中考数学一轮复习考点题型训练专题35 最值问题（2份，原卷版+解析版）

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基本知识点：
①两点之间线段最短；②点到直线的距离最短。
求最值问题的类型
微专题
1．（2022•德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（ ）
A．6B．3C．2D．4
【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接AE交BD于M点，
∵A、C关于BD对称，
∴AE就是ME+MC的最小值，
∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，
∵AB＝，
∴AE＝＝2，
∴ME+MC的最小值是2．
故选：C．
2．（2022•资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（ ）
A．4B．2+2C．2D．2
【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A'O的长度即可．
【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，
∵A与A'关于BC对称，
∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，
∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，
∴，
∵A与A'关于BC对称，
∴AB＝BA'＝4，
∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，
在Rt△OFA'中，，
故选：D．
3．（2022•菏泽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】当MA+MF的值最小时，A、M、F三点共线，即求AF的长度，根据题意判断△ABC为等边三角形，且F点为BC的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度即可．
【解答】解：当A、M、F三点共线时，即当M点位于M′时，MA+MF的值最小，
由菱形的性质可知，
AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵F点为BC的中点，AB＝2，
∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，
∴在Rt△ABF中，AF＝＝．
故选：C．
4．（2022•广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，FT．首先证明四边形ADFT是平行四边形，推出AD＝FT＝2，再证明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得结论．
【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，FT．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵DF＝CF，AT＝TB，
∴DF＝AT，DF∥AT，
∴四边形ADFT是平行四边形，
∴AD＝FT＝2，
∵四边形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，
∴E，T关于AC对称，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PT+PF，
∵PF+PT≥FT＝2，
∴PE+PF≥2，
∴PE+PF的最小值为2．
故选：A．
5．（2022•赤峰）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（ ）
A．3B．5C．2D．
【分析】根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值，求出此时的最小值即可．
【解答】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE'，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴DE'＝OC＝3，
即PD+PE的最小值是3，
故选：A．
6．（2022•安顺）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若，则MC+MN的最小值为 ．
【分析】由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN+CM＝MN+AM≥AN，所以当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，先证明△DCG∽△FCE，再由＝，可知＝，分别求出DE＝1，CE＝3，CF＝12，即可求出AN．
【解答】解：如图，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A点与C点关于BD对称，
∴CM＝AM，
∴MN+CM＝MN+AM≥AN，
∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，
∵AD∥CF，
∴∠DAE＝∠F，
∵∠DAE+∠DEH＝90°，
∵DG⊥AF，
∴∠CDG+∠DEH＝90°，
∴∠DAE＝∠CDG，
∴∠CDG＝∠F，
∴△DCG∽△FCE，
∵＝，
∴＝，
∵正方形边长为4，
∴CF＝12，
∵AD∥CF，
∴＝＝，
∴DE＝1，CE＝3，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，
∴EF＝＝3，
∵N是EF的中点，
∴EN＝，
在Rt△ADE中，EA2＝AD2+DE2，
∴AE＝＝，
∴AN＝，
∴MN+MC的最小值为，
故答案为：，
7．（2022•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，则四边形EFGC是平行四边形，得CE＝FG，则AF+CE＝AF+FG，可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，利用勾股定理求出AG的长即可．
【解答】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵EF∥CG，EF＝CG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，
∴AF+CE的最小值为10，
故答案为：10．
8．（2022•贺州）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为 ．
【分析】如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．利用勾股定理求出FT＝，EF＝5，证明PE+PF＝PF+PT≥FT，可得结论．
【解答】解：如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADT＝90°，
∵∠AHT＝90°，
∴四边形AHTD是矩形，
∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，
∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，
∴FT＝＝＝，
∵DG平分∠ADC，DE＝DT，
∴E、T关于DG对称，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，
∵EF＝＝＝5，
∴△EFP的周长的最小值为5+，
故答案为：5+．
9．（2022•娄底）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 ．
【分析】连接AQ，作AH⊥BC于H，利用SAS证明△ABQ≌△CBQ，得AQ＝CQ，当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，再求出AH的长即可．
【解答】解：连接AQ，作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，
∵BQ＝BQ，
∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴AQ＝CQ，
∴当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，
∵AB＝2，∠ABC＝45°，
∴AH＝，
∴CQ+PQ的最小值为，
故答案为：．
10．（2022•眉山）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为 ．
【分析】作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度；然后求出B′B和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°，
由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，
∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，
∴B′B＝2BF＝4，
∵BE＝BF，∠CBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF＝B'F，
∴△BEB'是直角三角形，
∴B′E＝＝＝6，
∴PE+PB的最小值为6，
故答案为：6．
11．（2022•滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为 ．
【分析】如图，过点E作EH⊥BC于点H．利用相似三角形的性质求出FH，EF，设BF＝x，则DE＝10﹣x﹣＝﹣x，因为EF是定值，所以AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最小，由AF+CE＝+，可知欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距离和最小，如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小，最小值为线段A′B的长，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，
∴四边形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝5，
∵BC＝AD＝10，
∴AC＝＝＝5，
∵EF⊥AC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EFH+∠ACB＝90°，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠EFH＝∠BAC，
∴△EHF∽△CBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FH＝，EF＝，
