75 第9章 第1课时　两个计数原理、排列与组合-2025年高考数学一轮复习课件

这是一份75 第9章 第1课时　两个计数原理、排列与组合-2025年高考数学一轮复习课件，共35页。PPT课件主要包含了考试要求，链接教材夯基固本，典例精研核心考点等内容，欢迎下载使用。
第1课时　两个计数原理、排列与组合
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
会用两个计数原理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．
理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
3．排列数、组合数的定义、公式、性质
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　)(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)
3．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生，4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
考点一　两个计数原理及综合应用[典例1]　(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)A．24　　B．18　C．12　　D．9
(2)(2024·江苏常州模拟)中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同．若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有(　　)A．1 050种 　B．1 260种 C．1 302种 　D．1 512种(3)(2023·山东济南二模)已知abc表示一个三位数，如果满足a>b且c>b，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共________个(用数字作答)．
名师点评　利用两个基本计数原理解决问题的步骤
提醒：涂色问题的两种常用解题方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析．
[跟进训练]1．(1)(2024·山东菏泽模拟)某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为(　　)A．288种 　B．336种 C．576种 　D．1 680种(2)(2023·南京六校联考)如图，用4种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法种数为(　　)A．144种 　B．73种 C．48种 　D．32种(3)3 600有________个正约数．
(1)B　(2)C　(3)45　[(1)第一步：排白车，第一行选一个位置，则第二行有三个位置可选，由于车是不相同的，故白车的停法有4×3×2＝24(种)，第二步，排黑车，若白车选AF，则黑车有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7种选择，黑车是不相同的，故黑车的停法有2×7＝14(种)，根据分步乘法计数原理，共有24×14＝336(种)．故选B.(2)先对区域B涂色，有4种选择，其次再对区域C涂色，有3种选择，然后再对区域A，D涂色，有两种情况：①若区域A，D同色，有2种情况；②若区域A，D不同色，有2×1＝2(种)情况．综上所述，不同的涂法种数为4×3×(2＋2)＝48(种)．故选C.(3)3 600＝24×32×52，其中24的约数有1，2，22，23，24，共5个；32的约数有1，3，32，共3个，52的约数有1，5，52，共3个，所以3 600的正约数有5×3×3＝45(个)．]
【教师备选资源】在一块并排10垄的田地中，种植作物时每种作物种植一垄，相邻的垄不种同一种作物，现有3种作物可选，则有________种种植方法；若3种作物必须都种，则有________种种植方法；若只在其中2垄种植其中的A，B两种作物，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则有________种种植方法．1 536　1 530　12　[3种作物任选时，种植第1垄有3种选择，第2垄有2种选择，后面的垄只需与前一垄不同即可，共有3×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝1 536(种)种植方法.3种作物都选时，只需排除只用2种作物完成种植的情况，共有1 536－3×2×1×1×1×1×1×1×1×1＝1 530(种)种植方法．两种作物的间隔不小于6垄时，分两步：第一步，先选垄，如图所示，共有6种选法；第二步，种植A，B两种作物，有2种方法．所以根据分步乘法计数原理，可得有6×2＝12(种)种植方法．]
考点二　排列、组合问题[典例2]　(1)(2024·海南模拟)某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一场或最后一场，讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法共有(　　)A．34种 　B．56种 C．96种 　D．144种(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
名师点评求解排列、组合应用问题的六种常用方法
提醒：先选后排，先组合后排列，恰当的分类，合理的分步．分类标准要明确，做到不重不漏；分步要步步独立，步骤完整．
[跟进训练]2．(1)(2024·四川泸县模拟)7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是(　　)A．60 　　　B．120 　　C．240 　　　D．360(2)(2023·唐山二模)从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为(　　)A．336 　　　B．252 　　C．216 　　　D．180(3)(2024·浙江平湖模拟)若一个三位数M的各个数位上的数字之和为8，则称M是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”，那么“叔同数”共有________个．
【教师备选资源】(1)某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现用选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有(　　)A．56种　B．68种C．74种　D．92种(2)现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有________种．(用数字作答)(3)以长方体ABCD-­A1B1C1D1的任意3个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情况有________种．
考点三　分组、分配问题[典例3]　(1)把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法种数为(　　)A．41种　 B．56种　 C．156种　 D．252种(2)(2023·青岛二模)某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有(　　)A．300种 　　　B．210种 　　C．180种 　　　D．150种
[跟进训练]3．(1)甲、乙等4名志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有(　　)A．12种 　B．18种 C．24种 　D．36种(2)现有5支救援队前往A，B，C 3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是(　　)A．72种 　B．84种 C．88种 　D．100种
【教师备选资源】1．有3个地区，每个地区需要一名支医医生和两名支教教师，现将3名支医医生(1男2女)和6名支教教师(3男3女)分配到这3个地区去工作．(1)要求每个地区至少有一名男性，则共有________种不同分配方案；(2)要求每个地区至少有一名女性，则共有________种不同分配方案．
2．教育部为了发展农村地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
巩固课堂所学 · 激发学习思维夯实基础知识 · 熟悉命题方式自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？
课时分层作业(六十三)
两个计数原理、排列与组合