80 第9章 第6课时　二项分布、超几何分布与正态分布-2025年高考数学一轮复习课件

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第6课时　二项分布、超几何分布与正态分布
理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.
借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
1．n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含________结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为_____________．(2)二项分布在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝______________，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从________，记作X～________．
(4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈_________；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_________．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．(5)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X )＝_，D(X )＝__．提醒：正态分布是连续型随机变量，要注意它是用面积表示概率，解决问题一定用到对称性．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(　　)(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)(3)超几何分布与二项分布的期望值相同．(　　)(4)正态曲线与x轴围成的面积随参数μ，σ的变化而变化．(　　)
2．(人教A版选择性必修第三册P78探究改编)设50个产品中有10个次品，任取产品20个，取到的次品可能有X个，则E(X)＝(　　)A．4 　　　B．3 　　C．2 　　　D．1
3．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　)A．0.477 　　　B．0.628 　　C．0.954 　　　D．0.977
C　[∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954．]
4．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________．
名师点评　二项分布问题的解题关键提醒：下列问题能转化为二项分布①条件不变，重复进行试验，一般取球后再放回；②该地区人数多或不知总体，从中抽取几个；③某产品服从正态分布，若干个产品服从二项分布；④用频率表示概率，有时转化为二项分布．
[跟进训练]1．某地区鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及数学期望E(X )；(2)将(1)中的E(X )取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？
E(X )＝0×(0.2p2－0.4p＋0.2)＋1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.
(2)当p＝0.9时，E(X )取得最大值．①一棵B种树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.②记Y为n棵树苗的成活棵数，M为n棵树苗的利润，则Y～B(n，0.96)，E(Y )＝0.96n，M＝300Y－50(n－Y )＝350Y－50n，E(M )＝350E(Y )－50n＝286n，要使E(M )≥200 000，则有n＞699.所以该农户为获利不低于20万元，需至少引种700棵B种树苗．
【教师备选资源】1．已知随机变量X～B(6，0.8)，若P(X＝k)最大，则D(kX＋1)＝________．
考点二　超几何分布[典例3]　某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个．在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验．若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件．(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检验时次品的个数为X，求X的分布列及期望．
名师点评　(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．(2)超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
[跟进训练]2．(2024·重庆模拟)已知一个袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球．(1)若从袋中一次任取3个球，设取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及数学期望；(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求P(Y＝5)．
考点三　正态分布[典例4]　(1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是(　　)A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大B．该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C．该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D．该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等(2)设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c的值为________，P(－4≤X≤8)＝________．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤2σ)＝0.954 5)
(1)D　(2)2　0.954 5　[(1)σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，A正确．由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，B，C正确．D显然错误．故选D.(2)由X～N(2，9)可知，正态分布的图象关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.∴P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝0.954 5．]
名师点评　解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ； (3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率；μ决定正态曲线位置，σ的大小决定正态曲线的稳定与波动大小，即高矮与胖瘦；注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
(3)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．经数据分析，高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布X～N(100，17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为_________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有______人．(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)
【教师备选资源】(2023·江苏南通一模)已知随机变量X～N(μ，σ2)，有下列四个命题：甲：P(X>m＋1)>P(Xm)＝0.5；丙：P(X≤m)＝0.5；丁：P(m－1