70 第8章 第8课时　抛物线-2025年高考数学一轮复习课件

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掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程
掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
了解抛物线的简单应用.
1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离____的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的____，直线l叫做抛物线的____．
2．抛物线的标准方程与几何性质


3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)A．9 　　B．8 　　C．7 　　D．6B　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．]4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为__________________．y2＝－8x或x2＝－y　[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]
y2＝－8x或x2＝－y　
考点一　抛物线的定义及应用考向1　动点轨迹的判定[典例1]　(1)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为(　　)A．y2＝2x　　　　B．y2＝4xC．y2＝－4x 　D．y2＝－8x(2)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　)A．直线 　B．椭圆C．双曲线 　D．抛物线
(1)D　(2)D　[(1)由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.故选D.(2)设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1．又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1．根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D.]
考向2　抛物线上的点到定点的距离及最值[典例2]　(1)(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　)A．7　　B．6 　　C．5　　D．4(2)已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．(1)D　(2)42或22　[(1)如图所示，因为点M到直线x＝－3的距离|MR|＝5，所以点M到直线x＝－2的距离|MN|＝4.又抛物线上点M到准线x＝－2的距离和到焦点F的距离相等，故|MF|＝|MN|＝4.故选D.
名师点评　抛物线定义的应用规律
名师点评　1．求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的标准方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．2．抛物线性质的应用要树立两个意识(1)转化意识：“见准线想焦点，见焦点想准线”．(2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算．
[跟进训练]2．(1)(2023·湖北武汉二模)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝(　　)A．3　　B．6 　　C．9　　D．12(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为(　　)A．y2＝8x 　　B．y2＝4x　　C．y2＝2x 　　D．y2＝x(3)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为________．
【教师备选资源】(2023·广东佛山二模)已知方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F.现有四位同学对该方程进行判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中真命题有(　　)A．1个　B．2个　C．3个　D．4个
名师点评　解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．(3)重视在选择、填空题中有关结论的灵活应用．
[跟进训练]3．(1)(2024·广东深圳模拟)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与C交于A，B两点(A在B的左边)，则4|AF|＋|BF|的最小值是(　　)A．10　　B．9 C．8　　D．5(2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　)A．C的准线为y＝－1B．直线AB与C相切C．|OP|·|OQ|＞|OA|2D．|BP|·|BQ|＞|BA|2
[典例2]　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p的值；(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
巩固课堂所学 · 激发学习思维夯实基础知识 · 熟悉命题方式自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？
课时分层作业(五十八)　抛物线(一)
课时分层作业(五十九)　抛物线(二)