65 第8章 第3课时　圆的方程-2025年高考数学一轮复习课件

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理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.
能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则__________________________．(2)若M(x0，y0)在圆上，则__________________________．(3)若M(x0，y0)在圆内，则__________________________．[常用结论]1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
2．(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4　　B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4　　D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
4．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为____________________．
x2＋y2－2x＝0　
(x－1)2＋(y＋1)2＝5　
名师点评　求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[跟进训练]1．(1)若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　)A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______________ ，半径是________．
【教师备选资源】1．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　)A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3，0)C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个D．所有圆的面积均为4πABD　[圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－40，∴此方程有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选ABD.]
2．如图，点A(0，8)，B(0，2)，那么在x轴正半轴上存在点C，使得∠ACB最大，这就是著名的米勒问题．那么当∠ACB取得最大时，△ABC外接圆的标准方程是 ____________________．(x－4)2＋(y－5)2＝25　[因为点A，B是y轴正半轴上的两个定点，点C是x轴正半轴上的一个动点，根据米勒定理及圆的几何性质可知，当△ABC的外接圆与x轴相切时，∠ACB最大．由垂径定理可知，弦AB的垂直平分线必过△ABC外接圆的圆心，所以弦AB的中点G的纵坐标，即为△ABC外接圆半径的大小，即r＝5，依题意，设△ABC的外接圆圆心为(a，5)，a＞0，可得△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－5)2＝25，把点A(0，8)代入圆的方程，求得a＝4(负值舍去)，所以△ABC的外接圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25．]
(x－4)2＋(y－5)2＝25　
考点三　与圆有关的轨迹问题[典例5]　已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
名师点评　求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．提醒：注意特殊点的取舍．
[跟进训练]3．如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．
巩固课堂所学 · 激发学习思维夯实基础知识 · 熟悉命题方式自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？
课时分层作业(五十二)