中考数学二轮复习解答题提分训练专题04一次函数的应用及综合问题（2份，原卷版+解析版）

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1.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
2.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
（1）当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；
（2）当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
（3）当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；
（4）当k1·k2=–1时，两直线垂直．
3.一次函数与坐标轴交点及图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
4.一次函数的应用
（1）分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
（2）函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
（3）概括整合
简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
5.一次函数的最值及最优方案问题
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
6.一次函数与几何综合问题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
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考向一、一次函数的图象与性质
1．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，已知一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，以线段为边在第一象限内作等腰直角三角形，．
(1)求的值，以及点的坐标；
(2)求过，两点的直线解析式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）把代入，即可求得k值，从而得到一次函数解析式，再令，求得y值，从而得到B点坐标，即可求得，然后作轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出C点坐标；
（2）用待定系数法求即可．
【详解】（1）解：把代入，得
，
解得：，
，
令，则，
，
，
∵，
∴，
过点D作CD⊥x轴于点D，如图，
∵，
∴，
又，
，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
则点C的坐标是．
（2）解：设直线的解析式是，
把，代入，得
，解得：，
∴直线BC的解析式．
【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
2．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．
(1)求、的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)6
【分析】（1）利用待定系数法即可求出、的值；
（2）利用一次函数的解析式求得的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
，，
，；
（2）把代入得，，解得，
，
，
．
【点睛】本题考查待定系数法和在坐标系中求三角形面积，关键是是利用解析式求出点的坐标，进而求出线段的长度．
3．（2022·江苏淮安·统考一模）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，x轴上一点C的坐标为，点P是直线l上一点．
(1)当点P的横坐标为2时，求的面积；
(2)若，求此时点P的坐标．
【答案】(1)9
(2)(4,2)或(12,-2)
【分析】（1）先求出P点的纵坐标，依据即可求解；
（2）先求出A、B的坐标，即可得OA、OB，即可求出△AOB的面积，进而可求出△COP的面积，再根据即可求出，则P点坐标可求．
【详解】（1）∵P点在直线l上，其横坐标为2，
∴当x=2时，，
∵C(6,0)，
∴OC=6，
∴；
（2）当x=0时，，
∴B点坐标为(0,4)，
∴OB=4，
当y=0时，，解得x=8，
∴A点坐标为(8,0)，
∴OA=8，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，解得，
即，
当时，，解得x=4，
∴此时P点坐标为(4,2)，
当时，，解得x=12，
∴此时P点坐标为(12,-2)，
综上：P点坐标为(4,2)、(12,-2)．
【点睛】本题考查了一次函数的在几何问题中的应用，还考查了求解直线与坐标轴交点坐标、三角形面积等知识，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
4．（2022·江苏南京·统考二模）已知一次函数y1＝－x＋m－3（m为常数）和y2＝2x－6
(1)若一次函数y1＝－x＋m－3的图像与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围；
(2)当x＜3时，y1＞y2，结合图像，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)m＞3
(2)m≥6
【分析】（1）先解得一次函数与x轴的交点，再令交点坐标为正数，转化为解一元一次不等式即可；
（2）根据图象，将问题转化为解一元一次不等式．
(1)
解：令y1＝0，得x＝m－3，
∵一次函数y1＝－x＋m－3的图像与x轴的交点在y轴右侧，
∴m－3＞0，
∴m＞3.
(2)
如图，由（1）可得y1＝－x＋m－3与轴交点为横坐标为m－3，
当x＜3时，y1＞y2，
则m－3≥3
．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，涉及一次函数与x轴的交点、一元一次不等式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（2022·江苏南京·统考二模）已知一次函数（a为常数，）和．
(1)当时，求两个函数图象的交点坐标；
(2)不论a为何值，（a为常数，）的图像都经过一个定点，这个定点坐标是______；
(3)若两个函数图象的交点在第三象限，结合图像，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)两个函数图象的交点坐标为(-1，0)；
(2)(-3，2)
(3)a的取值范围是a>1或a1或a1或a