设BF＝x，则DE＝10﹣x﹣＝﹣x，
∵EF是定值，
∴AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最小，
∵AF+CE＝+，
∴欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距离和最小，如图1中，
作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交xz轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小，最小值为线段A′B的长，
∵A′（0，﹣5），B（，5），
∴A′B＝＝，
∴AF+CE的最小值为，
∴AF+EF+CE的最小值为+．
解法二：过点C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，连接C′F．
∵EF＝CC′，EF∥CC′，
∴四边形EFC′C是平行四边形，
∴EC＝FC′，
∵EF⊥AC，
∴AC⊥CC′，
∴∠ACC＝90°，
∵AC′＝＝＝，
∴AF+EC＝AF+FC′≥AC′＝，
∴AF+EF+CE的最小值为+．
故答案为：+．
12．（2022•自贡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为 ．
【分析】解法一：利用已知可以得出GC，EF长度不变，求出GE+CF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出．
解法二：设AE＝x，则BF＝3﹣x，根据勾股定理可得：EG+CF＝+，由勾股定理构建另一矩形EFGH，根据线段的性质：两点之间线段最短可得结论．
【解答】解：解法一：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，
∵CH＝EF＝1，CH∥EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH＝CF，
∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，
∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，
∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：HG'＝＝3，
即GE+CF的最小值为3．
解法二：∵AG＝AD＝1，
设AE＝x，则BF＝AB﹣EF﹣AE＝4﹣x﹣1＝3﹣x，
由勾股定理得：EG+CF＝+，
如图，矩形EFGH中，EH＝3，GH＝2，GQ＝1，
P为FG上一动点，设PG＝x，则FP＝3﹣x，
∴EP+PQ＝+，
当E，P，Q三点共线时，EP+PQ最小，最小值是3，
即EG+CF的最小值是3．
故答案为：3．
13．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（ ）
A．B．2C．2D．4
【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．
【解答】解：如图，连接AE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，
∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，
连接AC，
∴d1+d2+d3最小值为AC，
在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，
∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，
故选：C．
14．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
【分析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论．
【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，
∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，
∴S1+S0＝S2+S3，
∵S1+S2+S3＝2S0，
∴S1+S1+S0＝2，
∴S1＝S0，
∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴S0＝×62＝9，
∴S1＝，
过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．
∵△PAB的面积是定值，
∴点P的运动轨迹是直线PM，
∵O是△ABC的中心，
∴CT⊥AB，CT⊥PM，
∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，
∴RT＝，
∴OT＝OR+TR＝，
∵OP≥OT，
∴OP的最小值为，
当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，
如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，
∵＜，
故选：B．
考点二：利用确定圆心的位置求最短路径
知识回顾
解题思路：
通过确定圆心的位置，利用定点到圆心的距离加或减半径解题。
确定圆心的方法：
方法①：到定点的距离等于定长确定圆心。通常存在线段旋转。
方法②：直径所对的圆周角等于90°。找90°的角所对直线的中点。通常出现两个角相等。
微专题
15．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（ ）
A．B．C．﹣D．﹣2
【分析】如图，取AD的中点O，连接OB，OM．证明∠AMD＝90°，推出OM＝AD＝2，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．利用勾股定理求出OB，可得结论．
【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝AD＝2，
∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．
∵OB＝＝＝，
∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，
∴BM的最小值为﹣2．
故选：D．
16．（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ ，FB+FD的最小值为 ．
【分析】首先证明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．
【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥CB，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF＝30°，
作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF的延长线于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．
∵∠DCF＝∠FCG＝30°，
∴∠DCG＝60°，
∵CD＝CG＝5，
∴△CDG是等边三角形，
∴DB＝DC＝DG，
∴∠CGB＝90°，
∴BG＝＝＝5，
∴BF+DF的最小值为5，
故答案为：30°，5．
17．（2022•柳州）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ．
【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．
【解答】解：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，
作MH⊥CD于H，
∵∠EDF＝∠GDM，
∴∠EDG＝∠FDM，
∵DE＝DF，DG＝DM，
∴△EDG≌△MDF（SAS），
∴MF＝EG＝2，
∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，
∴△DGC≌△MDH（AAS），
∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，
∴CM＝＝2，
∵CF≥CM﹣MF，
∴CF的最小值为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
18．（2022•无锡）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝ °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ．
【分析】第一个问题证明△BCD≌△ACE（SAS），推出∠DBC＝∠EAC＝20°，可得∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．第二个问题，如图1中，设BF交AC于点T．证明∠BCT＝∠AFT＝60°，推出点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD⊥BD，求出AE，EF可得结论．
【解答】解：∵△ACB，△DEC都是等边三角形，
∴AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC＝20°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．
如图1中，设BF交AC于点T．
同法可证△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵∠BTC＝∠ATF，
∴∠BCT＝∠AFT＝60°，
∴点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD⊥BD，
∴BD＝＝＝4，
∴AE＝BD＝4，∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵CD＝CE，CF＝CF，
∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），
∴∠DCF＝∠ECF＝30°，
∴EF＝CE•tan30°＝，
∴AF的最小值＝AE﹣EF＝4﹣，
故答案为：80，4﹣．
问题
基本图形
解题图形
解题思路与步骤
如图①：如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小。
解题思路：找点作对称
解题步骤：
①从问题中确定定点与动点。
②作其中一个定点关于动点所在直线的对称点。通常情况下其中一个定点的关于动点所在直线的对称点存在，找出即可。
③连接对称点与另一个定点。与动点所在直线的交点即是动点的位置。然后解题。
如图②：如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。
如图③：如图：已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小。