a，b〉
a1b1＋a2b2＋a3b3
4．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a____的非零向量称为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．5．空间位置关系的向量表示
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(　　)(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c．(　　)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　　)
二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则(　　)A．α∥β　　　　　　B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 　D．以上均不对C　[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]
3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P22练习T3改编)已知点A(1，2，2)，B(1，－3，1)，点C在Oyz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为(　　)A．(0，1，－1) 　　B．(0，－1，4) 　C．(0，1，－6) 　　D．(0，2，10)
BC　[依题意，点C在Oyz平面上，设C(0，y，z)，由于|AC|＝|BC|，|AC|2＝|BC|2，所以12＋(y－2)2＋(z－2)2＝12＋(y＋3)2＋(z－1)2，整理得5y＋z＋1＝0，通过验证可知，(0，－1，4)，(0，1，－6)符合，所以BC选项正确．故选BC.]
名师点评　空间向量线性运算中的三个关键点
【教师备选资源】以下四组向量在同一平面的是(　　)A．(1，1，0)，(0，1，1)，(1，0，1) 　B．(3，0，0)，(1，1，2)，(2，2，4)C．(1，2，3)，(1，3，2)，(2，3，1) 　D．(1，0，0)，(0，0，2)，(0，3，0)
名师点评　空间向量数量积的应用
考点三　利用向量证明平行与垂直[典例3]　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角，求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.
名师点评　1．利用向量法证明平行问题(1)线线平行：方向向量平行．(2)线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直．(3)面面平行：两平面的法向量平行．2．利用向量法证垂直问题(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直．(3)面面垂直：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．
[跟进训练]3．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
巩固课堂所学 · 激发学习思维夯实基础知识 · 熟悉命题方式自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？
课时分层作业(四十七)
空间向量的运算及其应用